梁的应力习题答案doc.docx
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梁的应力习题答案doc
习题
10?
1
一工字型钢梁，在跨中作用集中力
，已知
l
=6m，=20kN，工字钢的型号为20a，
F
F
求梁中的最大正应力。
F
A
B
l
/2
l
/2
解：
梁内的最大弯矩发生在跨中
Mmax
30kN.m
查表知20a工字钢
Wz
237cm3
则
Mmax
30
103
126.6
10
6
Pa
126.6MPa
max
237
106
Wz
10?
2
一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为
l
，截面高度为
h
，宽度为
，
b
材料的弹性模量为E，试求梁下边缘的总伸长。
q
A
B
h
l
b
解：
梁的弯矩方程为
Mx
1qlx
1qx2
2
2
则曲率方程为
1
Mx
1
1
qlx
1
qx2
x
EIz
EIz
2
2
梁下边缘的线应变
x
h2
h
1qlx
1qx2
x
2EIz
2
2
下边缘伸长为
l
l
h
1qlx
1qx2dx
ql
3
l
xdx
0
02EIz
2
2
2Ebh2
10?
3已知梁在外力作用下发生平面弯曲，
当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿
横截面高度的分布规律。
解：
各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。
中性轴侧产生拉应力，另一
侧产生压应力。
10?
4一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知
l=1.5m,q=8KN/m，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。
q
10cm
4cm
A
B
C
8cm
l
l/3
4cm
解：
1、设截面的形心到下边缘距离为y1
4
8
4
10
4
10
7.33cm
则有
y1
4
8
10
4
则形心到上边缘距离y2127.334.67cm
于是截面对中性轴的惯性距为
Iz
483
483.332
1043
1042.672
864.0cm4
12
12
2、作梁的弯矩图
0.667m
设最大正弯矩所在截面为D，最大负弯矩所在截面为E，则在D截面
t,max
MD
y1
1.778103
7.33
102
15.08
106
Pa
15.08MPa
Iz
864.0
108
c,max
MD
y2
1.778103
4.67
102
9.61
106Pa
9.61MPa
Iz
864.0
108
在E截面上
t,max
ME
y2
1.0
103
4.67
102
5.40
106Pa
5.40MPa
Iz
864.0
108
c,max
ME
y1
1.0
103
7.33
102
8.48
106Pa
8.48MPa
Iz
864.0
108
所以梁内
t,max
15.08MPa，
c,max
9.61MPa
10?
5一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F，已知l=4m，b=120mm，h=180mm，弯
曲时材料的许用应力[σ]=10Mpa，求梁能承受的最大荷载Fmax。
F
A
B
h
l
/2
l
/2
b
解：
梁内的最大弯矩发生在跨中
Mmax
Fl
4
矩形截面梁
Wz
bh2
6
则由
max
Mmax
得
Fl
bh2
Wz
4
6
即F
2bh2
10
1062
0.12
0.182
6480N
3l
3
4
10?
6
由两个
28a号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为
Q235钢，其许用
弯曲正应力[
σ
]=170Mpa，求梁的许可荷载[
]。
F
FFF
AB
2m2m2m2m
解：
作弯矩图
3F
3F
4F
梁内的最大弯矩发生在跨中
Mmax4F
矩形截面梁Wz
Iz
Iz'
2Wz'
680.656cm3
ymax
ymax
则由
Mmax
得4F
Wz
max
Wz
即F
Wz
170
106
680.656
10
6
4
4
28927N
10?
7圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l=3m，F=3kN，q=3kN/m，弯曲时木
材的许用应力[σ]=10MPa，试选择圆木的直径d。
F
q
B
C
A
l/
d
l
解：
作弯矩图
1.167m
则由
Mmax
Mmax
max
得Wz
Wz
即
d3
3
103，得d0.145m
145mm
32
10
106
10?
