六年级奥数 牛吃草问题.docx

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六年级奥数牛吃草问题

第39讲“牛吃草”问题

一、知识要点

牛吃草问题是牛顿问题,因牛顿提出而得名的.“一堆草可供10头牛吃3天,供6头牛吃几天？

”这题很简单,用3×10÷6=5（天）,如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”,问题就不那么简单了.因为草每天走在生长,草的数量在不断变化.这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题.

解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量.牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以每天新长出的草是不变的.正确计算草地上原有的草及每天长出的草,问题就容易解决了.

二、精讲精练

【例题1】一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周,那么这片草地可供21头牛吃几周？

这片草地上的草的数量每天都在变化,解题的关键应找到不变量——即原来的草的数量.因为总草量可以分成两部分：

原有的草与新长出的草.新长出的草虽然在变,但应注意到是匀速生长,因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的.

假设1头牛一周吃的草的数量为1份,那么27头牛6周需要吃27×6=162（份）,此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份）,此时新草与原有的草也均被吃完.而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和,因此每周新长出的草的份数为：

（207-162）÷（9-6）=15（份）,所以,原有草的数量为：

162-15×6=72（份）.这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草,于是这片草地可供21头牛吃72÷（21-15）＝12（周）

练习1

1、一片草地,每天都匀速长出青草,如果可供24头牛吃6天,20头牛吃10天,那么可供19头牛吃几天？

2、牧场上一片草地,每天牧草都匀速生长,这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天,问可供25头牛吃几天？

3、牧场上的青草每天都在匀速生长,这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周,那么这片草地可供21头牛吃几周？

【例题2】由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在减少.已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天.照此计算,可供多少头牛吃10天？

与例1不同的是,不仅没有新长出的草,而且原有的草还在减少,但是,我们同样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量.

设1头牛1天吃的草为1份,20头牛5天吃100份,15头牛6天吃90份,100-90=10（份）,说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份,也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草.由“草地上的草可供20头牛吃5天”,再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草,所以原有草两有（20+10）×5=150（份）,由150÷10=15知道,牧场原有的草可供15头牛吃10天.由寒冷导致的原因占去10头牛吃的草,所以可供5头牛吃10天.

练习2：

1、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草每天以均匀的速度在减少.经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天.那么,可供11头牛吃几天？

2、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草以固定速度在减少.已知牧场上的草可供33头牛吃5天或可供24头牛吃6天.照此计算,这个牧场可供多少头牛吃10天？

3、经测算,地球上的资源可供100亿人生活100年,或可供80亿人生活300年.假设地球新生成的资源增长速度是一样的,那么,为满足人类不断发展的需要,地球最多能养活多少亿人？

【例题3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼.已知男孩每分钟走20级台阶,女孩每分钟走15级台阶,结果男孩用5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上.问：

该扶梯共有多少级台阶？

与前两个题比较,“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”,“草”变成了“台阶”,“牛”变成了“速度”,也可以看成是牛吃草问题.

上楼的速度可以分为两部分：

一部分是男、女孩自己的速度,另一部分是自动扶梯的速度.男孩5分钟走了20×5=100（级）,女孩6分钟走了15×6=90（级）,女孩比男孩少走了100—90=10（级）,多用了6—5=1（分钟）,说明电梯1分钟走10级.因男孩5分钟到达楼上,他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和.所以,扶梯共有（20+10）×5=150（级）

练习3：

1、自动扶梯以均匀速度行驶着,渺小明和小红从扶梯上楼.已知小明每分钟走25级台阶,小红每分钟走20级台阶,结果小明用5分钟,小红用了6分钟分别到达楼上.该扶梯共有多少级台阶？

2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走.在20秒钟里,男孩可走27级台阶,女孩可走24级台阶,男孩走了2分钟到达另一端,女孩走了3分钟到达另一端,该扶梯共有多少级台阶？

3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射,从井顶逃向井底.白天往下爬,两只蜗牛白天爬行的速度是不同的.一只每天白天爬20分米,另一只爬15分米.黑夜里往下滑,两只蜗牛滑行的速度却是相同的.结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底,另一只蜗牛恰好用了6个昼夜到达井底.那么,井深多少米？

【例题4】一只船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水.如果用12人舀水,3小时舀完.如果只有5个人舀水,要10小时才能舀完.现在要想2小时舀完,需要多少人？

已漏进的水,加上3小时漏进的水,每小时需要（12×3）人舀完,也就是36人用1小时才能舀完.已漏进的水,加上10小时漏进的水,每小时需要（5×10）人舀完,也就是50人用1小时才能舀完.通过比较,我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水.

