四年级奥数加乘原理一.docx
《四年级奥数加乘原理一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四年级奥数加乘原理一.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
四年级奥数加乘原理一
四年级奥数：
加乘原理
（一）
1，2，3，…，299，300，这300个自然数中，完全不含有3的自然数共有_____个.
【解析】可以先计算出来含有3的自然数的个数，然后用300减去含有3的自然数的个数，就可以得到完全不含有3的自然数的个数.
1-99中，含有数字3的数有：
9+10=19（个）
100-199中，含有数字3的数有19个
200-300中，含有数字3的数有19+1=20（个）
含有3的自然数的个数是19+19+20=58（个）
完全不含有3的自然数共有：
300-58=242（个）
从A点沿直线走最短的路径到B点，共有多少种不同的走法？
【解析】标数法解图表类题型
从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路.问：
从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？
【解析】用A1，A2表示从甲地到乙地的2条路，用B1，B2，B3表示从乙地到丙地的3条路，用C1，C2表示从丙地到丁地的2条路（见下页图）.
从甲到丁是分三步走的：
第一步甲到乙有2种方法，第二步乙到丙有3种方法，第3步丙到丁有2种方法.对于第一步的每种方法，第二步都有3种方法，所以从甲到丙有2×3=6（种）方法；对从甲到丙的每种方法，第三步都有2种方法，所以不同的走法共有2×3×2＝12（种）.
A1B1C1A1B2C1A1B3C1
A1B1C2A1B2C2A1B3C2
A2B1C1A2B2C1A2B3C1
A2B1C2A2B2C2A2B3C2
【巩固拓展】
1、如图中共有几个三角形？
【解析】根据数线段的方法得：
（6+5+4+3+2+1）×2+（3+2+1）×2+6+6+1=67（个）
2、一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点都不能重复经过.问：
这只甲虫共有几种不同走法？
【解析】第一步，从A点到C点，有4条路线；
第二步C点到B点，有4条路线.
由乘法原理，共有4×4=16种不同的走法.
3、从A到B，要求每一步都是向右、向上或者斜上方，问有多少种不同的走法？
【解析】
小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？
【解析】
登上第1级台阶只有1种登法.登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法.登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+2＝3（种）……一般地，登上第n级台阶，或者从第（n—1）级台阶跨一级上去，或者从第（n—2）级台阶跨两级上去.根据加法原理，如果登上第（n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法.因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数.由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89.
其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和.登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89.也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）.
【巩固拓展】
有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？
【解析】
为了便于理解，可以将本题转变为“上15级台阶，每次上2级或3级，共有多少种上法？
”所以本题的解题方法与例1类似（见下表）.
取完15根火柴共有28种不同取法.
右图中每个小方格的边长都是1.一只小虫从直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O点）.如果小虫爬行的总长是3，那么小虫有多少条不同的爬行路线？
【解析】
如果小虫爬行的总长是2，那么小虫从AB上出发，回到AB上，其不同路线有6条（见左下图）；小虫从与AB相邻的直线上出发，回到AB上，其不同路线有4条（见右下图）.
实际上，小虫爬行的总长是3.小虫爬行的第一步有四种情况：
向左，此时小虫还在AB上，由上面的分析，后两步有6条路线；
同理，向右也有6条路线；
向上，此时小虫在与AB相邻的直线上，由上面的分析，后两步有4条路线；
同理，向下也有4条路线.
根据加法原理，共有不同的爬行路线
6＋6＋4＋4＝20（条）
【巩固拓展】
下图中每个小方格的边长都是1.有一只小虫从O点出发，沿图中格线爬行，如果它爬行的总长度是3，那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？
【解析】
枚举法：
上下、下上、左左、右右、左右、右左
共6种
用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？
【解析】组成一个三位数要分三步进行：
第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法.根据乘法原理，可以组成三位数：
5×6×6＝180（个）
【巩固拓展】
用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第505个数是__________.
【解析】把这些数按照从小到大排列.当最高位是1时，共有5×4×3×2×1=120（个）；当最高位是2、3、4的时候都各有120个，所以共有120×4=480（个）.505-480=25（个）.剩下的25个都是最高位为5的数，当十万位上是5，万位是0的时候，这样的数共有4×3×2×1=24（个）.所以第505个数的万位为1，它是510234.
下图，把A,B,C,D,E五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么这幅图一共有多少种不同的着色方法.
C
E
D
【解析】
从接触面最多的入手，再按照相邻原则依次考虑，从C开始考虑，有4种着色方法.
C着色后，A有3种着色方法，A着色后，B有2种着色方法，B着色后，D有2种着色方法，D后E也有2种着色方法.
