高考志愿填报数学模型.docx
《高考志愿填报数学模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考志愿填报数学模型.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高考志愿填报数学模型
高考志愿填报方法
摘要
本文是研究高考填报志愿时如何选择理想的大学，为考生提供参考。
对问题一，综合考虑本科生培养和研究生培养，自然科学研究和社会科学研究作为反映大学综合实力的指标，利用层次分析法确定权重，得到每一年一本大学的综合实力排名。
由于每一年的大学排名具有波动性，引入带有权重的Borda函数法，得到具有稳定特征的一本大学排名；引入进步系数，得到具有趋势特征一本大学排名。
对问题二，以大学排名、专业实力、高考成绩和地理位置作为影响考生高考志愿填报的主要因素，利用模糊层次分析法，结合考生自身情况得到各因素的权重，初选目标学校，并建立高校录取分数预测模型，计算出考生被目标高校录取的概率，综合得到考生理想学校排名，为考生提供最理想的高考志愿填报方法。
对问题三，考虑到小王有意报考法学专业，利用模糊AHP方法，得到四个因素的权重。
根据高校法学专业往年在省的录取分数，预测被录取的概率。
从100%录取的学校中挑出综合实力和专业实力都较好的学校，根据待选学校的各项指标值，得到最理想学校排名。
并利用灰色关联法检验第一志愿是否为最满意学校。
由此给出建议：
若小王是理科生，建议报考大学-中国政法大学-华中科技大学-中南财经政法大学-大学；若小王是文科生，建议报考大学-中国人民大学-大学-大学-大学。
关键词：
Borda函数进步系数模糊层次分析法录取概率灰色关联法
一、问题重述
高考之后，很多学生开始考虑填报志愿了，而填报志愿的一个重要依据就是大学排名。
根据国际研究显示，优秀学生认为大学排名前茅，有益于协助他们获得更好的工作机会、更优厚的薪资结构和社会地位。
各国排名居前的名牌大学和具有特色的新兴大学常获得政府巨额的教育补助和优秀学生的青睐。
定位不明确并排名居末的大学，其学生来源和优秀学生比例则可能逐年下降。
大学排名是根据各项科学研究和教学等标准，以英文发表研究报告和学术论文，针对相关大学在数据、报告、成就、声望等方面进行数量化评鉴，再通过加权后形成的排序。
世界很多教育机构都有针对国外大学、商学院或MBA的排名，由此产生了一系列的社会和商业影响。
其中，国大学排名中，影响力较大的是武书连版中国大学排行榜，校友会版中国大学排行榜和网大版中国大学生源排行榜。
当前几大主流世界大学排名分别为交通大学世界大学学术排名（ARWU）、QS世界大学排名、英国《泰晤士高等教育》杂志THE世界大学排名、荷兰莱顿大学世界大学排名。
排名对大学科研教学水平提升、形象推广与其在与国际合作对象的行销上，有着深远的影响。
1、请综合教学、科研等标准建立模型，给出我国一本院校的大学排名，并与现有排行榜做比较。
2、学生填报高考志愿，除了要考虑大学排名之外，还要参考专业、高考成绩、地理位置等因素。
请建立模型帮助学生填报志愿。
3、假设考生小王2015年高考600分，有意报考法律专业，请利用你的模型给他一些建议。
二、问题分析
高考志愿填报的合理性对于考生来说相当重要。
当考生在填报志愿的时候，一般综合考虑学校、专业、成绩等多种因素，权衡各个因素的重要程度，由此来选择自己满意的大学。
对问题一，由于大学的主要任务是教学和科研，所以这两方面因素能够体现出大学的综合实力。
大学的教学主要由本科生培养和研究生培养组成，科研主要由自然科学研究和社会科学研究组成。
但是，对于大学来说，教学和科研占据的比重是不同的，所以需要给出合理的权重设置。
根据各个大学的教学和科研数据，得到各个大学的总得分，对大学的综合实力进行排名。
但是，这种方法得到的只是每一年新的排名。
由于大学的实力处于波动状态，若要得到体现大学实力的稳定排名值，可对综合多年的排名数据；若要得到体现具有趋势的排名，可加入排名变化系数。
对问题二，学生填报高考志愿时，一般考虑到大学排名、专业（包括兴趣）、高考成绩和地理位置。
对于这四个因素，需要知道它们之间的权重大小，从而根据不同考生的不同情况，综合所有因素，得到大学的综合理想排名值。
对于大学排名和专业，可根据网上的数据得到排名。
对于地理位置，可根据所处地区的发展情况和有意愿大学所在位置的发展情况，来给予不同的值。