1小时漏进的水,2个人用1小时能舀完：

（5×10—12×3）÷（10—3）=2

已漏进的水：

（12—2）×3=30

已漏进的水加上2小时漏进的水,需34人1小时完成：

30+2×2=34

用2小时来舀完这些水需要17人：

34÷2=17（人）

练习4：

1、有一水池,池底有泉水不断涌出.用10部抽水机20小时可以把水抽干,用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干.那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？

2、有一个长方形的水箱,上面有一个注水孔,底面有一个出水孔,两孔同时打开后,如果每小时注水30立方分米,7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方分米,注满水箱可少用2.5小时.那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？

3、有一水井,连续不段涌出泉水,每分钟涌出的水量相等.如果用3台抽水机来抽水,36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机,20分钟抽完.现在12分钟内要抽完井水,需要抽水机多少台？

【例题5】有三块草地,面积分别为5,6,和8公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草荐地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天.问第三块草地可供19头牛吃多少天？

前几天我们接触的是在同一块草地上,同一个水池中,现在是三块面积不同的草地.为了解决这个问题,只需将三块草地的面积统一起来.即[5,6,8]=120

这样,第一块5公顷可供11头牛吃10天,120÷5=24,变为120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10天

第二块6公顷可供12头牛吃14天,120÷6=20,变为120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天.

120÷8=15.问题变成：

120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？

因为草地面积相同,可忽略具体公顷数,原题可变为：

一块草地匀速生长,可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天,那么可供285头牛齿及天？

即

每天新长出的草：

（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）

草地原有草：

（264—180）×10=840（份）

可供285头牛吃的时间：

840÷（285—180）=8（天）

答：

第三块草地可供19头牛吃8天.

练习5：

1、某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多.从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20分钟.如果同时打开7个检票口,那么需多少分钟？

2、快、中、慢三车同时从A地出发,追赶一辆正在行驶的自行车,三车的速度分别是嵋小时24千米、20千米、19千米.快车追上自行车用了6小时,中车追上自行车用了10小时,慢车追上自行车用多少小时？

3、一个牧场上的青草每天都匀速生长.这片青草可供17头牛吃30天,或供19头牛吃24天.现有一群牛吃了6天后卖掉4头,余下的牛又吃了2天将草吃完.这群牛原来有多少头？

面积计算

一、知识要点

计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手.这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的.有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径.

二、精讲精练

【例题1】已知如图,三角形ABC的面积为8平方厘米,AE＝ED,BD=2/3BC,求阴影部分的面积.

练习1：

1、如图,AE＝ED,BC=3BD,S△ABC＝30平方厘米.求阴影部分的面积.

2、如图所示,AE=ED,DC＝1/3BD,S△ABC＝21平方厘米.求阴影部分的面积.

3、如图所示,DE＝1/2AE,BD＝2DC,S△EBD＝5平方厘米.

求三角形ABC的面积.

【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,如图所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少？

练习2：

1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,（如图所示）,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积是多少？

2、已知AO＝1/3OC,求梯形ABCD的面积（如图所示）.

【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分,且四边形AECF的面积为15平方厘米.求四边形ABCD的面积（如图所示）.

练习3：

1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分,且四边形AECG的面积为15平方厘米.求四边形ABCD的面积（如图）.

2、如图所示,求阴影部分的面积（ABCD为正方形）.

【例题4】如图所示,BO＝2DO,阴影部分的面积是4平方厘米.那么,梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

练习4：

1、如图所示,阴影部分面积是4平方厘米,OC＝2AO.求梯形面积.

2、已知OC＝2AO,S△BOC＝14平方厘米.求梯形的面积（如图所示）.  

3、已知S△AOB＝6平方厘米.OC＝3AO,求梯形的面积（如图所示）.      

【例题5】如图所示,长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积.

练习5：

1、如图所示,长方形ABCD的面积是20平方厘米,三角形ADF的面积为5平方厘米,三角形ABE的面积为7平方厘米,求三角形AEF的面积.

2、如图所示,长方形ABCD的面积为20平方厘米,S△ABE＝4平方厘米,S△AFD＝6平方厘米,求三角形AEF的面积.

三、课后练习

1、已知三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍.求梯形ABCD的面积.（如图所示）.

2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分,且阴影部分面积为15平方厘米.求四边形ABCD的面积（如图所示）.

3、如图所示,长方形ABCD的面积为24平方厘米,三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米,求三角形AEF的面积.