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关于复变对数函数运算性质的教学思考
2010NO34
—.i:
—Iov日tl.nHerald
关于复变对数函数运算性质的教学思考
黄萍
（解放军理工大学理学院数理系南京211101）
理论前沿
摘要:
众所周知,实变对数函数具有运算性质ln1ln
>2,∈z）,复变对数函数作为实变对数函数在复效域内的推广,这个性质
是否依然成立呢?
作者在教学过程中EJJIL[‘中明确表明爵于复变对数函数该性质不再成立,但作者对此仍存在疑问,经过论证发现,事实上
Jt变对数函数仍有上述运算性质
关键词:
复变函数对数函数复变对数函数的运算性质
中图分类号:
0174文献标识码:
A文章编号:
1673--9795（201o）12（a）一O094-08
1基本概念及相关记号
复变函数的定义,形式上和高等数学中一元函数的定义一样,
不过自变量和函数值都取复数值（当然也包括取实数）.
1.1幂与根
n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,记作z,即:
z=z.z…z
----———
H个
设z:
r（cos0+isin=re,则:
:
（cosn8+isinnO）=rnP删
（1）
设,zf≥2）是正整数,定义7i1为满足:
z的复数w,当z0
时,w有n个互异值:
w:
zi1
:
:
I
（COSO+2k~r+isin.
O+2kx）（七:
o,1,2,.一,一1）
（2）
1.2指数函数
对于复数z=x+iy,定义指数函数=e.=e=ex（cosy+isinY）.
这样定义后,它具有如下性质（见）:
（1）对于任意的复数z,e0;
（2）当z为实数x时,:
e=e}
do）,
（3）o9=e在整个复平面上解析,并且’;
（4）对任何复数及zz,ee=eZl+z2;
（5）国=e是周期函数,且周期为2kxi（k∈Z）.
注:
性质
（1）～（4）是与实变指数函数相类似的,但性质（5）是复
变指数函数特有的性质,而实变指数函数是一个单调递增函数,不
具有周期性.
1.3对数函数
对于复数z0,满足z=e的复数称为z的对数,记为
Lnz.
令=u+iv,z=re,贝0:
e=re,
可得:
u=Inr,v=+2后=O,±1,,…）,所以:
Ln2=In,+iArgz=ln+iArgz（3）
由于Argz的多值性（见）,所以Lnz也是多值函数.
相应于Argz的主值argz,我们定义Inz=lll+iargz为Lnz
的主值,于是:
Lnz=Inz+2k~ri（=0,±1,±2,…）.
对应于每一个固定的k,Lnz=Inz+2尼称为lIlz的一个
分支.
结论:
任何不为零的复数有无穷多个对数,其中任意两个相差
2摩用.
与实变对数函数类似,复变对数函数具有如下运算性质,设
z1,z,都是不为零的复数,则有:
Ln（ZlZ2）:
In[z,z2I+iArg（zlZ2）
=
tn[zlf+lnII+i（Argz,+Argz2）
=Lnz.+Lnz,（4）
lI
Ln:
lnI三Ll+fg兰LJ
z2f.
=
tn[z,J—lllIf+i（Argz~一）
=Lnz一Lnz,（5）
94中国科教创新导刊ChinaEducationInnovationHerald
对于（4）和（5）应该这样理解,对于它们左边多值函数的任一分
支,一定有右边两多值函数的各一个值与之对应,使得有关等式成
立,反过来也一样.
2问题的提出及解决
作者在教学过程中发现,ll中指出等式:
Lnz=nLnz【6）
1
Lnzn:
Lnz（7）=二z（）
不再成立,其中n为大于1的正整数.
对于（6）,我们很容易验证其是不成立的,设z=rez0,
则有nLnz=nha,+i（nO+2nkx）（=0,±1,±2,…）,可知nLnz
只是Ln?
一的一部分.
1
而Lnz”=二Lnz>1,n∈z）是否成立,作者认为还有待进
n
一
步的论证…在第二章习题中,要求以n=2为例验证其是否正
确.13J中给出了如下的解答
解:
不正确,令z=一1则:
Ln√z=Ln√一1=Lnf:
（+2kn）i（尼=0,±l,±2,L）
Lnz=÷Ln（一1）=÷（7c+2七）i=（+J7c）f（.i}=0,士l,土2,L）’
11
所以Ln√与寺Ln（一1）并不相同,Ln√是Ln:
的一部分.
但是我们注意到:
±f,其有两个值,而上述解法中只考虑
了其中一个值,从而得出等式不成立的结论,这肯定是不妥当的.
由于等式（7）是要验证等号两端所表示的两个由无穷多个数构成的
数集的元素能不能对应,那我们就不能在算方根时,只取其中一个
根,而应该考虑所有的情况.
事实上,若我们令z:
三0,由
（2）知√:
.怠（七:
0,1）,即:
io1O+2tt
（）.=Pj,（）r—2e
由（3）,可得:
Ln（√）.=,
lnr+i（~,
+2石）（,=o,±1,±2,…）（8）
Ln（）:
1
.
