学大精品讲义六上数学 含答案第一讲长方体与正方体的复习.docx
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学大精品讲义六上数学含答案第一讲长方体与正方体的复习
第一讲长方体与正方体的复习
课程目标
1.认识长方体和正方体的特征,弄清长方体和正方体的关系;
2.掌握长方体和正方体的棱长和公式、表面积及体积的计算方法。
3.运用长方体和正方体的表面积和体积的计算公式解决数学问题,并能解决生活中的一些实际问题。
课程重点
掌握长方体和正方体的表面积的意义,及长方体和正方体的表面积的计算方法,
并能解决生活中的一些实际问题。
课程难点
长方体或正方体的接补部分是增加或减少四个面积的面积;长方体和正方体表面挖去一个正方体,体积减少了,但是表面积增加了四个面的面积。
教学方法建议
要求学生在熟记正方体和长方体的棱长和公式、侧面积和表面积公式及体积公式的基础上,再通过练习实际问题进行巩固公式及公式的变形。
一、知识梳理
1.认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图,了解长方体和正方体的关系,掌握长方体和正方体的表面积的意义,及长方体和正方体的表面积的计算方法,初步建立了空间观念,学会用数学的眼光观察生活中物体的形状,并能解决生活中的一些实际问题。
长方体和正方体都是立体图形,其特征如下:
长方体
正方体
相同点
都有个面
个顶点条棱
不同点
面的形状
6个面一般都是长方形,也可能
()个相对的面是正方形
6个面都是(
)形
面的大小
相对的面的面积相等
6个面的面积都相等
棱
长
12条棱分为三组,每组4条,长度
相等
12条棱的长度都相等
2.长方体、正方体有关棱长计算公式:
长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4=长×4+宽×4+高×4L=(a+b+h)×4长=棱长总和÷4-宽-高a=L÷4-b-h
宽=棱长总和÷4-长-高b=L÷4-a-h高=棱长总和÷4-长-宽h=L÷4-a-b
正方体的棱长总和=棱长×12L=a×12正方体的棱长=棱长总和÷12a=L÷12
3.长方体或正方体的表面积和体积
表面积
体积
长方体
S表=2ab+2ah+2bhS表=2⨯(ab+ah+bh)
(长×宽+长×高+宽×高)×2
V=abh或V=长×宽×高
V=sh
正方体
S表=6a
2
S表=棱长×棱长×6
V=a3或V=棱长×棱长×棱长
V=s⨯h
4.箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做他们的容积。
常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升
a3读作“a的立方”表示3个a相乘,(即a·a·a)
【体积单位换算】高级单位低级单位
×进率
÷进率
低级单位高级单位
进率:
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升
1立方厘米=1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
5.生活实际:
油箱、罐头盒等都是6个面;游泳池、鱼缸等都只有5个面;水管、烟囱、贴墙纸等都只有4个面:
S=2(ah+bh)
注意1:
用刀分开物体时,每分一次增加两个面。
(表面积相应增加)
注意2:
长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,表面积会扩大倍数的平方倍。
(如长、宽、高各扩大2倍,表面积就会扩大到原来的4倍)。
注意3:
一个长方体和一个正方体的棱长总和相等,但体积不一定相等。
长方体或正方体容器容积的计算方法,跟体积的计算方法相同。
但要从容器里面量长、宽、高。
(所以,对于同一个物体,体积大于容积。
)注意4:
长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,体积就会扩大倍数的立方倍。
(如长、宽、高各扩大2倍,体积就会扩大到原来的8倍)。
*形状不规则的物体可以用排水法求体积,形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式:
V物体=V现在-V原来
也可以V物体=S×(h现在-h原来)
V物体=S×h升高
二、方法归纳
1.在工程上,“1m³”的土、沙、石等均简称“1方”。
2.体积单位间的进率:
1dm³=1000cm³1m³=1000dm³
长度单位相邻两个单位之间的进率是10;面积单位相邻两个单位之间的进率是100;体积单位相邻两个单位之间的进率是1000.