对于高考成绩，考生需要知道被录取的概率大小。
为此，需要预测出今年的录取分数，并计算录取概率，为考生提供志愿填报建议。
对问题三，考生小王处于省，2015年高考600分，有意报考法学专业，因此，相对于其它因素，他更注重于专业。
根据问题二，得到四个因素指标的权重大小。
由于他想被法学专业录取，因此录取概率基本为100%，从而大学的录取概率同样为100%。
因此，可以由被录取概率缩小有意愿的学校。
从挑选出的学校中，根据大学综合排名、法学排名、地理位置和分数线差，综合得到挑选学校的综合理想值。
由于第一志愿对于小王来说很重要，因此需要验证第一志愿是否是他的最满意学校。
三、模型假设
1、假设近4年来各高校的相对录取分数没有受到录取比例、招生政策的影响；
2、假设近4年来各高校对考生的吸引力没有发生较大变化；
3、假设通过网络获取的高校信息真实可靠；
4、假设考生不考虑提前批次，且考生所在省市高考志愿采取知分填写及平行志愿政策。
四、符号说明
符号
说明
第
大学的人才培养得分
第
大学科学研究得分
人才培养权重系数
科学研究权重系数
第
大学总得分
第
年第
大学排名
前面的个数
第
大学的第
年的排名
第
大学第
年的排名
第
年到第
年的变化率
考生实际分数
高考今年省控一本线
第
年的最低录取差额分数
第
年的平均录取差额分数
所在省的最低一本线
第
大学的因素向量值
第
和
大学的关联度系数
（注：
其它未提及的符号在文中说明）
五、模型建立与求解
5．1问题一的求解
5.1.1大学综合实力总得分的计算
作为一所大学，主要的任务应该是人才培养和科学研究。
而人才培养中可分为对本科生的培养和对研究生的培养；科学研究可分为自然科学研究和社会科学研究。
由此，我们可以建立中国大学评价的层次结构图，以中国大学评价为目标、以人才培养和科学研究为一级指标、以本科生培养、研究生培养、自然科学研究和社会科学研究二级指标，得到如下层次结构图：
图1中国大学评价层次图
根据某个大学人才培养得分占据所有大学人才培养总分的比例和各个大学科学研究得分占据所有大学科学研究得分的比例，引入两个比例的权重系数，然后再乘以被评价的大学教学和科研两方面的得分，即可得到这个大学的总得分，如下：
（1）
（2）
通过网上查找数据，得到各个大学的本科生培养、研究生培养、自然科学研究和社会科学研究得分，根据专家建议取：
利用式
（1）和
（2），得到每一年全国所有高校的大学排名。
但是，这种排名只考虑了当年的大学综合排名，只由这一年人才培养和科学研究的质量决定，是当年的一个固定的值。
考虑到大学的排名具有波动性，仅一年的排名并不能体现大学真正的实力，而且对于不同的人，可能考虑大学总体实力的稳定状态和实力的变化趋势对大学排名的重要性。
因此，我们引入两种不同的改进方案。
5.1.2反映大学稳定实力的排名模型
首先，大学的实力是一个变化的过程，但是总体实力的积淀对于一个大学的知名度有着重要的作用。
若某一大学在之前排名靠前，虽然今年由于某些因素造成排名下降，但是学校的整体实力还是靠前的，这将造成大学综合实力的排名不准确。
例如，对于复旦大学，五年的排名如下：
图2复旦大学五年的排名
由上图，可以看到，复旦大学五年的排名十分稳定，无波动情况。
因此，2015年的大学排名能够反映出它的综合实力。
但是，对于很对大学，排名情况并不是很理想的一成不变。
下图为中国地质大学（）五年的排名：
图3中国地质大学（）五年的排名
从表格中可以看出，从2011年到2013年时，中国地质大学（）前四年的排名比较稳定，均在九十多名。
然而，在2015年，由于某些原因，排名落后。
但是，从总体上来看，中国地质大学（）的实力排名不低，所以如果从历史积淀和实力稳定性的角度来看，2015年的排名并不能准确地反映中国地质大学（）的实力。
为此，为了反映大学稳定情况下的总体实力，考虑最近4年的大学排名，引入Borda函数。
由于排名年份的不同，对于当前排名的参考价值不同。
年份距离2015年越近，综合排名的参考价值越大。
所以，赋予不同年份的Borda值一个权重，综合得到具有稳定性的各个大学的排名。
被评价对象
的Borda数为：
（3）
5.1.3稳定排名的求解
利用式（3），统计各个年份的排名数据，得到整体的Borda值。
利用Borda值的大小，对所有大学进行排名并与之前的排名进行对比：
表1排名稳定的学校
排名
学校
变化
1
2
3
4
5
6
7
8
9
大学
大学
清华大学
