高中数学解析几何初步阶段质量评估 北师大版必修2.docx
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高中数学解析几何初步阶段质量评估北师大版必修2
2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步阶段质量评估北师大版必修2
（A）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．过两点A（－2，m），B（m,4）的直线倾斜角是45°，则m的值是（ ）
A．－1 B．3
C．1D．－3
解析：
由kAB＝＝tan45°＝1，解得m＝1.
答案：
C
2．以A（1,3）和B（－5,1）为端点，线段AB的中垂线方程是（ ）
A．3x－y＋8＝0B．3x＋y＋4＝0
C．2x－y－6＝0D．3x＋y＋8＝0
解析：
AB的中点（－2,2），kAB＝＝，中垂线的斜率k＝－3.
AB的中垂线方程为y－2＝－3（x＋2），即3x＋y＋4＝0.
答案：
B
3．若以点C（－1,2）为圆心的圆与直线x－2y＋3＝0没有公共点，则圆的半径r的取值范围为（ ）
A.B．
C．（0，）D．（0,2）
解析：
设圆心到直线的距离为d，则d＝＝.若直线与圆没有公共点，则0＜r＜，故选A.
答案：
A
4．若直线l：
y＝kx＋1（k＜0）与圆C：
（x＋2）2＋（y－1）2＝2相切，则直线l与圆D：
（x－2）2＋y2＝3的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．不确定
解析：
依题意，直线l与圆C相切，则＝，解得k＝±1.因为k＜0，所以k＝－1，于是直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D（2,0）到直线l的距离d＝＝＜，所以直线l与圆D相交，故选A.
答案：
A
5．点P在圆C1：
x2＋（y＋3）2＝4上，点Q在圆C2：
（x＋3）2＋（y－1）2＝9上，则|PQ|的最大值为（ ）
A．5B．10
C．7D．8
解析：
可得C1（0，－3），r1＝2，C2（－3,1），r2＝3.|C1C2|＝＝5.
∴|PQ|的最大值为5＋r1＋r2即10.
答案：
B
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为（ ）
A.B．2
C.D．2
解析：
由题意得直线方程y＝x，即x－y＝0.
圆方程x2＋（y－2）2＝4.圆心到直线的距离是d＝＝1.
∴弦长|AB|＝2＝2.
答案：
D
7．圆（x－3）2＋（y＋4）2＝2关于直线y＝0对称的圆的方程是（ ）
A．（x＋3）2＋（y－4）2＝2B．（x－4）2＋（y＋3）2＝2
C．（x＋4）2＋（y－3）2＝2D．（x－3）2＋（y－4）2＝2
解析：
∵（3，－4）关于y＝0对称的点为（3,4），
∴所求圆的方程为（x－3）2＋（y－4）2＝2.
答案：
D
8．已知点P（x，y）是直线y＝2x－4上一动点，PM与PN是圆C：
x2＋（y－1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（ ）
A.B．
C.D．
解析：
由题意知，圆C的圆心为C（0,1），半径为1，故|PC|2＝|PN|2＋1.又S四边形PMCN＝2××|PN|×1＝|PN|，故当|PN|最小时，四边形PMCN的面积最小，此时|PC|最小，又|PC|的最小值即为点C到直线的距离d＝＝，此时|PN|＝，故四边形PMCN面积的最小值为.故选A.
答案：
A
9．在平面直角坐标系中，圆M的方程为x2＋（y－4）2＝4，若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则m的取值范围是（ ）
A.B．
C.D．
解析：
依题意，圆M的圆心为M（0,4），半径r＝2.若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则存在x∈R，使得|MP|≤2＋2成立，即≤4，解得m≤，故选D.
答案：
D
10．一束光线从点A（－1,1）出发，经x轴反射到圆C：
（x－2）2＋（y－3）2＝1上的最短路程是（ ）
A．3－1B．2
C．4D．5
解析：
A关于x轴的对称点A′（－1，－1），
则|A′C|＝＝5.
∴所求最短路程为5－1＝4.
答案：
C
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）
11．如图，长方体OABC－D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝4，|OD′|＝5，B′D′与A′C′交于P，则点P的坐标为________．
解析：
由已知可得B′的坐标为（3,4,5），
D′的坐标为（0,0,5），∴P的坐标为.
答案：
12．两圆x2＋y2＝1，（x＋4）2＋（y－a）2＝25相切，则实数a＝________.
解析：
由＝6，得a＝±2.由＝4，得a＝0.
答案：
0，±2
13．如果直线ax＋3y＋2＝0与直线3ax－y－2＝0垂直，那么a＝________.
解析：
若两直线垂直，则3a2－3＝0，∴a＝±1.
