车辆路径问题的模拟退火算法概要.docx

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车辆路径问题的模拟退火算法概要

第19卷第4期2006年7月

中国公路

ChinaJournalofHighway

学报

andTransport

V01.19NO.4July2006

文章编号:

i001-7372（200604一0123—04

O

车辆路径问题的模拟退火算法

胡大伟,朱志强,胡

（长安大学汽车学院,陕西西安

勇

710064

摘要:

在构造车辆路径问题（VehicleRoutingProblem,VRP数学模型后,采用路径间调整和路径内优化方法,结合模拟退火算法策略对该问题进行求解。

重点阐述了VRP模拟退火算法的设计思路,详细分析和编制了求解程序框图,并实现了计算机求解。

仿真测试结果表明:

采用模拟退火算法求解VRP效果显著,计算速度较快,与有关算法对比显示了较强的实用性和可操作性,为解决大规模VRP提供了一种有效算法。

关键词:

物流;车辆路径问题;模拟退火算法;2一opt法;插入法

中图分类号:

U492.22文献标志码:

A

SimulatedAnnealingAlgorithmforVehicleRoutingProblem

HUDa-wei,ZHUZhi—qiang,HUYong

（SchoolofAutomobile。

Chang’anUniversity,Xi’an710064,Shaanxi,China

Abstract:

Afterconstructingamathematicalmodelforthevehicleroutingproblem（VRP,usingthebetween—routeimprovementmethodandwithin—routeimprovementmethod,authorscombinedthestrategyofthesimulatedannealingalgorithmtosolveVRP.AuthorsemphasizedthedesignthoughtofthesimulatedannealingalgorithmtosolveVRP;analyzedandworkedoutaprogramflowchartofsimulatedannealingalgorithmfortheVRPindetailandachievedtOsolveVRPoncomputer.ThesimulatedtestresultsshowthatthealgorithmcansolvetheVRPefficientlyandquickly.Comparingwithotheralgorithms,thesimulatedannealingalgorithmhaspracticalityandeffectiveness.Simultaneously,authorsprovidedaneffectivealgorithmtosolvetheVRPinlargescale.

Keywords:

logistics;vehicleroutingproblem;simulatedannealingalgorithm;2一optmethod;in—sertmethod

引目

车辆路径问题（VehicleRoutingProblem,

VRP最早是由Dantzig和Ramser于1959年提出的,是指一定数量的客户,各自有不同数量的货物需求,配送中心向客户提供货物,由一个车队负责分送货物,选择适当的行车路径,目标是使得客户的需求得到满足,并能在一定的约束下,达到诸如路程最短、成本最小、耗费时间最少等目的[1]。

由此定义可以看出,旅行商问题（TravelingSalemanProblem,TSP是VRP的特例,由于Gaery已证明TSP是NP难题[2],因此,VRP也属于NP难题。

求解VRP的方法有精确算法和启发式算法。

精确算法有分枝定界法、割平面法、线性规划法、动态规划法等。

启发式算法有遗传算法、禁忌搜索算法、模拟退火算法等。

精确算法可以对小规模VRP

收稿日期:

2005—10—12

基金项目:

甘肃省交通科技项目（2171_2004854

作者简介:

胡大伟（1963一,男,北京市人,教授,工学博士研究生,E—mail:

dwhu2008cn@。

　万方数据

124中国公路学报2006生

进行精确求解,但其计算量随问题规模的增大呈指数增长,在实际应用中范围有限。

启发式算法可以在有限的时间内找到大规模VRP的满意解。

在启发式算法中,遗传算法“爬山”能力差,容易出现“早熟”现象;禁忌搜索算法占用计算机存储量较大,搜索效率较低,收敛速度较慢;模拟退火算法具有全局搜索能力强,收敛速度快的特点,因此笔者在构造VRP数学模型后,通过模拟退火算法对其进行求解,力图找到满意解。

Xm=0,1i,J∈N;kEK（7Y*一0,1iEN;k∈K（8U*>/0iEN;kEK（9式（1为目标函数,使得总费用最小;式（2表示每个客户都被访问到,且仅能被访问一次;式（3、（4为每条巡回路径上的配送限制;式（5为车辆的载货量限制;式（6为消去支路约束条件;式（7、（8为0—1变量说明;式（9表示支路约束量恒为非负值。