单位换算:
高级单位化低级单位X进率;低级单位化高级单位÷进率。
3.箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。
4.计量容积,一般就用体积单位。
计量液体的体积,如水、油等,常用容积单位升和毫升,也可以写成L和ml。
5.容积单位间及容积单位和体积单位间的进率:
1L=1000ml1L=1dm³1ml=1cm³
6.形状不规则的物体可以用排水法求得它们的体积。
※举例:
一个烧杯中原有水200毫升,放入西红柿后水位上升至350毫升处,则西红柿的体积就是水面上升的那部分水的体积:
350-200=150(ml)=150(cm³)
7.长方体和正方体的表面积及体积的计算:
长方体和正方体的关系:
如图
(2)
长方体所具备的特征正方体都具备,所以正方体是一种特殊的长方体。
它们的关系可以用下图来表示。
8.生活实际
油箱、罐头盒等都是6个面;游泳池、鱼缸等都只有5个面;水管、烟囱等都只有4个面。
9.长方体或正方体每截断一次会增加两个截面,所以这时的两个物体的表面积大于原来物体的表面积。
10.长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,表面积会扩大倍数的平方倍。
(如长、宽、高各扩大2倍,表面积就会扩大到原来的4倍)。
11.容积的计算:
长方体和正方体容器容积的计算方法,跟体积的计算方法相同,但要从里面量长、宽、高。
(所以物体的体积大于它的容积)。
12.长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,体积就会扩大倍数的立方倍。
(如长、宽、高各扩大2倍,体积就会扩大到原来的8倍)。
13.排水法:
(计算不规则物体的体积)
三、课堂精讲
(一)单位间的互化:
例1
(1)在()里填上合适的单位
(1)一瓶墨水的体积是60()
(2)一支粉笔的体积约是16()
(3)一根木头的体积是0.2()(4)摩托车油箱的容积是35()。
(5)一个粉笔盒的体积是大约是1()(6)医药箱的体积是30()
(7)一瓶矿泉水的体积是350()(8)一间教室的面积大约是60()
(2)单位转换
5.2立方米=(
)立方分米
0.35立方分米=(
)立方厘米
7.05升=(
)毫升
4.15平方分米=(
)平方厘米
8460立方分米=(
)立方米
950毫升=(
)立方厘米
72.5立方分米=(
)立方厘米
10020立方分米=(
)立方米
3.2立方分米=(
)立方厘米
500立方分米=(
)立方米
9立方米500立方分米=()立方米=()立方分米
3.6升=()毫升=()立方厘米
1700平方厘米=()平方分米=()平方米
(二)正方体与长方体的棱长和
(2)一根铁丝围成了一个长为6cm、宽4cm、高2cm的长方体的框架。
这根铁丝长多少厘米?
如果用这根铁丝围成一个正方体的框架,这个正方体的棱长是多少厘米?
【搭配课堂训练题】【难度分级】B
1.有一根长52厘米的铁丝,恰好可以焊接成一个长6厘米,宽4厘米,高()厘米的长方体。
2.如图,有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱,如果用绳子将箱子横着捆两
道,长着捆一道,打结处共用2分米。
一共要用绳子多长?
(三)直接运用正方体与长方体的公式例3.看图计算。
棱长总和:
;棱长总和:
;表面积:
;表面积:
;体积:
;体积:
;
(四)正方体与长方体的体积
纸盒(不考虑接缝及损耗,长、宽、高取整厘米数),使这个纸盒的容积大于65立方厘米。
①请你在这张正方形纸上画出裁剪草图,
(2)有一块棱长是80厘米的正方体的铁块,现在要把它熔铸成一个横截面积是20平方厘米的长方体,这个长方体的长是多少厘米?
【搭配课堂训练题】【难度分级】B
1.长方体的木箱的体积与容积比较()。
A.一样大B.体积大C.容积大D.无法比较大小2.把一个长方体分成几个小长方体后,体积()。
A.不变B.比原来大了C.比原来小了
3.一个正方体的棱长如果扩大2倍,那么表面积扩大()倍,体积扩大()倍。
(五)与正方体与长方体有关的实际问题
例5.
(1)一个长方体的无盖铁皮水桶,长和宽都是2.5分米,高6分米。
做一对这样的水桶,至少需要多少平方分米铁皮?