8起重机连同配重等重P=50kN，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，
如图所示。
起重机的起重量
F=10kN，梁材料的许用弯曲应力
[σ]=170Mpa，试选择工字钢的型号。
设
全部荷载平均分配在两根梁上。
F
ACPDB
1m1m
4m
10m
解：
设起重机左轮距
A端为x，则有
MC
50
6x2，MD6x2
38x
80
从而确定出
MCmax104.2kN.m，MDmax
140.2kN.m
即梁内出现的最大弯矩为140.2kN.m
则由max
Mmax
得Wz
Mmax140.2
103
8.25104m3
Wz
170
106
又对于本题
Wz
Iz
Iz'
2Wz'
ymax
ymax
所以Wz'Wz
8.25104
4.125104m3
412.5cm3
2
2
查表选25b号工字钢。
10?
9两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一
个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。
q
a
A
B
2a
l
a
a
a
解：
1、第一种情况
梁内的最大弯矩发生在跨中
Mmax
ql2
8
矩形截面梁
Wz
bh2
2a3
6
3
则
max
Mmax
ql2
3
3ql3
Wz
82a3
16a3
2、第二种情况
梁内的最大弯矩发生在跨中
Mmax
ql2
16
矩形截面梁
Wz
bh2
a3
6
6
则
max
Mmax
ql2
6
3ql3
Wz
16
a3
8a3
10?
10
直径d=0.6mm的钢丝绕在直径
D=600mm的圆筒上，已知钢丝的弹性模量
E=2×105MPa，试求钢丝中的最大正应力。
解：
由1M得
EIz
2
1011
0.64
1012
M
EIz
64
4.2411510
3
N.m
0.3
0.3
103
max
M
M
4.24115
103
200106Pa
200MPa
Wz
d3
0.63
109
32
32
或
max
Eymax21011
0.3103
200
106Pa200MPa
0.3
0.3
103
10?
11一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。
已知
F=5kN，a=1.5m，[σ]=10Mpa。
试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比h:
b，以及梁所需木料的最小直径d。
F
F
A
C
D
B
hd
a
3a
a
b
解：
Wz
bh2
bd2
b2
6
6
由dWz
d2
3b2
0得b
3d，又d2Wz
b0所以b
3d时
db
6
3
db2
3
Wz取极大值，所以弯曲截面系数最大时，
b
3d，h
6d，即h:
b
2:
1
3
3
梁内的最大弯矩
Mmax
Fa
7.5kN.m
矩形截面梁
Wz
bh2
3d3
6
27
则由
max
Mmax
得Wz
Mmax
Wz
即
3d3
Mmax
27
d
93Mmax
393
7.510
3
3
10
106
0.227m
10?
12一铸铁梁如图所示。
已知材料的拉伸强度极限
σbc=630Mpa，试求梁的安全因数。
32kN
16kN
A
C
B
D
1m
1m
0.5m
解：
1、设截面形心距离下边缘为y1
227mm
σb=150Mpa，压缩强度极限
1010
200
40
160
160
40
20
10
160
120
2
53.33mm
则有
y1
160
40
10
160
2
则形心到上边缘距离y220053.33146.67mm
于是截面对中性轴的惯性距为
Iz
160
403
2
10
1603
2
229013333.4mm
4
12
1604033.33
12
1016066.67
2、作梁的弯矩图
C截面
t,max
MC
y1
1210353.33103
22.057
106Pa
22.057MPa
Iz
29013333.41012
c,max
MC
y2
12103146.67103
60.663
106Pa
60.663MPa
Iz
29013333.41012
B截面上
t,max
MBy2
8
103146.67103
40.442
106Pa
40.442MPa
Iz
29013333.4
1012
c,max
MBy1
8
10353.33
103
14.705
106Pa
14.705MPa
Iz
29013333.4
1012
150
3.709，
630
所以有
nt
nc
10.385nt，取安全系数为。
40.442
60.663
10?
