夫琅禾费圆孔衍射及mathematica的数值模拟.docx
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夫琅禾费圆孔衍射及mathematica的数值模拟
夫琅禾费圆孔衍射及mathematica的数值模拟
华东交通大学课程设计（论文）
夫琅禾费圆孔衍射及mathematica模拟
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二零一四年一月八日的数值
利用mathematica数值模拟圆孔衍射
要.................................................................................................................I摘
Abstract...................................................................................................................I
第1章绪论......................................................................................................1
1.1背景和意义.............................................1
1.2主要方法和研究进展.....................................1
1.3主要夫琅禾费圆孔衍射................................................................................1
2.1基尔霍夫衍射理论.......................................1
2.2圆孔的夫琅禾费衍射.....................................2
2.2.1复振幅公式.................................................2
2.2.2光强公式与光强分布分析.....................................4
2.2.4爱里斑.....................................................5
2.3用Mathematica模拟圆孔衍射的光强分布...................5
2.3.1Mathematica的一些功能....................................5
2.3.2圆孔衍射光强分布的模拟及分析..............................6
2.4总结...................................................9
参考文献..............................................................................................................10
附录......................................................................................................................10
利用mathematica数值模拟圆孔衍射I
摘要
夫琅禾费衍射，又称为远场衍射，是指光源和观察幕离障碍物（孔或屏）均为无穷远的，
光线偏离原来传播方向弯入障碍物的几何影区内的，并在几何影区和几个照明区内形成光强
不均匀分布的现象。
对于观察屏上各点的光强分布，是通过由基尔霍夫衍射理论及其伴轴近
似和夫琅禾费近似而得到的夫琅禾费衍射公式来说明的。
夫琅禾费圆孔衍射的光强分布图是
一些同心圆环，中间的艾里斑集中了绝大部分光强，研究夫琅禾费圆孔衍射对我们研究成像
系统有很关键的作用。
在
关键词:
基尔霍夫衍射理论;艾里斑;夫琅禾费圆孔衍射;mathematica
Abstract
Fraunhoferdiffraction,alsoknownasthefar-fielddiffraction.Lightcurtainandobservefromtheobstacle（holesorscreen）areinfinity.Deviationfromtheoriginaldirectionofpropagationoflightbentintogeometricshadowzoneobstructions.Theformationofthelightintensitydistributionunevenphenomenoninthegeometricshadowandlightingarea.Lightintensitydistributionontheviewingscreenatvariouspoints,bytheFraunhoferdiffractionformulatoillustrate.TheFraunhoferdiffractionformulabyKirchhoffdiffractiontheoryapproximationthroughwithaxesandFraunhoferapproximationisobtained.Airydiskinthemiddleofthevastmajorityconcentratedintensity.Fraunhoferdiffractionstudiesoftheholewestudytheimagingsystemhasaverycrucialrole.InthispaperistouseMathematicasoftwaretosimulatetheroundholeofFraunhoferdiffractionintensitydistribution.UseMathematicasoftwarerelatedfunctionscanbeflexiblyadjustedincidentwavelength,lensfocallength,holeradiusofeachvariable,vividlydemonstratethedirectimpactofeachvariableonthediffractionpattern.