(2)一种长2米的长方体通气管的横截面是长2.5分米,宽1.5分米的长方形,制作100
根这样的通气管至少需要多少平方米?
(3)一盒饼干长20厘米,宽15厘米,高30厘米,现在要在它的四周贴上商标纸,这张商标纸的面积是多少平方厘米?
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
1.学校要砌一道长20米,宽0.24米、高2米的墙,每立方米需要砖525块,学校需要买多少块砖?
2.一个长方体的水池,长8.5米,宽4米,深2米,如果每小时可以放进8立方米,要放满这一池水需要多少小时?
3.在一个长10米、宽3.5米的长方形客厅的地面上铺设2厘米厚的木地板,至少需要木材多少立方米?
铺好要在地板上涂上油漆,油漆面积是多少?
4.
一个长方体的药水箱里装了60升的药水,已知药水箱里面长5分米,宽3分米,它的深
(六)不规则图形的体积
例6.
(1)把一个苹果浸没在一个棱长为1.5分米的正方体水箱中,此时水箱刚好满了,拿
出苹果,水面高度为13厘米,这个苹果的体积是多少立方厘米?
(2)把144升水倒入一个棱长为6分米的正方体容器里,水面距容器口还有多少分米?
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
1.一个长方体容器,底面积是300平方厘米,高是10厘米,里面盛有5厘米深的水。
现将
一块石头放入水中,水面升高了2厘米。
这块石头的体积是多少立方厘米?
2.把一个体积为460立方厘米的石块放入一个长方体容器中,完全进入水中后,水面由148
厘米上升到150厘米,这个容器的底面积是多少?
(七)长方体与正方体的截与接:
例7.
(1)一个长2米的长方体钢材截成三段,表面积比原来增加2.4平方分米,这根钢材原来的体积是()。
(2)一个长方体,如果长减少2厘米,就成为一个正方体,这时,正方体的表面积是96平方厘米,原来长方体的体积是()。
(3)一个长方体,如果高减少3厘米,就成为一个正方体。
这时表面积比原来减少了96平方厘米。
原来长方体的体积是()立方厘米。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
1.把一根长2米的长方体木料锯成两段后,表面积增加了100平方厘米,它的体积是()。
A.200立方厘米B.10000立方厘米C.2立方分米
2.一个长方体正好可以切成两个棱长是3厘米的正方体,这个长方体的表面积是()。
A.108平方厘米B.54平方厘米C.90平方厘米D.99平方厘米
3.用27个体积是1立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体,粘合后的大正方体的表面积是()。
4.一个长15厘米,宽6厘米,高4厘米的长方体的木块,可以截成()块棱长2厘米的正方体木块。
5.把两个长5厘米,宽4厘米,高3厘米的小长方体拼成一个大长方体,表面积最多减少
()平方厘米,最少减少()平方厘米。
(八)长方体与正方体综合运用
例8.有一个新建的小区准备修建一个游泳池,知道同学们这部分知识学得不错,想请同学
们帮个忙:
游泳池长50米,宽20米,深20分米。
(1)这个游泳池的占地面积是多少?
(2)需要挖出多少方的土?
(3)挖出的土作为一段路的路基,路宽2米,厚度10厘米,能铺多长?
(4)如果给这个游泳池的池底和四周贴上瓷砖,每平方米需要10块瓷砖,那么至少需要多少块这样的瓷砖?
(5)如果沿着游泳池的池口涂上一条红色的边线,边线的长度是多少米?
(6)如果在游泳池中放入1.8米深的水,那么一共需要多少升水?
(7)如果一个成年人的体积是60立方分米,100个人在游泳池游泳,水面最多升高多少?
四、讲练结合题
1.一个长方体的长是1米4分米,宽是5分米,高是5分米,这个长方体有()个面是正方形,每个面的面积是()平方分米;其余四个面是长方形的面积大小(),每个面的面积是()平方分米;这个长方体的表面积是()平方分米,体积是
()立方分米。
3.一个正方体的棱长总和是72厘米,它的一个面是边长()厘米的正方形,它的表面积是()平方厘米,体积是()。
4.
