天津市中考数学试题及参考答案word解析版.docx
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天津市中考数学试题及参考答案word解析版
2012年天津市中考数学试题及参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．2cos60°的值等于（ ）
A．1B．
C．
D．2
2．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．据某域名统计机构公布的数据显示，截至2012年5月21日，我国“．NET”域名注册量约为560000个，居全球第三位，将560000用科学记数法表示应为（ ）
A．560×103B．56×104C．5.6×105D．0.56×106
4．估计
的值在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
5．为调查某校2000名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ）
A．300名B．400名C．500名D．600名
6．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
7．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：
km）与时间x（单位：
h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．汽车在高速公路上的行驶速度为100km/hB．乡村公路总长为90km
C．汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/hD．该记者在出发后4.5h到达采访地
10．若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3；②m＞
；③二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．|﹣3|= ．
12．化简
的结果是 ．
13．袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机的摸出一个球，则它是红球的概率是 ．
14．将正比例函数y=﹣6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 （写出一个即可）．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB=55°，则∠ADC的大小为 度．
16．若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为 ．
17．如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为 ．
18．“三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角∠MAN，设∠α=
∠MAN．
（Ⅰ）当∠MAN=69°时，∠α的大小为 23 （度）；
（Ⅱ）如图，将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB=2.5cm．现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明做法（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分）
19．解不等式组
．
20．已知反比例函数
（k为常数，k≠1）．
（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（Ⅲ）若其图象的一直位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．
21．在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．
（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？
22．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
23．如图，甲楼AB的高度为123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，求乙楼CD的高度（结果精确到0.1m，
取1.73）．
24．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．
月使用费/元
主叫限定时间/分
主叫超时费/（元/分）
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：
t≤150
150＜t＜350
t=50
t＞350
方式一计费/元
58
0.25t+20.5
108
0.25t+20.5
方式二计费/元
88
88
88
0.19t+21.5
（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．
25．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
26．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在该抛物线上．
（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，
①求顶点P的坐标；
②求
的值；
（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求
的最小值．
参考答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．2cos60°的值等于（ ）
A．1B．
C．
D．2
【知识考点】特殊角的三角函数值．
【思路分析】根据60°角的余弦值等于
进行计算即可得解．
【解答过程】解：
2cos60°=2×
=1．
故选A．
【总结归纳】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
2．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识考点】中心对称图形．
【思路分析】根据中心对称图形的概念：
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解．
【解答过程】解：
根据中心对称的定义可得：
A、C、D都不符合中心对称的定义．
故选B．
【总结归纳】本题考查中心对称的定义，属于基础题，注意掌握基本概念．
3．据某域名统计机构公布的数据显示，截至2012年5月21日，我国“．NET”域名注册量约为560000个，居全球第三位，将560000用科学记数法表示应为（ ）
A．560×103B．56×104C．5.6×105D．0.56×106
【知识考点】科学记数法—表示较大的数．
【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于560000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
【解答过程】解：
560000=5.6×105．
故选C．
【总结归纳】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
4．估计
的值在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
【知识考点】估算无理数的大小．
【思路分析】利用”夹逼法“得出
的范围，继而也可得出
的范围．
【解答过程】解：
∵
，
∴3＜
＜4，
故选B．
【总结归纳】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
5．为调查某校2000名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ）
A．300名B．400名C．500名D．600名
【知识考点】扇形统计图；用样本估计总体．
【思路分析】根据扇形图可以得出该校喜爱体育节目的学生所占比例，进而得出该校喜爱体育节目的学生数目．
【解答过程】解：
根据扇形图可得：
该校喜爱体育节目的学生所占比例为：
1﹣5%﹣35%﹣30%﹣10%=20%，
故该校喜爱体育节目的学生共有：
2000×20%=400，
故选：
B．
【总结归纳】此题主要考查了扇形图的应用，该校喜爱体育节目的学生所占比例进而求出具体人数是解题关键．
6．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【知识考点】旋转对称图形．
【思路分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件，结合选项即可得出答案．
【解答过程】解：
由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．
故选D．
【总结归纳】本题主要考查了旋转对称图形旋转的最小的度数的计算方法，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
7．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识考点】简单组合体的三视图．
【思路分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答过程】解：
从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为1，2；从左面看可得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从上面看可得从上到下2行正方形的个数依次为1，2，故选A．
【总结归纳】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识考点】正方形的性质；勾股定理．
【思路分析】利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DM=DE，所以可以求出DE，进而得到DG的长．
【解答过程】解：
∵四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，
∴DM=
DC=1，
∴CM=
=
，
∴ME=MC=
，
∵ED=EM﹣DM=
﹣1，
∵四边形EDGF是正方形，
∴DG=DE=
﹣1．
故选D．
【总结归纳】本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目．
9．某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：
km）与时间x（单位：
h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．汽车在高速公路上的行驶速度为100km/hB．乡村公路总长为90km
C．汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/hD．该记者在出发后4.5h到达采访地
【知识考点】函数的图象．
【思路分析】根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案．
【解答过程】解：
A、汽车在高速公路上的行驶速度为180÷2=90（km/h），故本选项错误；
B、乡村公路总长为360﹣180=180（km），故本选项错误；
C、汽车在乡村公路上的行驶速度为180÷3=60（km/h），故本选项正确；
D、该记者在出发后5h到达采访地，故本选项错误；
故选C．
【总结归纳】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