所以共有4×3×2×2×2=96种
【巩固拓展】
下图，把A,B,C,D,E五部分用五种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么这幅图一共有多少种不同的着色方法.
B
A
C
E
A
C
D
【解析】
从接触面最多的入手，再按照相邻原则依次考虑，从A开始考虑，有5种着色方法.
B和A不同色有4种着色方法，C和A,B不同色，有3种着色方法，B和D同色时，D有1种选择，E有3种选择，当B,D不同色时，D有2种选择，E有2种选择，因此需要对B,D着色情况进行分类
所以共有5×4×3×1×3+5×4×3×2×2=420种
（第11届中环杯初赛）
如图，35个边长为1厘米的小正方形组成一个5厘米×7厘米的长方形，则图中所有正方形的周长和为（）厘米.
【解析】
图形计数，巧求周长.周长为4的正方形有5×7=35个，周长为8的有4×6=24个，周长为12的有3×5=15个，周长为16有2×4=8个，周长为20的有1×3=3个.所以周长和为4×35+8×24+12×15+16×8+20×3=140+192+180+128+60=700.
（第九届“中环杯”四年级决赛）
个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有多少种排法？
【解析】乘法原理
个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有
种排法
（第11届中环杯决赛）
如图，某市的街道构成正方形网格，邮递员要从A经过P到B.沿着最短路线走，共有__________种不同的走法.
【解析】
标数法：
必须经过P点，从A到P下面的点：
2种走法
从P点上面的点到B：
4种走法
一共有2×4=8种走法
下图是中国象棋棋盘，如果两人各有一个“车”的棋子，它们不在同一行，也不在同一列就不会被吃掉，那么总共有多少种不同的放置方法使两“车”不相遇.
【解析】
设甲方先放棋子，可任意放置，故甲方有10×9=90种.
对应甲的第一种方法，乙方按照规定必须去掉甲方棋子所在的行和列，所以乙方有9×8=72种
甲方共有90种方法，而乙方都有对应他的72种方法
因此总共有90×72=6480种不同的放置方法.
下图中，要从A走到B，但不能经过C,D两点，如果只能向右，向上，或者斜上方走，一共有多少种不同的走法？
B
A
D
C
【解析】利用标数法
每一点的走法数等于它的左方和下方两个点的方法数的和.
14471117
130346
123012
A11111
答案是17种.
（小机灵杯精选考题）
从1，2，3，4，5，6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数，那么共有多少种不同的取法？
【解析】利用标数法
先满足是3的倍数：
取1个数，有2种方法取2个数，有2*2+1=5种
取3个数，有2*2*2=8种取4个数，有5种
取5个数，有2种取6个数，有1种
共有2+5+8+5+2+1=23种
其中再减去5的倍数，也即15的倍数
取3个数，有1种（和为15）取4个数，有2种（考虑另两个数的和为6）
取5个数，有1种
共有4种所以满足条件的是23-4=19种
1、如下图中的每个小方格都是面积为1的正方形，那么面积为2的长方形有几个？
【解析】用a×b表示矩形的类型，其中a表示矩形的水平长度，b表示矩形的竖直长度.图中每行有4个2×1的矩形，共4行；图中每列有3个1×2的矩形，共5列.所以，图中面积为2的长方形共有4×4+3×5=31（个）.
2、一排房有五个房间，在五个房间中住着甲、乙、丙、丁，规定每个房间只许住一个人，并且只允许两个人住的房间挨在一起，第三个人的房间必须和前两个人隔开，有几种住法？
【解析】
先判断出必须是中间的房间空着,然后有4×3×2×1=24种.
3、用0，1，2，3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
【解析】个位数字，只有0、2、4三种可能.
如果个位是0，有5×4=20（个）
如果是个位是2、4，有2×4×4=32（个）
所以，共有20+32=52（个）
4、（第12届中环杯初赛）小明要从学校出发去少年宫参加活动，下图是学校到少年宫的路线图，直线表示可以通行的道路，如果小明要尽快到达少年宫，他一共有多少条不同的最短路线可以走？
【解析】利用标数法
一共有15条最短路线.
5、由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个
①三位数？
②三位偶数？
③没有重复数字的三位偶数？
④百位为8的没有重复数字的三位数？
⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？
【解析】
①8×8×8=512（个）；②4×8×8=256（个）；
③4×7×6=168（个）；④1×7×6=42（个）；
⑤1×3×6=18（个）．
6、一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：
共有多少种不同的站位方法？
【解析】
4×4×3×2×1=96（种）．
7、（第13届中环杯决赛）
如图所示的网格中，要从A到B，方向只能向右或向上，不能经过C以及D，有多少条不同的路径.
【解析】利用标数法
一共有18条最短路线.
升级会员 