答案：
±1
14．若圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0的过点P（－1,0）的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝________.
解析：
圆方程化为（x－2）2＋（y＋3）2＝25，
∴圆心C为（2，－3），
∴过点P的最大弦长为直径10.当弦垂直于CP时弦长最短，
|CP|＝＝3.
∴最短弦长为2＝2，
即m＝10，n＝2，
∴m－n＝10－2.
答案：
10－2
三、解答题（本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）菱形ABCD中，A（－4,7），C（6，－5），BC边所在直线过点P（8，－1）．求：
（1）AD边所在直线的方程；
（2）对角线BD所在直线的方程．
解析：
（1）kBC＝2，∵AD∥BC，∴kAD＝2.
∴直线AD方程为y－7＝2（x＋4），即2x－y＋15＝0.
（2）kAC＝－，∵菱形对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴kBD＝，
而AC中点（1,1），也是BD的中点，
∴直线BD的方程为y－1＝（x－1），即5x－6y＋1＝0.
16．（本小题满分12分）
（1）求平行于直线3x＋4y－12＝0，且与它的距离是7的直线的方程；
（2）求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P（－1,0）的距离是的直线的方程．
解析：
（1）由题意可设所求直线的方程为3x＋4y＋m＝0
由两平行线间的距离得＝7，
解得m＝23或m＝－47，
故所求直线的方程为3x＋4y＋23＝0或3x＋4y－47＝0.
（2）由题意可设所求直线的方程为3x－y＋n＝0，由点到直线的距离得＝，解得n＝9或n＝－3.
故所求直线的方程为3x－y－3＝0或3x－y＋9＝0.
17．（本小题满分13分）已知圆C：
（x－1）2＋y2＝9内有一点P（2，2），过点P作直线I交圆C于A、B两点．
（1）当I经过圆心C时，求直线I的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线I的方程．
解析：
（1）已知圆C：
（x－1）2＋y2＝9的圆心为C（1,0），因直线过点P、C，所以直线I的斜率为2，直线I的方程为y＝2（x－1），即2x－y－2＝0.
（2）当弦AB被点P平分时，I⊥PC，直线I的方程为y－2＝－（x－2），即x＋2y－6＝0.
18．（本小题满分13分）如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）求过点（3,0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．
解析：
（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（xp，yp），
由已知得
∵P在圆上，∴x2＋2＝25，
即C的方程为＋＝1.
（2）过点（3,0）且斜率为的直线方程为y＝（x－3），
设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y＝（x－3）代入C的方程，
得＋＝1，整理得x2－3x－8＝0，
∴x1＝，x2＝，
∴线段AB的长度为
|AB|＝
＝
＝＝.
（B）
（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若直线过点（1,2），（4,2＋），则此直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
解析：
过点（1,2），（4,2＋）的直线的斜率k＝＝，由k＝tanα得直线的倾斜角α＝30°.
答案：
A
2．直线l过点P（－1,2），且倾斜角为45°，则直线l的方程为（ ）
A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0
C．x－y－3＝0D．x－y＋3＝0
解析：
直线l的斜率为k＝tan45°＝1，则由直线的点斜式方程得直线l的方程为y－2＝1×[x－（－1）]，化为一般式方程为x－y＋3＝0.
答案：
D
3．已知直线l1：
x＋y＋1＝0，l2：
x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为（ ）
A．1B．
C.D．2
解析：
l1与l2之间的距离d＝＝＝，故选B.
答案：
B
4．若点（1，a）到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为（ ）
A．－1B．5
C．－1或5D．－3或3
解析：
由已知得＝，则a＝5或－1.
答案：
C
5．若直线（m－2）x＋y－4＝0的倾斜角α是钝角，则m的取值范围是（ ）
A．m>－2B．m>2
C．m<－2D．m<2
解析：
∵直线倾斜角为钝角，
∴斜率小于零，
∴2－m<0，
∴m>2.
答案：
B
6．过点（－1,3）且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为（ ）
A．x－2y＋7＝0B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－5＝0D．2x＋y－5＝0
解析：
设直线方程为x－2y＋m＝0，
把（－1,3）代入得－1－2×3＋m＝0，∴m＝7.
故直线方程为x－2y＋7＝0.