13
一简支工字型钢梁，工字钢的型号为
28a，梁上荷载如图所示，已知
l=6m，
F1=60kN，F2
=40kN，q=8kN/m，钢材的许用应力[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa，试校核梁的
强度。
1
q
F2
F
A
B
l
/6
2l/
l/6
解：
作内力图
2.588m
则有
max
Mmax
86.8
103
170.8
106Pa170.8MPa
Wz
508.15
106
而
max
170.8
170
5%
0.47%
170
max
FS,maxSz,max
80.7
103
38.56
106Pa38.56MPa[]
Izb
24.6210
2
0.0085
10?
14
一简支工字型钢梁，梁上荷载如图所示，已知
l=6m，q=6kN/m，F=20kN，钢
材的许用应力[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa，试选择工字钢的型号。
Fq
A
B
l
/2
l
/2
解：
作内力图
28kN
10kN
10kN
28kN
由max
Mmax
得Wz
Mmax57
10
3
3.353
10
4
m
3
335.3cm
3
Wz
170
106
查表选25a（考虑5%误差可以选则
22b）。
对于所选型号，梁内出现的最大切应力为
FS,maxSz,max
28
10
3
106Pa16.21MPa[]
16.21
max
Izb
21.5810
2
0.008
（如为22b，max
15.8MPa
）
所以工字钢型号为
25a（或22b）。
10?
15由工字钢制成的简支梁受力如图所示。
已知材料的许用弯曲应力
[σ]=170Mpa，
许用切应力[τ]=100Mpa。
试选择工字钢型号。
80kN
20kN/m
60kN
A
B
C
2.5m
D
0.5m
1m
解：
作内力图
1.85m
由
max
Mmax
得W
Mmax83.05625
103
4.886104m3
488.6cm3
Wz
z
17010
6
查表选28a。
对于所选型号，梁内出现的最大切应力为
FS,maxSz,max
113.125
10
3
10
6
Pa54.06MPa[]
max
24.62102
54.06
Izb
0.0085
所以工字钢型号为
28a。
10?
16外伸梁AC承受荷载如图所示，Me=，q=20KN/m。
材料的许用应力[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa。
试选择工字钢的型号。
q
M
e
A
B
C
2m
1m
1m
解：
作内力图
40kN
由
Mmax
得
Mmax40
10
3
2.35310
4
m
3
235.3cm
3
max
W
Wz
z
106
170
查表选20a。
对于所选型号，梁内出现的最大切应力为
FS,maxSz,max
40
103
33.2210
6
Pa33.22MPa
[]
max
Izb
17.210
2
0.007
所以工字钢型号为
20a。
10?
17
图示简支梁是由三块截面为
40mm×90mm的木板胶合而成，已知l=3m，胶缝的
许用切应力[
τ
]=，试按胶缝的切应力强度确定梁所能承受的最大荷载
。
F
F
40mm
A
B
40mm
40mm
0.5l
0.5l
90mm
解：
梁内的最大剪力值为0.5F
则胶缝处的最大切应力为
max
FS,maxSz*
0.
5F90
40
40
109
61.73F
Izb
90
1203
10
12
90
10
3
12
由max
[]得F≤8100N。
10?
18图示结构中，AB梁与CD梁所用材料相同，二梁的高度与宽度分别为
h、b和h
1
和b，已知l=3.6m，a=1.3m，h=150mm，h1=100mm，b=100mm，材料的许用应力[σ]=10Mpa，[τ]=，试求该结构所能承受的最大荷载Fmax。
F
b
C
D
h
1
A
B
h
a
0.5l0.5l
a
b
解：
1、对于上梁作内力图
1F
2
1F
2
1
Fl
4
由max
Mmax
得Mmax
Wz，即
Fl
Wz
Wz
4
4
Wz
4
10
106
0.1
0.12
3
所以有
F
6
1.852
10
N
1.852kN
l
3.6
又由
τ
3FS,max
得F
S,max
2
A
，即
F
2
A
max
2A
3
2
3
106
所以有
F
4
A
4
2.2
0.1
0.1
29.33
103N
29.33kN
3
3
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