交通大学
复旦大学
大学
大学
大学
大学
0
0
0
0
0
0
0
0
0
表2排名波动较大的学校
排名
学校
变化
106
116
129
143
153
156
166
171
173
187
中国地质大学（）
农业大学
药科大学
理工大学
邮电大学
中央民族大学
科技大学
科技大学
师大学
科技大学
大学
14
-11
18
21
-23
-17
21
17
-27
-14
-16
5.1.4结果分析
从表1中，我们可以看到对于排名靠前的学校综合实力比较稳定，因而由Borda函数值得到排名整体基本不变，说明这类大学的教学和科研水平上一直处于平稳发展状态。
从表2中，我们可以看到排名相对靠后的学校的综合实力波动性较大，因而由Borda函数值得到的排名与每一年相比差距较大。
所以Borda函数得到的排名能够反映出整体比较稳定的排名。
5.1.5反映大学发展趋势的排名模型
对于某些大学，虽然之前和现在的每一年的排名不高，但是学校的总体实力排名是在不断上升的，发展趋势良好。
对于这种大学，综合实力排名中应体现到它每一年排名上升对于它整体实力的预见作用。
若当前的大学具有一定的提升趋势，四年后的排名应该提升许多，这利于学生选取具有长远性发展的大学。
为此，引入排名进步系数，加入到原有的排名之中，得到反映大学实力发展趋势的综合实力排名。
例如，对于大学，其四年的排名为：
图4大学四年的排名
从上图中，可以看到，在这四年，大学的排名一直在上升，表明它的实力正处于一个不断上升的阶段，具有比较好的发展前景，在排名上应该有所体现。
若采用稳定的排名模型，体现不出大学日益进步的趋势。
而对于西北师大学，其四年的排名情况如下：
图5西北师大学四年的排名
从上图中，我们可以看出，连续四年，西北师大学的排名一直在下降，表明大学的实力发展处于下滑状态。
而2015年的大学排名中并不能体现这一特点。
为了在综合排名中体现大学发展趋势的影响，引入大学排名的变化率，得到综合排名方法，
（4）
根据2012年到2015年的排名变化，得到三个变化率，对此三个变化率取平均值，
（5）
由此，得到改进的大学综合排名方法为：
（6）
5.1.6趋势排名的求解
将学校发展趋势考虑进去之后，利用式（6）数学模型，可得到各个大学新的排名为：
表3大学排名前30名
排名
学校
排名
学校
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
大学
大学
清华大学
交通大学
复旦大学
大学
大学
大学
大学
大学
华中科技大学
工业大学
大学
南开大学
交通大学
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
中国科学技术大学
中南大学
东南大学
中国人民大学
大学
华南理工大学
理工大学
天津大学
同济大学
师大学
航空航天大学
大学
大学
西北工业大学
理工大学
表4第70-100大学排名
排名
大学
排名
大学
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
大学
大学
师大学
工业大学
大学
工业大学
华南农业大学
邮电大学
燕山大学
中国矿业大学（华东）
大学
华北电力大学
大学
大学
中国地质大学（）
财经大学
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
师大学
医科大学
中南财经政法大学
大学
大学
首都师大学
中国药科大学
广西大学
大学
师大学
师大学
中国石油大学（华东）
大学
长安大学
理工大学
5.1.7结果分析
将所得到的大学排名与武书连大学排名作比较，我们发现：
1、表3学前30名排名情况与武书连大学排名顺序基本一致，说明前30名大学的发展情况比较稳定，教学和学术研究得到平稳发展。
2、表4中第70到100名的大学排名与武书连大学排名顺序相比变化较大，基本有所波动，说明这些学校排名虽然靠后，但是有些学校在不断地进步发展，排名理应有所上升；有些学校发展趋势下降，所以排名跟本年相比有所下降。
因此，这种方法得到的大学排名，对于发展稳定的学校排名不会有所影响，而对于有上升或下降趋势的学校，在排名上能够有所体现。
这种方法得到的大学排名对于考虑学校发展趋势因素的人有重要的参考价值。
5.2问题二的模型建立
5.2.1高考志愿填报综合因素分析
在填报高考志愿时，许多家长及学生手中都有大量的信息，面对如此众多的杂乱无章的信息，我们可以考虑以下4个因素：
