材料力学练习册56详细答案.docx
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材料力学练习册56详细答案
第五章弯曲应力
5-1直径为d的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上。
试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。
已知材料的弹性模量为E。
解:
■
a
_2_d
p一D厂D+d
I—
22
5-2图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。
试问：
（1）如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值;
⑵如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b应分别为何值;
解：
（1）欲使梁的弯曲强度最高，只要抗弯截面系数
bh1扳宀沪）
r_66
取极大值，为此令
便得
普
便得
（2）欲使梁的弯曲刚度最高，只要惯性矩取极大值，为此令
5-3图示简支梁，由血18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A底边的
纵向正应变&=3.0X10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。
已知钢的弹性模量
E=200GPa,a=1m。
解：
梁的剪力图及弯矩图如图所示，从弯矩图可见：
%二2込1
仏-2◎畑＜-=2x200x10sx3xl0^4=120MPa
5-4No.20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示。
若〔小-160MPa，试求许可载
由梁的强度条件
。
miF画弯矩图如题5.5图〈c）所示，最大禺
査附录三型钢表，No.20a工字钢的W=237cm\代入上式，可确定许可载荷
30W_3X160X10°X237X10^
~22
（e）
5-5图示结构中，AB梁和CD梁的矩形截面宽度均为b。
如已知AB梁高为hi,
CD梁高为h2。
欲使AB梁CD梁的最大弯曲正应力相等，则二梁的跨度li和12之间应满足什么样的关系？
若材料的许用应力为［二］，此时许用载荷F为多大？
解乂C1）柞弯矩图如圈示.两梁的应力：
叫，吆计算
二隔二百二阿
6
_^2才@7）沁―心
（3）应力相等：
叭=巧,亠=~.
厶用+酹
3J7/
⑷吩专磅引仃
F兰週空
5-6某吊钩横轴，受到载荷F=130kN作用，尺寸如图所示。
已知1=300mm，
h-110mm，b=160mm，d。
=75mm，材料的I」TOOMPa，试校核该轴的强
度。
解：
（1）弯矩图如图示，中间截面为危险截面•
（2）危险截面的抗弯截面系数升理_匕迦£_
66
-（160-75）x1102xlO^=
6
171.4xl0^m^
（3）最犬正应力
=56-9MPa<[cr]=100MPa.
°~la^
W4fF
130xl03xSOOxlO-3
4x171.4x10^
故：
梁强度足够*
5-7矩形截面梁AB,以固定铰支座A及拉杆CD支承，C点可视为铰支，有关尺寸如图所示。
设拉杆及横梁的Ic.l-160MPa，试求作用于梁B端的许可载荷F
解：
（1）CQ杆拉力为2巧，
4N4x2耳r.
据b苗二二二一兰[叩
2
得^[tr]~-x|=6280N
（2）梁的最大弯矩在C截面
M_=0.35^,
M6xO.35Kr】
0.3.5F
=5490N.