Keywords:
Kirchhoffdiffractiontheory;Airydisk;CircularapertureFraunhoferdiffraction;
mathematica
利用mathematica数值模拟圆孔衍射1
第1章绪论
1.1背景和意义
夫琅禾费圆孔衍射在实验室是可以实现的，而且也可以得到比较清晰的光强分布图，但实
验需要稳定的环境，高精密的仪器，在普通教室难以完成，在实验室室也受到时间安排等条
件的限制，利用mathematica可以很好的解决这一问题，可以产生与真实实验相同的实验现
象，达到与真实演示实验相同的演示效果。
光的衍射现象是光的波动性的一种表现，通
过对光的衍射现象的研究，可以深入具体地了解光的波动性。
本课题研究夫琅禾费圆孔衍射，
对于深刻理解衍射的实质，研究光波在不同光学系统的传播规律，分析复杂图像的空间频谱
分布以及改进光学滤波器设计等具有非常重要的意义。
课题利用mathematica的绘图能力，
根据衍射场的理论公式，得出光强分布并绘制光强的衍射图样。
1.2主要方法和研究进展
根据夫琅禾费圆孔衍射光强分布的理论公式，通过mathematica来模拟，并进行分析。
了
解夫琅禾费衍射公式的推导，并得到夫琅禾费圆孔衍射公式，再通过mathematica的模拟，
可以很好的改变个变量值，来观察其对衍射的影响。
1.3主要夫琅禾费圆孔衍射
2.1基尔霍夫衍射理论
基尔霍夫衍射理论又叫作标量衍射理论，它只适合标量波的衍射。
它的基本
内容是建立在惠更斯—菲涅耳原理基础上，并弥补了其不足之处，即:
波前上的没一点都
可以看成是一个次级扰动中心，发出球面子波;在后一时刻这些子波的包络面就是新的波前，且子波之间相干叠加，利用场论中格林定理，得到较完善的数学表达式，确定了倾斜因子的具体形式。
在观察屏上P点的复振幅
利用mathematica数值模拟圆孔衍射2
Aexp（ikl）exp（ikr）cos（n,r）,cos（n,l）~公式:
E（P）dilr2
令Ccos（,）,cos（,）1，k（），2iexp（ikr）Acos（ikl）~~K（）d且E（Q），则E（P）CE（Q）rl
当点光源离孔径足够远时，此时到达孔的光可以看成事平面波，则cos（n）,1,令cos（,）cos，则K（）1,cos。
2
因为基尔霍夫公式中被积函数的形式复杂，还需引入近似计算。
由伴轴近似
11,（z1是观察屏和衍射屏之间的距离）;又有夫琅rz1有cos1，即K（）1，
禾费近似，即将观察屏和光源移到离衍射孔径很远的地方，这时可以近似有
x2,y2xx1,yy1rz1,,，如图2所示，其中（x1,y1）是衍射屏上的点坐标，（x,y）2z1z1
是观察屏上的点坐标。
从而可以得到在观察屏上某点的复振幅公式:
ik2ikexp（ikz1）~~2E（x,y）exp（x,y）E（x1,y1）exp,（xx1,yy1）dx1dy1
iz12z2z11
x图2
2.2圆孔的夫琅禾费衍射
2.2.1复振幅公式
利用mathematica数值模拟圆孔衍射3
圆孔夫琅禾费衍射的实验采用下图所示的系统。
y
x
图3
因为观察夫琅禾费衍射需要入射平面波，故一般可以在衍射屏前放置一透
镜，使入射光转化为平面波，也可以使用激光;又因为出射的光也是平面波，即要把观察屏放置在离衍射孔径很远的地方，但若是这样的话，在实验室中很难实现，所以可以使用透
镜来缩短距离。
如图3所示，在孔径后紧靠孔径处放置一个焦距为f的透镜，则由透镜的性质，对应于θ方向的光波将通过透镜汇聚于焦面上的P点。
在焦面上观察到的衍射图样与没有透镜时在远场观察到的衍射图样相似，只是大小比例输小为f/z1。
这对于我们只关心的衍射图样的相对强度分布来说，并无任何影响。
假定圆孔的半径为R，圆孔中心O位于光轴上，由于圆孔的圆对称性,在计算圆孔的衍射强度分布时采用极坐标比较方便。
有x1r1cos1,y1r1sin1，xrcos,ysin，并把z1换成f，结合前面的观察屏上点（x,y）复振幅公式:
ik~ikexikzp1（）~E（P）ex（x2,y2）E（x1,y1）ex,p（xx1,yy1）dx1dy1，可以得iz12z12z1
~E（P）C’exp,ikr1,）r1dr1d1，到夫琅禾费圆孔的复振幅公式:
式中，1cos（
00a2
CA’x2,y2
Cexp（ikf），另一位相因子exp[ik（）]在计算强度时最终将被消去，f2f’
为使式子简化，上式省略。
根据零阶贝塞尔函数的积分表示式，
1J0（Z）22~’exp（iZcos）dE（P）2C，则J0（kr1）r1dr1，根据J0（kr1）为偶
00a
利用mathematica数值模拟圆孔衍射4
函数的性质与贝塞尔函数的递推关系
2J（kR）~。
E（P）R2C’1
kR
d[ZJ1（Z）]ZJ0（Z）,可以得到:
dZ
2.2.2光强公式与光强分布分析
222J（kR）~2J1（Z）I,式中，p点的光强度IE（P）（R2）2C’1
0kRZ22
I0（R2）2C’是轴上点P0的强度，而ZkR。
在光学仪器理论中，这是个很重要的公式。
（1）、J1（Z）函数的性质a.Z0时J1（Z）0,2J1（Z）的最大值为1/2的最大值=1/2;Z2
b.J1（Z）的零点在1.22,2.23,3.24,...;
c.Z增大J1（Z）以振荡形式衰减，如图4所示。