1nr+f+（2啪+1（171=o,±l,+上,…）（9）
将（8）和（9）结合起来,可得:
Ln:
ln,+f+（:
0,±1,士2,…）（10）
注意到Lnz=lnr+i（+2mtr）（:
0,±1,±2,…）,
则:
Lllz=2lll,+f（0+聊万）（=
0,±l,±2,…）（11）
由（1.）和（11）,可得Lnz=Lnz,即在:
2时,等式（7）是成
奇的
下面我们对任意>l,∈z的给出Ln√;:
Ln的一般性的
证明.n
证明:
令z=rez0,由
（2）知:
理论前沿
一一
10—
+2
—
k~
√z=,e”（=0,1,2,…,n一1）
由（3）和（12）,可得:
Ln√:
1nr+i（0+2kx+21）（:
0,1,2,…,一1）（f:
0,±1,±2,
又LnZ=Inr+i（o+2mn”）（m=O,±1,+2,…）,贝0:
Lnz:
hr+i（--8+.
2rex）（:
0,±1,+2,…）
n
广1
要证Ln√z=Lnz,即证:
（12）
）（13）
（14）
1n,+i（0+2k;’c+21）:
1nr+f（旦+）（15）
nnnn
要使（15）成立,必须且只需:
k+nl=m（16）
即证:
（1）若k和l各取一确定的值,总可选取m的值,使（16）成立,
（2）若m取一确定的值,总可选取k和l的值,使（16）成立.
首先
（1）是显然成立.
下证
（2）
若m=0,1,2,…,一1,取,=0,而k相应地取为k=0,1,2,…,
n一1t
若m=n,n+1,n+2,…,2n一1,取,=1,而kSN应地取为k=
0,1,2,…,n一1;
若m=2n,2n+1,2n+2,…,3n一1,取f_2,而k相应地取为
k=0,1,2,…,n一1l
一
直下去,则对m≥0.m∈Z的情况,都能选取k和l的值,使
（16）成立.
若m=-1,-2,一（一1）,一,取,:
一1,而kSH应地取为k=n
一
1,n一2,…,0;
若m=-（n+1）,-（n+2）,…,一2,取,=-2,而k相应地取为
k=一1,n一2,…,0;
若m=-（2n+1）,-（2n+2）,…,-3n,取,=一3,而kSH应地取
为k=一1,一2,…,O;
一
直下去,则对m<0,m∈Z的情况,都能选取k和l的值,使
（16）成立.
从而知m取任意确定的整数值,总可选取k和l的值,使（t6）成立.
综上所述,（16）成立,HⅡLn√:
Lnz,得证.
1”7
参考文献
[1】西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M】.北京:
高等教育出
版社,1996:
45～68.
[2】钟玉泉.复变函数论[M].北京:
高等教育出版社,2003.
【3】滕加俊,吴红,刘小平,等.复变函数辅导及习题精解[M】.陕西师
范大学出版社,2006.
（上接93页）
三百首,不会作诗也会吟.”熟读和背诵,对于英语基础薄弱的职
高学生来说,尤为重要.
（3）要对学生进行写的训练,在写的过程中会使学生识记,领
悟和运用更多的句子.而且让学生们在写完之后进行同桌互改,
小组互改等调换着批改,一方面通过学生之间的互改,增加了学
生之间的交流,起到互帮互学,共同提高的作用;另一方面也是不
断地了解其他同学常犯的错误,不断地在操练”短文改错”.有时
候同样的错误,在自己写作的时候不觉得,但在其他同学的作文
里,一眼就能找到.多次练习会使学生们练就一双火眼金睛,总结
经常会犯的错误,提高他们对文稿的校对能力,使学生们在做短
文改错时感到得心应手.
（4）学生应掌握改错题的规律,对英语的基础语法要熟悉.
纵观近几年的高职考题,语法方面的改错都是比较基础的,因
此,只要学生掌握最基本的语法项目,得到5～6分应该不成问
题.如:
名词要注意单复数的误用,可数名词与不可数名词的区
别,名词所有格中”S”的误置等.冠词要注意a与fin的误用,单数
可数名词前面该用冠词的地方,缺少冠词,不该用冠词的地方
多了冠词.介词要注意它的搭配错误等等.也可以让学生牢记
下面这个顺口溜:
动词形名词数,还要注意形和副,非谓语,细
辨别;习惯用法要记住;代词格,细领悟;冠词连词常光顾;句子
成分多分析;逻辑错误须关注.
（5）学生应掌握的解题步骤:
①通读全文,了解短文大致意思
并弄清通篇短文在时态和人称上是否一致.一般说来,快速通读
短文可以在半至1分钟内完成,能发现2～3个明显的错误.②逐句
分析,解答疑难.运用学过的语法知识,进行逐句查看,不但要从
词的变化,还要通过对句型的结构分析以及句与句之间的意义连
接等,仔细分析,不确定的时候需要多读,多斟酌,直到清楚地找出
错误并改正.③重读全文,验证自己的答案,规范做题的格式.在基
本完成改错之后,需要再一次通读全文,通过自己的语感作最后的
判断,也可攻克整篇短文的最疑难部分.
（6）学生做短文改错应遵循的原则:
①以标点符号,单词大小
写,单词顺序不改为原则.②以在有错的一行改动为原则.③以保
持短文意思不变,单词形式变化最小为原则.
参考文献
【1】丁明华,孙诚.走向高职复习序列【M】.文化艺术出版社,2010.
[2】王月琴.NMET2003短文改错题分析[J】.中小学外语教学,2004,
1.
中国科教创新导刊ChinaEduoatlonInnovationHerald95
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