答案：
A
7．在同一坐标系中，能正确表示直线y＝ax＋b和y＝bx＋a的图像的是（ ）
解析：
在选项A中，一条直线的斜率与在y轴上的截距均大于零，即ab>0，而另一条直线的斜率大于零，但在y轴上的截距小于零，即ab<0，这与ab>0矛盾，所以A可以排除．同理可知，在选项B中，一条直线的斜率与在y轴上的截距均小于零，即ab>0，而另一条直线的斜率大于零，但在y轴上的截距等于零，即ab＝0，这与ab>0矛盾，所以B可以排除．在选项C中，一条直线的斜率与在y轴上的截距均小于零，即ab>0，而另一条直线的斜率大于零，但在y轴上的截距小于零，即ab<0，这与ab>0矛盾，所以C可以排除．
答案：
D
8．点M（4，－3,5）到x轴的距离为（ ）
A．4B．
C．5D．
解析：
如下图所示，MA⊥面xOy，AB⊥x轴，
则|MB|＝＝.
答案：
B
9．点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）
A．（x－2）2＋（y＋1）2＝4B．（x－2）2＋（y＋1）2＝1
C．（x＋4）2＋（y－2）2＝4D．（x＋2）2＋（y－1）2＝1
解析：
设圆上任一点坐标为（x0，y0），则x＋y＝4，连线中点坐标为（x，y），
则即代入x＋y＝4中得
（x－2）2＋（y＋1）2＝1.
答案：
B
10．圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆方程为x2＋y2－1＝0，则实数a的值是（ ）
A．0B．1
C．2D．±2
解析：
即两圆的圆心C1与C2（0,0）关于直线x－y－1＝0对称，∴a＝2.
答案：
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上）
11．从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2,3）向这个圆引切线，则切线长为________．
解析：
圆心Q（1,1），∴切线长l＝＝＝2.
答案：
2
12．在经过点A（－3,1）的所有直线中，与原点距离最远的直线方程为________．
解析：
经过A（－3,1）所有直线中，与原点的距离最远的是与OA垂直的直线，kOA＝－，所以k＝3，故所求直线方程为y－1＝3（x＋3），即3x－y＋10＝0.
答案：
3x－y＋10＝0
13．若方程a2x2＋（a＋2）y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为________．
解析：
若方程a2x2＋（a＋2）y2＋2ax＋a＝0表示圆，则有a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，原方程变为2x2＋2y2＋2x＋1＝0，配方得22＋2y2＝－，不表示圆；当a＝－1时，原方程变为x2＋y2－2x－1＝0，配方得（x－1）2＋y2＝2，它表示以（1,0）为圆心，为半径的圆．
答案：
－1
14．直线x－2y－3＝0与圆（x－2）2＋（y＋3）2＝9交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积等于________．
解析：
由方程组
可得5x2－10x－11＝0，
∵
∴|EF|＝|x1－x2|＝＝4
又由点到直线距离公式，得dO－EF＝，
∴S△OEF＝.
答案：
三、解答题（本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）求经过直线l1：
2x＋3y－5＝0，l2：
3x－2y－3＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程．
解析：
由得
由平行于2x＋y－3＝0可得直线的斜率为－2，
∴直线方程为y－＝－2，
即26x＋13y－47＝0.
16．（本小题满分12分）已知△ABC的两条高线所在直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A（1,2）．求
（1）BC边所在的直线方程；
（2）△ABC的面积．
解析：
（1）∵A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设kAB＝－，kAC＝1.
∴AB、AC边所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，
x－y＋1＝0.
由得B（7，－7）．
由得C（－2，－1）．
∴BC边所在的直线方程为2x＋3y＋7＝0.
（2）∵|BC|＝，A点到BC边的距离d＝，
∴S△ABC＝×d×|BC|＝××＝.
17．（本小题满分13分）求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与y＝x相切的圆的方程．
解析：
设所求的圆的方程为
x2＋y2＋4x－2y－4＋λ（x＋y＋4）＝0，
联立方程组得
得x2＋（1＋λ）x＋2（λ－1）＝0，
因为圆与y＝x相切，所以Δ＝0，
即（1＋λ）2－8（λ－1）＝0，则λ＝3，
故所求圆的方程为
x2＋y2＋7x＋y＋8＝0.
18．（本小题满分13分）已知圆A：
x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：
y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．
解析：
设圆B的半径为r.
∵圆B的圆心在直线l：
y＝2x上，
∴圆B的圆心可设为（t,2t），
则圆B的方程是（x－t）2＋（y－2t）2＝r2，
即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0.①
∵圆A的方程是x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，②
∴②－①得两圆的公共弦方程为
（2＋2t）x＋（2＋4t）y－5t2＋r2－2＝0.③
∵圆B平分圆A的周长，
∴圆A的圆心（－1，－1）必在公共弦上，于是将x＝－1，y＝－1代入方程③并整理，得
r2＝5t2＋6t＋6＝52＋≥.
∴当t＝－时，rmin＝.
此时，圆B的方程是2＋2＝.
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