图4
（2）、光强分布特点
由光强度公式可知，p点的强度与它对应的衍射角有关，而r/f，
由此可知，对于确定入射光波长及圆孔半径的衍射在观察屏上的强度分布与对应的透镜焦距f有关，而与无关。
I/I0关于Z的函数如图5所示。
后面将会用
Mathematica软件来分析光强分布随，f，R的变化的情景。
a.光强分布是以P0为中心的圆对称斑;
b.几何像点光强具有极大值,中央亮斑—爱里斑（零级主极强）;
利用mathematica数值模拟圆孔衍射5
c.爱里斑集中了入射光84%的能量,可看作由圆孔衍射所造成的光束扩展范围,其角半径即第一暗环的角半径;
I/I0
图5Z
2.2.4爱里斑
爱里斑在光学成像系统中有重要的地位，对于光学成像系统，除几何像差外，还有由光的衍射现象造成的衍射像差，我们一般利用用爱里斑角半径来说明成像系统的分辨请况。
在伴轴情况下，tansin。
由第一级极小条件tansin0.61
爱里斑半角宽:
由第一级极小条件sin
应的角宽度1。
爱里斑线半径:
lf10.61R0.61，第一暗环的半径r1对R
RD
判据作为分辨标准，即一个点物衍射图样的中央极大与近旁另一个点物衍射图样的第一极小重合，作为光学成像系统的分辨极限，认为此时系统恰好可以分辨开两个点物。
f1.22f。
一般以瑞利
2.3用Mathematica模拟圆孔衍射的光强分布
2.3.1Mathematica的一些功能
它是一个将计算与完整工作流程完全融合的开发平台。
从一个最初的创意出发，到最终个人或企业解决方案的部署，从始至终，乃至中间的每一环节，都可以由它来实现。
Mathematica软件包是WolframResearch，Inc（推出的面向科学计算的交互式软件，具有强大的图形输出功能。
该软件将三维图形的绘制和显示集成在
利用mathematica数值模拟圆孔衍射6
Plot3D，Pa—rametricPlot3D，ListPlot3D和Show等
BoxRatios->{1,1,0.8},AxesLabel->{“x”,“y”,“f（x,y）”}]
解释:
Plot3D表示画三维图，两个变量分别为x,y,范围是-5<x<10,0<y<10,
函数值是所有的（All），画点个数为80个，
长宽高比例为1:
1:
0.8，坐标表示为x，y，f（x，y）。
c.画等高图
ContouPlot[f[x,y],{x,-5,10},{y,0,10},PlotPoints->80]
2.3.2圆孔衍射光强分布的模拟及分析
有公式:
222J1（Z）2J1（Z）2J1（kRr/f）2J1（2Rx,y/f）II0I/I0
22ZZkRr/f2Rx,y/f
由此公式，即可通过mathematica画出光强分布图。
光强分布是随圆孔半径R,2222
入射光波长，透镜焦距f而变的，下面对其进行逐一分析。
a.光强分布随波长变化的模拟与分析
波长取400nm,R=1mmf=1000mm得到三维图与等高图为:
利用mathematica数值模拟圆孔衍射7
图6
由图可知，圆孔衍射光强分布图样中心艾里斑强度最大，向周围扩展，亮环越来越细且强度越弱。
当波长改为600nm时有，三维图及等高图为:
图7
由图可知，圆孔衍射光强分布图样随着入射光波长的增大中心艾里斑半径越大，周围的亮环半径越大，亮环也是越粗。
b.光强分布随透镜焦距f变化的模拟与分析
波长=400nm,R=1mmf=600mm得到三维图与等高图为:
利用mathematica数值模拟圆孔衍射8
图8
当波长f=1000mm时，三维图与等高图为:
图9
从图8与图9的比较可知，衍射图样随透镜焦距f的增大，衍射图样越清晰，艾里斑半径越大各亮环半径增大且变粗。
c.光强分布随衍射圆孔半径R变化的模拟与分析
波长=400nm,R=0.7mm,f=1000mm得到三维图与等高图为:
利用mathematica数值模拟圆孔衍射9
图10
当R=1mm时，三维图与等高图为:
图11
从图10与图11的比较可知，衍射图样随圆孔半径R的增大，衍射图样越清晰，艾里斑半径越大各亮环半径增大且变粗。
2.4总结
夫琅禾费衍射实验，若是在实验室观察，虽然较为清晰，但是不好对比，然而运用mathematica模拟光的衍射光强分布，可以简便、直观地展现了光的衍射这一物理现象，并且清楚的比较各参数变量变化而引起的图样变化。
而且用计算机模拟不受实验条件的限制，使用方便，既可以用于教师的课堂教学，又可以与物理实验搭配使用，让学生在观察实验现象的同时与计算机模拟相比较，由此激发学生去探索实验环境和操作方法对实验现象的影响。
通过计算机模拟将解析的
利用mathematica数值模拟圆孔衍射10
代数形式转化为几何模式，把抽象思维与形象思维联系在一起，可以有效地加深学生对概念和原理的理解，也可以鼓励学生自己创新设计新的程序来模拟实验。
培养学生的动手和创新能力。
参考文献
[1]姚启钧.光学教程.第四版.高等教育出版社，2008.（6）82-89
[2]李国.Mathematica软件在函数图形绘制及特性分析中的应用[J].现代电子技术，2006,（22）:
1-1
[3]梁铨廷.物理光学.第三版.高等教育出版社，2008.（4）174-179
[4]梁铨廷.物理光学.第三版.高等教育出版社，2008.（4）177
[5]钟锡华.现在光学基础.北京大学出版社，2003.