至少要()个小正方体才能拼成一个大正方体,如果一个小正方体的棱长是5厘米,
6.一个正方体的底面积是25平方分米,它的表面积是()平方分米,它的体积是
()立方分米。
7.有一个长方体的木料长3厘米,宽3厘米,高2厘米。
把它切成1立方厘米的小方块,可以切成()个小方块。
8.一个棱长是5分米的正方体水池,蓄水后水面低于池口2分米,水的体积是()升。
9.一根长方体木料,宽3分米,厚2厘米,体积0.12立方米。
这根木料的长是()米,放在地上,占地面积最大是()平方分米。
10.一个木料长3米,宽和高都是20厘米,把它截成4段,表面积增加()平方米。
二、解决问题:
1.挖一个长方体蓄水池,水池长18米,比宽多10米,深度比宽少2米。
现有24个工人参
加挖池工作,如果平均每人每天挖3立方米,多少天才能挖完?
2.把一个长70厘米、宽50厘米、高50厘米的长方体木块削成一个体积最大的正方体,削去部分的体积是多少立方分米?
3.一块长9分米、宽6分米、高8分米的木料,锯成棱长2分米的正方体木块,可以锯多少块?
4.一个长方体油箱,底面是一个正方形,边长是6分米,里面已盛油144升,已知里面油的深度是油箱深度的一半,这个油箱深多少分米?
5.一个水池长6米、宽5米、高1.5米,池里所储的水是36立方米,问现在水面距池口多少米?
6.一个长方体容器,底面长60厘米,宽38厘米,里面沉入一个长方体钢块,当钢块取出时,
容器中的水面下降5厘米,如果长方体钢块的底面积是570平方厘米,钢块高多少厘米?
7.把12个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体,拼成的长方体的表面积是多少平方厘米?
有几个不同的答案?
五.课后自测练习
1.一个正方体的底面周长是16厘米,它的表面积是()平方厘米,体积是()立方厘米。
2.将三个棱长是4厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的体积是()立方厘米,表面积是()平方厘米。
3.把一个棱长10厘米的正方体,分成两个完全相同的长方体,这两个长方体的体积之和是()立方厘米,表面积之和是()平方厘米。
4.把一个长6厘米,宽5厘米,高4厘米的长方体木块锯成两个小长方体,表面积至少增加()平方厘米,至多增加()平方厘米。
5.把一个横截面的边长为5厘米,长为2米的木料锯成4段后,表面积比原来增加了()平方厘米。
6.把一个长16厘米,宽6厘米,高8厘米的大长方体切成两个小长方体,这两个小长方体的表面积的和最大()平方厘米。
7.一个正方体的表面积是24平方分米,把它分成两个完全相同的长方体,每个长方体的表面积是()。
8.一种正方体的棱长是5厘米,用4个这样的正方体拼成一个大长方体。
大长方体的表面积可能是()平方厘米,也可能是()平方厘米。
9.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体,其中一点红色都没有的小正方体只有3块。
原来长方体的体积是()立方厘米。
10.有一个长方体的底面是正方形,边长12分米,高为4.2分米,将这个长方体平均截成两个相同的长方体,表面积增加()或()。
11.把长1.2米的长方体木料锯成3段,表面积增加48平方分米,原来木料的体积是
()。
12.一个长方体的金鱼缸,长是8分米,宽是5分米,高是6分米,不小心前面的玻璃被打坏了,修理时配上的玻璃的面积是()平方分米。
13.一个长方体铁块,底面积是64平方厘米,高是5厘米,把它锻造成一个截面边长是4
厘米的正方形的长方体,这个长方体的高是()。
14.一个长方体高为8厘米,沿它的水平方向将其切成四个长方体,表面积增加了96平方厘米,这个长方体的体积是()立方厘米。
15.把一个长124厘米,宽10厘米,高10厘米的长方体锯成最大的正方体,最多可以锯成
()个。
二、解决问题:
1.把110厘米长的铁丝焊成一个长方体框架,长是宽的2倍,宽是高的1.5倍,这个长方体的体积是多少?
