四年级奥数加乘原理一.docx
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四年级奥数加乘原理一
四年级奥数:
加乘原理
(一)
1,2,3,…,299,300,这300个自然数中,完全不含有3的自然数共有_____个.
【解析】可以先计算出来含有3的自然数的个数,然后用300减去含有3的自然数的个数,就可以得到完全不含有3的自然数的个数.
1-99中,含有数字3的数有:
9+10=19(个)
100-199中,含有数字3的数有19个
200-300中,含有数字3的数有19+1=20(个)
含有3的自然数的个数是19+19+20=58(个)
完全不含有3的自然数共有:
300-58=242(个)
从A点沿直线走最短的路径到B点,共有多少种不同的走法?
【解析】标数法解图表类题型
从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有3条路,从丙地到丁地也有2条路.问:
从甲地经乙、丙两地到丁地,共有多少种不同的走法?
【解析】用A1,A2表示从甲地到乙地的2条路,用B1,B2,B3表示从乙地到丙地的3条路,用C1,C2表示从丙地到丁地的2条路(见下页图).
从甲到丁是分三步走的:
第一步甲到乙有2种方法,第二步乙到丙有3种方法,第3步丙到丁有2种方法.对于第一步的每种方法,第二步都有3种方法,所以从甲到丙有2×3=6(种)方法;对从甲到丙的每种方法,第三步都有2种方法,所以不同的走法共有2×3×2=12(种).
A1B1C1A1B2C1A1B3C1
A1B1C2A1B2C2A1B3C2
A2B1C1A2B2C1A2B3C1
A2B1C2A2B2C2A2B3C2
【巩固拓展】
1、如图中共有几个三角形?
【解析】根据数线段的方法得:
(6+5+4+3+2+1)×2+(3+2+1)×2+6+6+1=67(个)
2、一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点,要求任何点都不能重复经过.问:
这只甲虫共有几种不同走法?
【解析】第一步,从A点到C点,有4条路线;
第二步C点到B点,有4条路线.
由乘法原理,共有4×4=16种不同的走法.
3、从A到B,要求每一步都是向右、向上或者斜上方,问有多少种不同的走法?
【解析】
小明要登上10级台阶,他每一步只能登1级或2级台阶,他登上10级台阶共有多少种不同的登法?
【解析】
登上第1级台阶只有1种登法.登上第2级台阶可由第1级台阶上去,或者从平地跨2级上去,故有2种登法.登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去,或者从第2级台阶上去,所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和,共有1+2=3(种)……一般地,登上第n级台阶,或者从第(n—1)级台阶跨一级上去,或者从第(n—2)级台阶跨两级上去.根据加法原理,如果登上第(n—1)级和第(n—2)级分别有a种和b种方法,则登上第n级有(a+b)种方法.因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法,就可以依次推算出登上以后各级的方法数.由登上第1级有1种方法,登上第2级有2种方法,可得出下面一串数:
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89.
其中从第三个数起,每个数都是它前面两个数之和.登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个,即89.也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数(见下图).
【巩固拓展】
有15根火柴,如果规定每次取2根或3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?
【解析】
为了便于理解,可以将本题转变为“上15级台阶,每次上2级或3级,共有多少种上法?
”所以本题的解题方法与例1类似(见下表).
取完15根火柴共有28种不同取法.
右图中每个小方格的边长都是1.一只小虫从直线AB上的O点出发,沿着横线与竖线爬行,可上可下,可左可右,但最后仍要回到AB上(不一定回到O点).如果小虫爬行的总长是3,那么小虫有多少条不同的爬行路线?
【解析】
如果小虫爬行的总长是2,那么小虫从AB上出发,回到AB上,其不同路线有6条(见左下图);小虫从与AB相邻的直线上出发,回到AB上,其不同路线有4条(见右下图).
实际上,小虫爬行的总长是3.小虫爬行的第一步有四种情况:
向左,此时小虫还在AB上,由上面的分析,后两步有6条路线;
同理,向右也有6条路线;
向上,此时小虫在与AB相邻的直线上,由上面的分析,后两步有4条路线;
同理,向下也有4条路线.
根据加法原理,共有不同的爬行路线
6+6+4+4=20(条)
【巩固拓展】
下图中每个小方格的边长都是1.有一只小虫从O点出发,沿图中格线爬行,如果它爬行的总长度是3,那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条?
【解析】
枚举法:
上下、下上、左左、右右、左右、右左
共6种
用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字允许重复)?
【解析】组成一个三位数要分三步进行:
第一步确定百位上的数字,除0以外有5种选法;第二步确定十位上的数字,因为数字可以重复,有6种选法;第三步确定个位上的数字,也有6种选法.根据乘法原理,可以组成三位数:
5×6×6=180(个)
【巩固拓展】
用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数,并把这些六位数从小到大排列,第505个数是__________.
【解析】把这些数按照从小到大排列.当最高位是1时,共有5×4×3×2×1=120(个);当最高位是2、3、4的时候都各有120个,所以共有120×4=480(个).505-480=25(个).剩下的25个都是最高位为5的数,当十万位上是5,万位是0的时候,这样的数共有4×3×2×1=24(个).所以第505个数的万位为1,它是510234.
下图,把A,B,C,D,E五部分用四种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相邻的部分可以使用同一种颜色,那么这幅图一共有多少种不同的着色方法.