1VRP的数学模型2算法

车辆路径优化问题可以描述为:

从配送中心用多辆汽车向多个客户进行送货,每个客户的位置和需求量一定,每辆汽车的载货量已知,要求合理安排汽车路径,使得总费用最小,总费用包括运输费用和车辆的固定成本,并满足以下条件:

（1每条配送路径上各客户的需求量之和不超过汽车载货量;

（2每个客户的需求必须满足,且只能由一辆汽车送货一次。

具体符号定义如下:

i,歹为客户,i,J∈N,N为客户集合,N={1,2,…,n},,z为客户的数目,标号0表示配送中心（本文中为单配送中心;k为配送车辆,忌EK,K为配送车辆集合,K一{1,2,…,m,m为车辆的数目;C。

为客户i,.『之间的距离,可以转化成为运输费用;X肼为决策变量,表示第k辆车是否从客户i驶向客户_『,如果是,X矾为1,否则,其值为0;y旗也为决策变量,若车辆k服务客户i,其值为1,否则为0;F。

为第是条线路上车辆的固定成本;硼,为客户歹的货物需求量;Z为车辆的载货量;U。

为第是条线路上的支路消去约束变量。

数学模型如下

minC—rain（∑∑∑C埘X甜+

^iJ

∑F。

∑∑X驰（1女iJ

S.t.

∑∑X驰一1J∈N（2女i

∑x舭一Kj=o,1,…,以;愚∈K（3i

∑X计=Y女i=0,1,…,n;kEK（4J

∑甜,∑x融≤zkEK（5Ji

U*一U浦+行X瞅≤咒一1

i,fEN;kEK（6

笔者设计的求解VRP的方法是:

首先随机产生一个初始解,然后用模拟退火算法优化初始解。

2.1模拟退火算法

模拟退火算法最早的思想是由Metropolis在1953年提出的。

Kirkpatrick等在1983年成功地将模拟退火算法应用在组合优化问题中,其出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。

在对固体物质进行退火处理时,常先将它加温使其粒子可以自由运动,然后使粒子系统的温度以足够慢的速度下降;若温度下降的速率足够慢,系统近似处于热力学平衡点;随着温度逐渐下降,最后系统将达到本身的最低能量状态,即基态,这相当于能量函数的全局最小点[3]。

组合优化问题的目标函数与能量等价,解与微观状态等价,最优解与能量最低状态等价。

模拟退火算法是在一个给定温度下,搜索从一个状态随机变化到另一个状态,并用一个随机接受准则（Metropolis准则进行判断;温度缓慢下降,当温度很低时,就以概率1停留在最优解上。

2.2线路内2-opt法优化

在进行VRP线路内各节点排序优化时,通常采用2一opt法[4|。

假设（i,i+1和（J,J+1是当前可行解的两条边,则2一opt法运算后将得到两条新边（i,J和（i+1,歹+1,并对原来歹和i+1之间的路径进行翻转,就得到了新解,如图1所示。

ii

J+1

图12-opt法

Fig.12-optMethod

显然,只有当CⅢ+1+G—l>G.,+cf+l,』+1（C州

　万方数据

第4期胡大伟,等:

车辆路径问题的模拟退火算法125

为客户i到客户歹的距离时,所得到的解才是新的

可行解。

2.3算法设计

随机给定一个可行解^,它必须满足:

每个配送

路径上各客户的总需求量之和不超过汽车载货量;每

个客户的需求必须满足,且只能由一辆汽车送货。

邻域解的构造是通过两种方法:

路径问调整和

路径内优化[5]。

路径间调整采用两种方法:

插入法

和交换法。

插入法是随机选取两条不同的路径,从

一条路径中随机选取一个客户,插入到另外一条路

径中,插入的过程要保证另外一条路径上各客户的

总需求量在插入后没有超过其车辆载货量。

交换法

是随机选取两条不同的路径,然后从两条路径中分

别随机选取两个客户进行交换,交换要满足两条路

径上车辆的载货量限制。

本文中路径内优化采用

2一opt法。

模拟退火算法的温度下降规则为按比例下降,即丁…一口t,T;为第i次迭代温度,口为衰减系数。

退火策略是:

（1若在温度T:

时,随机进行U次循环,就认为在该温度下,每个分子都已经有足够的机会达到域佳位置,因而可以将温度下降到口Ti。

（2若在温度T:

时,成功对解改进L次。

这相当于退火过程中,已有足够的分子达到了最佳位置。

在这时,也将温度下降到aT。

。

算法停止规则是当温度降至终止温度t。

时,算法停止,表示已经达到最低温度。

模拟退火算法的流程如图2所示,详细情况见步骤1~7。

步骤l:

设置控制参数,包括初始温度T。

、温度衰减系数口、终止温度tr、当前温度迭代次数群、当前成功迭代次数z。

步骤2:

随机产生可行解^,令fi—fo。

步骤3:

构造邻域解,按照上述方法得到一个邻域解,,,且令“一“+1。

步骤4:

比较。

如果厂,≥厂。

则转步骤5;否则f。

一,,,记录当前解为最优解,l—z+1,转步骤6。

步骤5:

Metropolis准则检验。

计算△^i一^一厂。

若exp（一△,“/r:

>e,￡为（o,1的随机数,则厂f一五,z=z+1;否则,转步骤6。

步骤6:

温度下降规则。

若“≥U或z≥L,T㈩=aT。

U一0,z=0,转步骤7;否则返回步骤3。

步骤7:

算法终止规则。

若当前温度丁川≤￡r,算法终止;否则返回步骤3。

图2模拟退火算法求解VRP流程

Fig.2FlowProcessof

SimulatedAnnealing

AlgorithmforVRP

3算例分析

笔者采用文献[6]中的20个客户节点数据进行仿真测试。

已知车辆容量为8,车辆固定成本为100,各客户之间运输成本由它们之间的直线距离决定。

表1数据为各节点坐标及需求量。

笔者采用c++编写了VRP的模拟退火算法程序。

在CPU为XP2500+的计算机上经过多次试验,在参数To一50,a一0.85,U一100,L一30,￡f一0.01时,得到结果为1155.68,其中运输费用为855.68,耗时为4.656S,其测试结果如表2所示。

文献[6]中采用蚁群算法,在蚂蚁数为30、最大循环次数为15等条件下求得最优路径与本文结果一致;文献E72中仅对VRP的特例TSP问题的10个节点情形采用模拟退火算法进行了优化,而笔者提出VRP的模拟退火算法,采用20个节点数据进行了验证,结果表明:

优化解比初始解目标函数下降了24.2%,计算时间不足5S。

4结语

笔者在随机构造VRP初始解的基础上,采用路径间调整和路径内优化方法,结合模拟退火算法策略,快速有效地对VRP进行了求解,并用模拟数据对模型和算法进行了验证。

结果表明,本文中提出的算法可以快速有效地求解VRP,对于减少物流配送系统的费用,具有较强的实用性。

　万方数据

126中国公路学报2006生

表1各节点坐标及需求量

Tab。

1CoordinatesandDemandofJoints

编号配送中心客户1客户2客户3客户4客户5客户6坐标值（52,4（15,49（O.61（51。

15（25,71（38。

62（35,45需求量O1.641.31O.433.381.133.77

编号客户7客户8客户9客户10客户1l客户12客户13坐标值（100,41（10,52（26,79（87,7（24,89（19.25（20,99需求量3.480.390.241.032.352.601.00

编号客户14客户15客户16客户17客户18客户19客户20坐标值（73。

91（100,95（7。

73（69.86（24,3（66,14（9,30需求量0.650.582.561.272.693.262.97

表2测试结果

Tab.2TestResult

目标值路径

O—l一2—3—4—5一O

O一6—7—8~9一O

初始解1525.03O一10一11一12—13—14~O

O一15~16一17—18一O

0~19—20—O

O一15—14—17—4—5—3一O

0—6—18一O

优化解1155.68O一9—11—13—16—2—8一O

O一1—20一12一O

O一19—7—10一0

需要指出的是:

模拟退火算法中不同的参数取值会引起不同的结果。

在求解具体问题时,需通过大量的数值模拟计算找出最佳的参数搭配,以求得比较好的结果。

参考文献:

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车辆路径问题的模拟退火算法

刊名:

中国公路学报

英文刊名:

CHINAJOURNALOFHIGHWAYANDTRANSPORT年,卷（期:

2006,19（4被引用次数:

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