2.一个长方体蓄水池,长12米,宽8米,高4米,如果将四壁和地面用4平方分米的正方形瓷砖贴上,需要多少块?
3.一个长方体的长、宽、高分别是11厘米、6厘米、4厘米,如果高增加3厘米,表面积增加多少平方厘米?
4.一个正方体木块,表面积是30平方分米,如果把它据成大小一样的8个小正方体木块,每个小木块的表面积是多少?
第一讲【答案】例1
(1)毫升立方厘米立方米升
立方分米立方分米毫升平方米
(2)5200350
7050415
8.46950
7250010.02
32000.5
9.59500
36003600
170.17
【搭配课堂训练题】
例2
(1)C
(2)48厘米4厘米
【搭配课堂训练题】
1.3厘米
2.42分米
例3.棱长总和:
104厘米;棱长总和:
6分米;
表面积:
406平方厘米;表面积:
1.5平方分米;体积:
490立方厘米;体积:
0.125立方分米;
【搭配课堂训练题】例4
(1)如图所示:
长和宽为6厘米,高是2厘米。
容积:
72立方厘米
(2)25600厘米
【搭配课堂训练题】【难度分级】BBA48
【搭配课堂训练题】例5.
(1)(2.5×2.5+2.5×6×4)×2=132.5(平方分米)
(2)2.5分米=0.25米,1.5分米=0.15米,(2×0.25+2×0.15)×2×100=160(平方米)
(20×30+15×30)×2=2100(平方厘米)
【搭配课堂训练题】
1.20×0.24×2=9.6(立方米)525×9.6=5040(块)
2.8.5×4×2÷8=8.5(小时)
3.2厘米=0.02米10×3.5×0.02=0.7(立方米)10×3.5=35(平方米)
4.60升=60立方分米60÷(5×3)=4(分米)
例6.
(1)1.5分米=15厘米15×15×(15-13)=450(立方厘米)
(2)144÷(6×6)=4(分米)4-2=2(分米)
【搭配课堂训练题】
1.300×2=600(立方厘米)
2.460÷(150-148)=230(平方厘米)
例7.
(1)12立方分米
(2)96立方厘米
(3)704
【搭配课堂训练题】
BC54平方厘米454024
例8.
(1)50×20=1000(平方米)
(2)20分米=2米1000×2=2000(立方米)
(3)10厘米=0.1米2000÷(2×0.1)=10000(米)
(4)(50×20+50×2×2+20×2×2)×10=12800(块)
(5)(50+20)×2=140(米)
(6)50×20×1.8=1800(平方米)=1800000(升)
(7)
四、讲练结合题
1.2,25,相等,70,330,350
2.48平方分米
3.6,216,216立方厘米
4.8,600,1000
5.64,192
6.150,125
7.18
8.75
9.20,600
10.0.24或者3.6
二.解决问题
1.18-10=8(米)8-2=6(米)18×8×6÷(24×3)=12(天)
2.70×50×50-50×50×50=50000(平方厘米)=50(立方分米)
3.9÷2=4块…1分米6÷2=3(块)8÷2=4(块)4×3×4=48(块)
4.144升=144立方分米144÷6÷6=4(分米)4×2=8(分米)
5.36÷(6×5)=1.2(米)1.5-1.2=0.3(米)
6.60×38×5÷570=20(厘米)
7.共四种拼法:
(1)12=12×1×1,即长为24厘米,宽为2厘米,高为2厘米;表面积:
24×2×4+2×2×2=200(平方厘米)
(2)12=6×2×1,即长为12厘米,宽为4厘米,高为2厘米;表面积:
(12×4+12×2+4×2)×2=160(平方厘米)
(3)12=4×3×1,即长为8厘米,宽为12厘米,高为2厘米;表面积:
8×12×2+8×2×2+12×2×2=272(平方厘米)
(4)12=3×2×2,即长为6厘米,宽为4厘米,高为4厘米;表面积:
6×4×4+4×4×2=128(平方厘米)
五、课后自测练习1.9664
2.192224
3.1000800
4.4060
5.150
6.800
7.16平方分米8.4004509.45
10.288平方分米100.8平方分米
11.144立方分米12.48
13.20厘米14