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优秀数学建模论文
试卷综合评价分析的数学模型
摘要
本文解决的是试卷综合评价问题，基于对试题质量标准的理解，结合综合评优、图形分析等方法，建立分层模型、灰色系统模型，对2006年至2009年数学一考研试题进行评价，对2003年至2009年数学一考研试题的命题规律进行分析。
对于问题一：
首先结合大纲和试题确定考研数学一的深度值、广度值和技术性指标，然后根据专家评定、数据统计、小组预测给出标准试卷的各项标准值，确立历年试卷与标准试卷的数据对比关系，后建立分层模型，分别计算出试卷的深度、广度、技术性以及综合质量。
结果如下表：
评价指标
年份
相对于标准试卷的权向量
综合评分
深度
广度
技术性
2006
1.03
1.01
0.95
98
2007
1.07
1.00
0.93
98
2008
1.04
1.00
0.91
96
2009
1.05
1.00
0.95
98
对各项指标分析：
深度均偏高但幅度很小；广度基本吻合标准；技术性均偏低但波动不大；综合评分均高，保持在一恒定范围。
对于问题二：
基于问题一方法、结果的进一步应用，求得2003年到2009年的各项指标，后用灰色系统模型计算出2010的度深度值、广值和技术性指标以及综合质量，从而运用MATLAB软件分别绘制03年到10年的质量变化图和深度权向量、广度权向量、技术性权向量的变化图。
其变化如图：
权向量图
关键字：
考研数学一分层模型灰色系统模型图形分析
1、问题重述
各种考试对于试卷质量的要求非常严格。
如何保证试卷的质量，确保考试的公正、高效、合理，是命题人和考生都特别关注的事情。
不同的考试有不同的要求,考试的方式和内容也有所不同,而考试的目的如水平考试、选拨考试、竞赛考试等对试题的要求也不尽相同,因此,评价试卷质量的标准也各不相同。
考研是一项选拔性考试，科目数学一又有别于其他科目。
结合考试大纲和试题，运用定性和定量相结合的方法，确立试卷的质量标准，对历年考研数学一试卷进行评价，并分析命题的规律性，是总结以往试卷质量，改善今后试卷质量的重要措施。
基于以上分析和探讨，给出历年考研数学一的试题，在参考考试大纲的基础上，提出两个具体问题：
1.结合大纲要求，对2006年到2009年的考研数学一试题进行定量分析评价；2.总结以往的考试规律，对2003年到2009年考研数学命题的规律性进行分析。
2、问题分析
试卷质量的综合评价和命题的规律性分析分别属于评价问题和预测问题。
鉴于试卷评价的层次性和复杂性，我们选取层次模型加以分析，而对于试卷命题的规律性分析，我们运用灰色系统模型和数学软件加以解决。
就考研数学一试卷本身来看，知识面有高等数学、线性代数、概率统计三个部分组成，难易程度有难、中、易三个层次，题型有选择题、填空题、综合题三种，而综合性和知识覆盖面也是重要的隐含信息。
从而，我们对所要解决的两个问题具体分析如下：
针对问题一：
试卷质量的评价标准受到多方面因素的影响，具体总结为深度、广度和技术性三个层面，而在试卷的命题过程中，三者的权重同等重要。
其中深度与每套试卷中难、中、易三类题的分值大小相关；广度与高等数学、线性代数、概率统计所占分值相关，技术性则包括覆盖面、综合性、题型比例，其中题型比例由选择题、填空题、综合题所占分值决定。
在此基础上，通过试卷与大纲的综合分析，对各影响因素给出决定比值，从而依据各因素的相互影响因素建立分层模型，综合得出2006年到2009年试卷的综合评定值。
通过所得值与标准值的比较，确定试卷质量。
针对问题二：
首先进行定量分析：
在问题一中，计算出2006年到2009年考研数学一试卷的深度值、广度值、技术性指标以及综合质量值，通过进一步计算，我们得到2003年到2009年的深度值、广度值、技术性指标以及综合质量值。
运用灰色模型对2010年深度值、广度值、技术性指标分别加以计算、预测，对质量结合问题一进行计算。
然后进行定性分析：
根据2003年到2010年各项值，运用数理统计方法找出其变化规律并用MATLAB软件作图，分析规律。
3、模型假设
1）假定自2003年起考试大纲没有大的变动；
2）标准试卷的各项指标为最优；
3）学生能力大致符合正态分布；
4）专家对问题的难度估计无误；
5）各个指标的定权无误；
6）深度、广度和技术性指标能被文中要素全面反映。
4、符号说明
序号
符号
符号说明
1
原始序列
2
为相应的模拟误差序列
3
将原始数据累加生成德序列
4
将原始数据作累加生成，第K个累加生成为元素
5
表示深度权向量中第K套试卷与标准试卷的比值
6
表示相应的模拟序列
7
为相应的模拟值
8
对作紧邻均值生成的序列
9
X与的灰色关联度
10
、、
分别表示试卷的深度、广度和技术性
11
、、
分别表示试卷中的基本题、中等题、难题
12
对的权向量
13
（i=1,2,3）
依次表示高数、线性代数、概率
14
分别表示标准试卷，03年试卷...09年试卷
15
X对（i=1,2,3）的权向量
16
X对（i=1,2,3）的权向量
17
X对（i=1,2,3）的权向量
18
X对的权向量
19
试卷质量的权向量
5、模型的建立与求解
5.1模型准备