10．若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3；②m＞
；③二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【知识考点】抛物线与x轴的交点；一元二次方程的解；根的判别式；根与系数的关系．
【思路分析】将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之和为4，而选项①中的两个解之和为5，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
【解答过程】解：
一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）=m化为一般形式得：
x2﹣4x+3﹣m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4（3﹣m）=4m+4＞0，
解得：
m＞﹣1，选项②错误；
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=4，x1x2=3﹣m，
∵选项①中x1=2，x2=3，即x1+x2=5≠4，
∴选项①错误；
∴二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m=x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m=x2﹣4x+3﹣m+m=x2﹣4x+3，
令y=0，可得x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：
x=1或3，
∴抛物线与x轴的交点为（1，0）或（3，0），选项③错误，
则正确结论的个数为0个．
故选A．
【总结归纳】此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．|﹣3|= ．
【知识考点】绝对值．
【思路分析】根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．
【解答过程】解：
|﹣3|=3．
故答案为：
3．
【总结归纳】此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键．
12．化简
的结果是 ．
【知识考点】分式的加减法．
【思路分析】根据同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减计算，然后约分即可得解．
【解答过程】解：
原式
，
故答案为：
．
【总结归纳】本题主要考查了同分母分式的加减运算，是基础题，比较简单，注意要约分．
13．袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机的摸出一个球，则它是红球的概率是 ．
【知识考点】概率公式．
【思路分析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答过程】解；袋中球的总数为：
5+3=8，
取到红球的概率为：
；
故答案为：
．
【总结归纳】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=
．
14．将正比例函数y=﹣6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 （写出一个即可）．
【知识考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【思路分析】根据“上加下减”的原则在函数解析式后加一个大于0的数即可．
【解答过程】解：
“上加下减”的原则可知该函数的解析式可以是：
y=﹣6x+1（答案不唯一）．
故答案为：
y=﹣6x+1（答案不唯一）．
【总结归纳】本题考查了一次函数的性质，只要比例系数k相同，则直线平行，保证k不变的条件下，b的正负决定平移的方向．
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB=55°，则∠ADC的大小为 度．
【知识考点】圆周角定理．
【思路分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，∠ACB=90°，又由直角三角形的两锐角互余，即可求得∠B的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．
【解答过程】解：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=55°，
∴∠B=90°﹣∠CAB=35°，
∴∠ADC=∠B=35°．
故答案为：
35°．
【总结归纳】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
16．若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为 ．
【知识考点】正多边形和圆．
【思路分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为24，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．
【解答过程】解：
如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠AOB=
×360°=60°，
∵OA=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长为24，
∴BC=24÷6=4，
∴OB=BC=4，
∴BM=
BC=2，
∴OM=
=2
，
∴S△OBC=
×BC×OM=
×4×2
=4
，
∴该六边形的面积为：
4
×6=24
．
故答案为：
24
．
【总结归纳】此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
17．如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为 ．
【知识考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【思路分析】连接AE，BE，DF，CF，可证明三角形AEB是等边三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理即可求出边AB上的高线，同理可求出CD边上的高线，进而求出EF的长．
【解答过程】解：
连接AE，BE，DF，CF．
∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，
∴AB=AE=BE，
∴△AEB是等边三角形，
∴边AB上的高线为：
，
同理：
CD边上的高线为：
，
延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线，
∵AE=BE，
∴点E在AB的垂直平分线上，
同理：
点F在DC的垂直平分线上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∴MN⊥AB，MN⊥DC，
设EF到AB到距离为x，FE到DC的距离为x′，EF=y，
由题意可知：
x=x′，
则x+y+x=1，
∵x+y=
，
∴x=1﹣
，
∴EF=1﹣2x=
﹣1．
故答案为
﹣1．
【总结归纳】本题考查了正方形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是添加辅助线构造等边三角形，利用等边三角形的性质解答即可．
18．“三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角∠MAN，设∠α=
∠MAN．
（Ⅰ）当∠MAN=69°时，∠α的大小为 23 （度）；
（Ⅱ）如图，将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB=2.5cm．现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明做法（不要求证明） ．
【知识考点】作图—应用与设计作图．
【思路分析】（Ⅰ）根据题意，用69°乘以
，计算即可得解；
（Ⅱ）利用网格结构，作以点B为直角顶点的直角三角形，并且使斜边所在的直线过点A，且斜边的长度为5，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边上的中线等于AB的长度，再结合三角形的外角性质可知，∠BAD=2∠BDC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BDC=∠MAD，从而得到∠MAD=
∠MAN．
【解答过程】解：
（Ⅰ）
×69°=23°；
（Ⅱ）如图，让直尺有刻度一边过点A，设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C，与过点B水平方向的网格线交于点D，保持直尺有刻度的一边过点A，调整点C、D的位置，使CD=5cm，画射线AD，此时∠MAD即为所求的∠α．
【总结归纳】本题考查了应用与设计作图，主要利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，使作出的直角三角形斜边上的中线恰好把三角形分成两个等腰三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分）
19．解不等式组
．
【知识考点】解一元一次不等式组．
【思路分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答过程】解：
，
解不等式①，得x＞1．
解不等式②，得x＜2．
故不等式组的解集为：
1＜x＜2．
【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．已知反比例函数
（k为常数，k≠1）．
（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（Ⅲ）若其图象的一直位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．
【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【思路分析】
（1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y=x的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数
的图象上，所以
，解得k=5；
（2）由于在反比例函数
图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k﹣1＞0，求出k的取值范围即可；
（3）反比例函数
图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，故可知x1＞x2．
【解答过程】解：
（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）
∵点P在正比例函数y=x的图象上，
∴2=m，即m=2．
∴点P的坐标为（2，2）．
∵点P在反比例函数
的图象上，
∴
，解得k=5．
（Ⅱ）∵在反比例函数
图象的每一支上，y随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，解得k＞1．
（Ⅲ）∵反比例函数
图象的一支位于第二象限，
∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．
∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，
∴x1＞x2．
【总结归纳】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质，熟知反比例函
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