C
E
D
【解析】
从接触面最多的入手,再按照相邻原则依次考虑,从C开始考虑,有4种着色方法.
C着色后,A有3种着色方法,A着色后,B有2种着色方法,B着色后,D有2种着色方法,D后E也有2种着色方法.
所以共有4×3×2×2×2=96种
【巩固拓展】
下图,把A,B,C,D,E五部分用五种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相邻的部分可以使用同一种颜色,那么这幅图一共有多少种不同的着色方法.
B
A
C
E
A
C
D
【解析】
从接触面最多的入手,再按照相邻原则依次考虑,从A开始考虑,有5种着色方法.
B和A不同色有4种着色方法,C和A,B不同色,有3种着色方法,B和D同色时,D有1种选择,E有3种选择,当B,D不同色时,D有2种选择,E有2种选择,因此需要对B,D着色情况进行分类
所以共有5×4×3×1×3+5×4×3×2×2=420种
(第11届中环杯初赛)
如图,35个边长为1厘米的小正方形组成一个5厘米×7厘米的长方形,则图中所有正方形的周长和为()厘米.
【解析】
图形计数,巧求周长.周长为4的正方形有5×7=35个,周长为8的有4×6=24个,周长为12的有3×5=15个,周长为16有2×4=8个,周长为20的有1×3=3个.所以周长和为4×35+8×24+12×15+16×8+20×3=140+192+180+128+60=700.
(第九届“中环杯”四年级决赛)
个人排成一排,甲当排头,乙不当排尾,共有多少种排法?
【解析】乘法原理
个人排成一排,甲当排头,乙不当排尾,共有
种排法
(第11届中环杯决赛)
如图,某市的街道构成正方形网格,邮递员要从A经过P到B.沿着最短路线走,共有__________种不同的走法.
【解析】
标数法:
必须经过P点,从A到P下面的点:
2种走法
从P点上面的点到B:
4种走法
一共有2×4=8种走法
下图是中国象棋棋盘,如果两人各有一个“车”的棋子,它们不在同一行,也不在同一列就不会被吃掉,那么总共有多少种不同的放置方法使两“车”不相遇.
【解析】
设甲方先放棋子,可任意放置,故甲方有10×9=90种.
对应甲的第一种方法,乙方按照规定必须去掉甲方棋子所在的行和列,所以乙方有9×8=72种
甲方共有90种方法,而乙方都有对应他的72种方法
因此总共有90×72=6480种不同的放置方法.
下图中,要从A走到B,但不能经过C,D两点,如果只能向右,向上,或者斜上方走,一共有多少种不同的走法?
B
A
D
C
【解析】利用标数法
每一点的走法数等于它的左方和下方两个点的方法数的和.
14471117
130346
123012
A11111
答案是17种.
(小机灵杯精选考题)
从1,2,3,4,5,6中选取若干个数,使得它们的和是3的倍数,但不是5的倍数,那么共有多少种不同的取法?
【解析】利用标数法
先满足是3的倍数:
取1个数,有2种方法取2个数,有2*2+1=5种
取3个数,有2*2*2=8种取4个数,有5种
取5个数,有2种取6个数,有1种
共有2+5+8+5+2+1=23种
其中再减去5的倍数,也即15的倍数
取3个数,有1种(和为15)取4个数,有2种(考虑另两个数的和为6)
取5个数,有1种
共有4种所以满足条件的是23-4=19种
1、如下图中的每个小方格都是面积为1的正方形,那么面积为2的长方形有几个?
【解析】用a×b表示矩形的类型,其中a表示矩形的水平长度,b表示矩形的竖直长度.图中每行有4个2×1的矩形,共4行;图中每列有3个1×2的矩形,共5列.所以,图中面积为2的长方形共有4×4+3×5=31(个).
2、一排房有五个房间,在五个房间中住着甲、乙、丙、丁,规定每个房间只许住一个人,并且只允许两个人住的房间挨在一起,第三个人的房间必须和前两个人隔开,有几种住法?
【解析】
先判断出必须是中间的房间空着,然后有4×3×2×1=24种.
3、用0,1,2,3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位偶数?
【解析】个位数字,只有0、2、4三种可能.
如果个位是0,有5×4=20(个)
如果是个位是2、4,有2×4×4=32(个)
所以,共有20+32=52(个)
4、(第12届中环杯初赛)小明要从学校出发去少年宫参加活动,下图是学校到少年宫的路线图,直线表示可以通行的道路,如果小明要尽快到达少年宫,他一共有多少条不同的最短路线可以走?
【解析】利用标数法
一共有15条最短路线.
5、由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个
①三位数?
②三位偶数?
③没有重复数字的三位偶数?
④百位为8的没有重复数字的三位数?
⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数?
【解析】
①8×8×8=512(个);②4×8×8=256(个);
③4×7×6=168(个);④1×7×6=42(个);
⑤1×3×6=18(个).
6、一个篮球队,五名队员A、B、C、D、E,由于某种原因,C不能做中锋,而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上.问:
共有多少种不同的站位方法?
【解析】
4×4×3×2×1=96(种).
7、(第13届中环杯决赛)
如图所示的网格中,要从A到B,方向只能向右或向上,不能经过C以及D,有多少条不同的路径.
【解析】利用标数法
一共有18条最短路线.