参照大纲、结合试题，对2003年到2009年考研数学一试卷的深度值、广度值和技术性指标分别统计如下：
表5.1：
零三年到零九年考研数学的深度值
深度
年份
难
（分值）
中
（分值）
易
（分值）
总分
2003
32
69
49
150
2004
36
73
41
150
2005
31
70
49
150
2006
35
72
43
150
2007
34
75
41
150
2008
33
74
43
150
2009
34
76
40
150
分析：
1.难、中、易三类题在历年试卷中所占分值基本稳定
2.难、中、易三类题的比例基本符合34：
72：
44
表5.2:
零三年到零九年考研数学的广度值
广度
年份
高等数学
（分值）
线性代数
（分值）
概率统计
（分值）
总分
2003
90
30
30
150
2004
90
30
30
150
2005
90
30
30
150
2006
90
30
30
150
2007
82
34
34
150
2008
82
34
34
150
2009
82
34
34
150
分析：
1.高等数学、线性代数、概率统计在历年中占分值基本稳定
2.高等数学所占比重最大
3.三者所占分值比例基本为68：
32：
32
表5.3:
零三年到零九年考研数学的技术性指标
技术性
年份
各项技术评分
覆盖面
（评分）
综合性
（评分）
题型比例
选择题（分值）
填空题（分值）
综合题（分值）
评分
2003
8
9
24
24
102
8
2004
9
5
32
24
94
10
2005
8
10
32
24
94
10
2006
9
9
32
24
94
10
2007
9
9
40
24
86
9
2008
9
8
32
24
94
10
2009
9
9
32
24
94
10
说明：
1.覆盖面的满分值为10
2.综合性的满分值为10
3.题型比例的综合评分满分为10
分析：
技术性指标中覆盖面、综合性、题型比例各项值均稳定
5.2模型建立的建立、求解
5.2.1问题一模型：
5.2.1.1建立分层模型结构简图如下：
图1模型简图
5.2.1.2建立模型
5.2.1.2.1确立标准深度
设试卷的深度、广度、技术性分别为、、，它们对评价试卷的质量是同等重要的。
因此对试卷评定的权向量为=.
试卷中的基本题、中等题、难题分别表示为、、，则令={，，}，对于一套标准试卷来说，比较适宜的难度比例应该是30：
50：
20.对的成对比较矩阵为A，对的权向量为，则：
A=
将A按行求和取算术平均值,再归一化得=
5.2.1.2.2确立标准广度
在对试题的广度进行分析时，我们分别从高数、线性代数和概率三个方面的出题情况进行考虑。
（i=1,2,3）1、2、3依次表示高数、线性代数、概率
根据最近大纲的规定，此三部分的比例应为56：
22：
22比较恰当。
=
5.2.1.2.3确立标准技术性指标
在技术性方面的三个指标中，依据它们对试卷质量的的重要性对它们进行定权为覆盖面：
题类：
综合试题指标=5：
3：
4.
=
5.2.1.2.4确立历年试卷与标准试卷的数据对比关系
从到表示从2003年到2009年，表示标准试卷。
它们在各项评定标准中的得分或者数据应该如下表所示：
表5.42003年到2009年考研数学一在各项评定标准中的数据或得分
评定标准
试卷（年）
深度
广度
技术性
易
中
难
高等数学
线性代数
概率统计
覆盖面
综合性
题型比例
y11
y12
y13
y21
y22
y23
y31
y32
y33
标准
x0
30
75
45
84
33
33
10
10
10
2003
x1
32
69
49
90
30
30
8
8
9
2004
x2
36
73
41
90
30
30
9
10
8
2005
x3
31
70
49
90
30
30
8
10
10
2006
x4
35
72
43
90
30
30
9
10
9
2007
x5
34
75
41
82
34
34
9
9
9
2008
x6
33
74
43
82
34
34
9
10
8
2009
x7
34
76
40
82
34
34
9
10
9
说明：
1.标准深度（易、中、难比例）为30：
75：
45
2.标准广度（高数、现代、概率的比例）为84：
33：
33
3.标准技术性中覆盖面、综合性、题型比例均为10
5.2.1.3模型求解
令X={,,,,,,,}
先求出X对（i=1,2,3）的权向量
=
再求出X对（i=1,2,3）的权向量
=
最后求出X对（i=1,2,3）的权向量
=
设X对的权向量为，则=（，，）。
经计算得：
=；
=；
=。
X对试卷质量的权向量=（，，）W（z）
W（X）=
=
得出此向量后即得出了模型评价的综合指标。
根据这个指标数据的比例关系可以得出从2006年到2009年这四年间考研数学题目的质量得分：
分别为98、98、96、98（i=4,5,6,7）
对于一份试卷的质量来说，我们不能只看综合指标，由于三个因素间可能会互补，因此我们分别看三个指标：
对于深度来说所得的深度的权向量为：
；
对于广度来说所得的权向量为：
；
对于技术性来说所得的权向量为：
.
5.2.2问题二模型
定
升级会员 