（1）89-97
[6]赵凯华.光学.高等教育出版社，2004.
（1）163-193
[7]赵凯华.钟锡华.光学（上册）[M].北京:
北京大学出版社,1984:
210-213.
附录
图6:
z[λ_,R_,f_,x_,y_]:
=（2λ*R）/（λ*f）*xy;
i[λ_,R_,f_,x_,y_]:
=（（2BesselJ[1,z[λ,R,f,x,y]]）/z[λ,R,f,x,y]）
-6Plot3D[i[400*10,1,1000,x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},PlotRangeAll,Plot
Points50,BoxRatios{1,1,0.8}]
-6ContourPlot[i[400*10,0.5,1400,x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints
200]
图7:
z[λ_,R_,f_,x_,y_]:
=（2λ*R）/（λ*f）*xy;
i[λ_,R_,f_,x_,y_]:
=（（2BesselJ[1,z[λ,R,f,x,y]]）/z[λ,R,f,x,y]）
-6Plot3D[i[600*10,1,1000,x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},PlotRangeAll,Plot
Points50,BoxRatios{1,1,0.8}]
-6ContourPlot[i[600*10,1,1400,x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints20
0]
图8:
z[λ_,R_,f_,x_,y_]:
=（2λ*R）/（λ*f）*xy;
利用mathematica数值模拟圆孔衍射11
i[λ_,R_,f_,x_,y_]:
=（（2BesselJ[1,z[λ,R,f,x,y]]）/z[λ,R,f,x,y]）
-6Plot3D[i[550*10,1,600,x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},PlotRangeAll,PlotP
oints50,BoxRatios{1,1,0.8}]
-6ContourPlot[i[550*10,1,700,x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints200
]
图9:
z[λ_,R_,f_,x_,y_]:
=（2λ*R）/（λ*f）*xy;
i[λ_,R_,f_,x_,y_]:
=（（2BesselJ[1,z[λ,R,f,x,y]]）/z[λ,R,f,x,y]）
-6Plot3D[i[550*10,1,1000,x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},PlotRangeAll,Plot
Points50,BoxRatios{1,1,0.8}]
-6ContourPlot[i[550*10,1,1000,x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints20
0]
图10:
z[λ_,R_,f_,x_,y_]:
=（2λ*R）/（λ*f）*xy;
i[λ_,R_,f_,x_,y_]:
=（（2BesselJ[1,z[λ,R,f,x,y]]）/z[λ,R,f,x,y]）
-6Plot3D[i[550*10,0.7,1000,x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},PlotRangeAll,Pl
otPoints50,BoxRatios{1,1,0.8}]
-6ContourPlot[i[550*10,0.7,1000,x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints
200]
图11:
z[λ_,R_,f_,x_,y_]:
=（2λ*R）/（λ*f）*xy;
i[λ_,R_,f_,x_,y_]:
=（（2BesselJ[1,z[λ,R,f,x,y]]）/z[λ,R,f,x,y]）
-6Plot3D[i[550*10,1,1000,x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},PlotRangeAll,Plot
Points50,BoxRatios{1,1,0.8}]
-6ContourPlot[i[550*10,1,1000,x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints20
0]
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