1、符合自己兴趣爱好、具有广阔前景的专业
如今高校中的专业可谓琳琅满目，要选择一个适合自己的专业也并不是一件容易的事情。
一般应该从这个专业将来的就业情况如何，发展前景如何，自己是否对该专业感兴趣，自己学习知识的方式是不是适合读这个专业。
2、大学的名气、学术氛围、学习环境
大学本科的教育仍然是素质教育，一切都仅仅处于打基础的阶段。
一个有扎实的基础且具有高素质的大学毕业生是很受用人单位的欢迎的。
因此就目前的社会需求情况而言，有这样一种趋势，即工作单位越来越看重毕业生的学习，一些名牌大学的毕业生往往可以得到优先录取的照顾。
用人单位往往是看重学校的学风和对学生的整体素质的培养。
3、大学所在的城市的地理位置
由于大城市具有各个方面的信息量比较大、综合素质比较高，生活条件比较优越，因此选择大城市的各大院校作为第一志愿的考生比例近几年逐年升高，许多大城市里的高校每年录取的分数逐年攀升。
4、自己所报考学校前几届学生被录取情况
要充分考虑该学校以往几届在本省在录取的分数线，以及本省学生对该校感兴趣的程度，即考生必须注意当年的高招形式，包括录取率，本地区招生计划中本科的人数和比例，自己志愿中要报考的高校的招生信息等。
所以考生在填报志愿时，应充分了解自己所在学校前几届各分数段毕业生被录取的情况，找到自己相对应的位置，选择相关的学校和专业，避免发生所谓的“撞车”事件，造成不必要的浪费。
5.2.2高考志愿填报定量评价模型
如何填报一个既能使自己满意，又能够被录取的高校作为第一志愿，是每个考生所面临的一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。
为此我们采用为解决这类复杂问题提供的一种新的、简洁的、实用的系统分析方法—层次分析法。
基于上述分析，我们建立了高考志愿填报定量评价模型
图6高考志愿定量评价模型示意图
由于考生填报的理想学受到多个因素的限制，而对于不同的考生，每种因素的重要程度不同，由此造成了考生选择理想大学的侧重点不同。
根据上述的层次结构图，构造模糊互补判断矩阵，将所有因素进行两两对比，得到相对重要程度以及对应的数值。
表5模糊标度及其含义表
标度
含义
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
两个元素相比，后者比前者极端重要
两个元素相比，后者比前者明显重要
两个元素相比，后者比前者同等重要
两个元素相比，前者比后者明显重要
两个元素相比，前者比后者极端重要
可以看出按上述标度构成的模糊互补判断矩阵
具有以下性质：
（1）
；
（2）
；（3）
。
利用最小方差法
计算权重
的公式为：
（7）
由此得到各个因素的权重大小
（8）
5.2.3录取概率模型
对于考生来说，希望得到今年的各个学校的录取分数的预测值。
根据自己的分数和预测分数，来选择合适的学校。
因此，根据往年各个学校的最低录取分数线和平均录取分数线，预测得到今年的最低录取分数和平均录取分数，并利用考生分数和预测分数，得到录取概率大小[2]。
观察近十年高考志愿填报和录取情况可以发现，一些学校在志愿填报和录取时经常出现“大小年”现象，即前一年填报人数多，录取分数高，后一年填报人数少，录取分数低的现象。
根据这种情况，应选择偶数个年份的录取情况来预测今年的录取分数。
将最近四年的最低录取差额分数和平均录取差额分数分布取平均数，可得均年最低刦差额分数和均年平均录取差额分数。
由考生实际分数和高考今年省控一本线可得线差为：
（9）
那么这几年该校在该省的最低录取差额分数为
（10）
平均录取差额分数为
（11）
对最近几年的最低录取差额分数和平均录取差额分数取代数平均值，得均年最低录取差额分数为
（12）
均年平均录取差额分数为
（13）
将近四年的均年最低录取差额分数作为今年最低录取差额分数的估计，将均年平均录取差额分数作为今年平均录取差额分数的估计，即估计认为今年的最低录取为
（14）
平均录取分为
（15）
本文假设认为，当考生分数为今年估计的最低录取分数，即
时，被录取的概率为50%；当考生分数为今年估计的平均录取分数，即
时，被录取的概率为100%；当考生分数高于估计最低录取分数，低于估计平均录取分数，即
时，被录取的概率为
（16）
综上可得，
5.2.4大学综合理想排名模型
由于地理位置是个模糊的概念，所以对它进行量化处理。
表6地理位置量化指标