•”时防_160x106x（30-10）x602xlO-9
20.35x60.35x6
故:
许可载荷尸兰5.49RNo
5-8图示槽形截面铸铁梁，F=10kN,Me=70kNm，许用拉应力[（t]=35MPa，许用压应力[（c]=120MPa。
试校核梁的强度
klNin
解：
先求形心坐标，将图示截面看成一大矩形减去一小矩形
250x150x125-100x200x150—
yn==9b.43mm,y.二nS.jf
250x150-100x200
惯性矩
=10186x10®mm4
弯矩图如图所示，C截面的左、右截面为危险截面。
在C左截面，其最大拉、压应力分别为
在C右截面，其最大拉、压应力分别为
故
crtw=60^3MPa,Jc^=45.2MPa
5-9一铸铁梁，其截面如图所示，已知许用压应力为许用拉应力的4倍，即[。
c]=4[（Tt]。
试从强度方面考虑，宽度b为何值最佳。
解:
又因yi+y2=400mm,故yi=80mm,y2=320mm。
将截面对形心轴z取静矩，得
^=6C6x50-30x340xl50=0
A=510mm
5-10铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。
材料的许用拉应力tJ-40MPa。
试
正应力强度条件校核梁的强度。
若载荷不变，但将T形截面倒置，即翼缘在下成®，是否合理？
何故？
5-11图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成，试校核其强度。
已知载荷
F=4kN，梁跨度l=400mm，截面宽度b=50mm，高度h=80mm,木板的许用应力[（T]=7MPa，胶缝的许用切应力[t]=5MPa。
解：
从内力图可见
JFJFl尸$WK-亍1』M]WK-g
木板的最大正应力
%二整小MP包g
hn
由剪应力互等定理知：
胶缝的最大切应力等于横截面上的最大切应力
^=I^r=10NIPa<[rl
2bh
可见，该梁满足强度条件。
第六章弯曲变形
6-1试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程。
已知梁的EI为常量。
（图有
问题，支座处）
6-2试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程。
已知梁的EI为常量
3解：
-o
A1L=0M2=-MM2=0
JEJy'=0Efy^=-M砂；=0
E19y=CL
因巳=-Aife+C2
E冷=C3
当龚=o时*X=Q勺工=我时，仇=舄J?
=y2
当JC=f+e时，比二％匕=”当=/+2aW^,y=0
得—与―等（DQ
鹹、M
曲=0D2=~~^a/（/ha）
MMAf
皿g二一£7^=-Jkf+—（4-）£J^=-—
2工2
MM*M3M.
Eg=三氐^y-i-—-~^a~=^i（l-x+2a）
l+aa<.x^.£+a
6-3试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程。
已知梁的EI为常量
w解七
£7vf=M｝二普此一£»
E閃二胚一乎（/_力+牝_对
42
EIQ二坐宀纟宀q
86
£70—~^x）2-律。
7）、+Cj
S6
Ely.二虫护-g〒+CH+Q
]2424
恋"叙—好十知—初十3+马
已Ji=y2
得=-—
i”192
186192
盘忙西y二
'2424192
型叮-里—旦（1齐-必"瞪
22424192192
3
3192
3
E19.二生Q-xf丄Q-好
-86192
6-4T形截面梁，受力如图所示，EI为常数。
求梁的转角方程和挠曲线方程。
EIy\=陆=一15
EI9.=-^x2-丄F+q
■22】
El&2=一15戈+5
EIv,=—x3--x4+C]x+D]
16811
当a=0时，y=0当a=50t,y=0当工=5m时'耳=92y}=yL
得G—3.123C2=35.625D严QD2=-39.375
E19}=—a2--a5-3J25E⑹=-15^+35.625
4+5314ria-
=—x——x—3*125jc
68
22
=-—x2+35.6251-39375
2
6-5试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程。
已知梁的EI为常量
Eia
+G
o
Me
A
B
1/2
fF
ml
3EI
EI0z
6-6试用叠加法计算截面B的转角与截面C的挠度。
已知弯曲刚度EI为常数
%二%+%
所以
盼％+盼竺+旦=廻沁
e割圧16创3EI48因
解：
由叠加原理
查表：
一.三
X6E1
\6E1
（r）解：
支反力如图示.
（I十2d）
Elyl=M3=倉+2M
Q十2d）
（I+2cr）
2Mel^2a
EIG、=
M2
x+Adx+G（I+2d）2
岛52
fP
肿FP+
的—0小+——
C1342SZ16皿42SZ
6-7试计算图示刚架截面A的水平和铅垂位移。
设弯曲刚度EI为常数。
解：
如图
将B看成为固定端时
叭3E1
2SI
Fah
~eF
所以:
%詢“咲泌+空奶处对sEEI3EI
3E1
6-8用叠加法计算图示阶梯形梁的最大挠度。
设惯性矩
/V~
//////
12=2110
（图）
h
h
B（
a
a
F/2
A
D
D
B
解：
刚化：
，则:
牯A?
時时14A?
十aHaHa=
6E厶4E右他2民212削2
刚化丄，则:
所以：
3F^
气二％+%广4阻
6-9图示悬臂梁，承受均布载荷q与集中载荷ql作用。
试计算梁端的挠度及其方向，材料的弹性模量为E。
解：
只有f作用时，
r2皿__3
/4
1_3^，q_8E/i_16Eb
只有「'作用时，
.1,4畀灯
，-
贝U：
%朋肆+阮）=201丽
得：
二-乙舌与水平方向夹角为5.36。
斜向上
6-10试求图示梁的支反力。
设抗弯刚度EI为常数
解：
把结构分为两部分来求解。
由于轴力很小，可以忽略不计
对左半部，查表，并利用叠加原理可得B点挠度：
qa1朋
对右半部，查表，可得B点挠度:
3E1
由于左右两部分是连接在一起的，所以它们在B点的挠度相等，即:
41二珞
所以,
得:
N=一qa
16
取左半部受力分析，求解A处的支反力。
13
II\川_11得：
-上：
16
取右半部受力分析，求解C处的支反力
2
二；II丄..-一L，11得：
■-__r■
6-11图示刚架，弯曲刚度EI为常数，试画刚架的弯矩图
3Mea2
~2Er飞厂2助
由于C处的实际位移为零'所以：
"」1即：
-—丄'
求得：
R严
刚架A、
B处的弯矩为：
丁
8
刚架C处的弯矩为：
二_丄二由此可以画出刚架的弯矩图
6—12图示匀质梁，放置在水平的刚性平台上。
若伸出台外部分AB的长度为a，试计算台面上拱起部分BC的长度bo设抗弯刚度EI为常数，梁单位长度的重量为q。
解：
可以简化为如下图的计算模型
图⑵,
由11
6x05x200x10sx—
64
6-13图示圆截面轴，两端用轴承支持，承受载荷F=10kN作用。
若轴承处的许用转角bI-0.05rad，材料的弹性模量E=200GPa，试根据刚度要求确定轴径d
解：
，「、二丄，［一JL—，1L—
300
.1.200-1
门盹'一护）10x103x02x[（0.5）2-（0.2）2]143xlO"®
61EI
dA==；=:
sIJ.Uj
4*
6x0.5x200x109x—
64
门F卅-宀10xl03x03x[（0.5）3-（0J3）a]1.63xW®八心
£&E1」"
得:
>23.9mm
6-14图示梁，若跨度I=5m，力偶矩M!
=5kN,M^10kN，许用应力
lcI-160MPa，弹性模量E=200GPa，许用挠度!
■.1-I/500,试选择工字钢
M2
—I居x
解：
由于作用产生的挠度方程为:
由于丄i作用产生的挠度方程为:
由叠加原理，且厂•-…i］，可得挠度方程为:
-3?
-6/i+4/2=0
解得:
-1代入（i；'）式,
I_0・1881加十＜I炉一~E1~~500
代入数据并计算得:
/>1175.6cm
很容易求得梁的最大弯矩为
cr=^W
:
62.5cm3
查工字钢表，可以得到，选择No18工字钢合适。
BC为圆截面钢
如载荷F二30kN，
C的铅垂位移。
6-15图示结构，悬臂梁AB与简支梁DG均用Nq18工字钢制成杆，直径d=20mm，梁与杆的均弹性模量均为E=200GPa。
试计算梁内的最大弯曲正应力与杆内的最大正应力，以及横截面
解：
把结构分成三部分。
根据作用力与反作用力原理，，防二>厂.二；二、-二/'■
查表：
No18工字钢，1：
b处的挠度：
，代入数据得：
「匸二m厂a
33E13EI£
C处的挠度：
‘厂^^-一三-代入数据得:
^=1.21xlO-2-4.02xlO_Ty
BC杆的伸长:
由变形协调条件：
.-'.i.■'!
1.21x1俨-4.02x1严M-8・03x1Ln二223x1尸AT
DG梁C处弯矩最大，梁的抗弯截面系数为185cm3,
横截面C的垂直位移为:
^=L21xlO_a-402xlO_7x9.86xl03=8.14mm
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