落后地区
二线城市
一线城市
落后地区
4
6
8
二线城市
2
2
4
一线城市
1
1
1
由于很大考生考虑到家庭以及未来的就业，所以如果本省较发达，很多人愿意留在本省；但如果本省比较落后，很多考生更愿意到发达地区去发展。
所以，我们规定，如果考生处于二线城市，对于该考生来说，本省可以视为一线城市。
对于大学，可根据大学的排行榜来确定大学的优劣；而对于专业，可根据此专业查得对应所有大学的排名。
大学排名、专业排名和地理位置的值都是逆向指标，因此，记
为所有数值中的最小值，
为第
个数值，归一化数值为
（17）
（18）
利用式（18），得到大学排名的归一化值
，按照专业的大学排名
地理位置
，以及录取的概率
，由此得到大学的整体理想值：
（19）
考生可根据计算目标学校的理想值大小确定是否填报该大学，利用理想之大小排序确定志愿填写的顺序。
5.3问题三的求解
5.3.1大学整体理想值的求解
假若小王是理科生，由题意可知，考生小王有意报考法律专业，说明相对于其它因素，专业的因素比较重要。
由此，根据模糊标度表，得到模糊互补矩阵：
由式（7），得到各个因素的权重大小
从权重的大小情况来看，小王更注重专业和学校。
而小王有意报考法律专业，说明他报考时候兴趣在法学专业上,同时希望被法学专业录取。
为此，选取学校时候法学专业的录取概率尽可能为100%。
如果录取法学的概率为100%，那么被学校录取的概率也为100%。
利用录取概率模型，预测出2015年各高校在省的录取分数线和法学专业录取分数线，并由此计算出高校录取概率和法学专业录取概率。
为了缩小选取围，从高校录取概率和法学录取概率为100%的所有大学中选取出综合排名和法学专业排名均较前的学校：
表7综合排名法学专业排名均较前学校
学校
综合排名
法学排名
大学
13
7
中南财经政法大学
73
21
华中科技大学
10
42
中国政法大学
78
5
大学
33
29
同时，对于小王来说，处于的高校和处于的高校的地理位置重要程度相同，均设置为1,；而和同样作为二线城市，但是距离的距离相对于来说太远，因此将大学的地理位置设置为3，而大学设置为2。
利用预测得到的2015年专业录取平均分，可得到小王分数和专业录取平均分之间的分数线差。
将大学综合排名、法学专业排名、地理位置和分数线差归一化处理，得：
表8各项指标归一化后量值
学校
综合排名
法学专业排名
地理位置
分数线差
大学
0.538
0.429
0.333
0.830
中南财经政法大学
0.096
0.143
1.000
0.951
华中科技大学
0.700
0.
1.000
0.684
中国政法大学
0.090
0.600
1.000
0.672
大学
0.212
0.103
0.500
1.000
将四个因素指标的权重大小和各个大学的四个指标值代入式（19），可得到各个大学的整体理想值，并由此对大学选择进行排序，
表9各大学理想值排名
学校
理想值
排名
大学
0.488
1
中国政法大学
0.469
2
华中科技大学
0.446
3
中南财经政法大学
0.293
4
大学
0.271
5
5.3.2基于灰色关联分析法的风险性检验
利用模糊AHP方法对学校和专业较好的学校进行排序之后，得到报考学校排名的先后顺序，但是一般第一志愿是比较重要的，所以需要判断第一志愿是否是最满意大学。
由模糊AHP法构造层次结构关系图，依据上面的模糊互补矩阵得到准则层和方案层的权重，然后，根据GRAP法给出由准则层中各因素重要度组成的待检模式向量和由方案层中各因素相对权重构成的特征矩阵，通过关联度的计算，求出填报志愿方案中满意度最大的学校。
上述层次结构图给出影响高考填报志愿有效的因素有4个，兼并方案5个，得出的矩阵为：
可知，准则层对目标层的权向量为：
经过计算得出准则层对目标层的权向量，那么我们将得出因素重要度值
构成的待检模式向量
关联度的计算步骤：
1、对
作初始化处理（即
除以0.35）
2、两级
最大差和最小值
（20）
所以，
3、计算灰色关联系数
（21）
，
表示
时刻两个数列的绝对差
、
分别为各个时刻的绝对差中最大值与最小值；
一般
，
为分辨系数，
，一般取
由下式计算得关联度，
（22）
表10各因关联度
2.5733
1.724
2.386
2.1398
2.12
由于
，可以得出结论：
在高考填报志愿时，选择大学是最满意的且风险最小。
同样，若小王是文科生，得到理想大学为：
表1
升级会员 