一元一次方程的实际应用题详细.docx

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一元一次方程的实际应用题详细

一元一次方程的实际应用题

题型一：

利率问题

利率问题

利息=本金×利率×期数

本利和=本金十利息=本金×（1＋利率×期数）

利息税=利息×税率

税后利息=利息一利息税=利息×（1－税率）

税后本利和=本金＋税后利息

【总结】若利率是年利率，期数以“年”为单位计数，若是月利率，则期数以“月”为单位计数，解题时要注意.

【例1】某人把若干元按三年期的定期储蓄存入银行，假设年利率为

，到期支取时扣除所得税实得利息

元，求存入银行的本金．（利息税为

）

【答案】设存入银行的本金为

元，根据题意，得

因此，存入银行的本金是

元．

【总结】利息=本金×利率×期数×利息税

题型二：

折扣问题

利润额=成本价×利润率

售价=成本价＋利润额

新售价=原售价×折扣

【例2】小丽和小明相约去书城买书，请你根据他们的对话内容（如图），求出小明上次所买书籍的原价．

图

【分析】设小明上次购买书籍的原价是

元，由题意，得

，

解得

．

因此，小明上次所买书籍的原价是160元，

【答案】160元.

1：

一件衣服按标价的八折出售，获得利润18元，占标价的10％，问该衣服的买入价？

分析：

本金：

标价

利率：

－20％

利息：

成交价－标价＝买入价＋利润－标价

解：

设该衣服的买入价为x元

x＋18－18/10％＝18/10％×（80％－1）

当然，这道题这样解是一种方法，还可以按照我们常规的算术方法解来，倒也简单，因此，列方程解应用题是针对过程清楚的问题比较简单方便。

2.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

[分析]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元

进价

折扣率

标价

优惠价

利润

X元

8折

（1+40%）X元

80%（1+40%）X

15元

等量关系：

（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15

解：

设进价为X元，80%X（1+40%）—X=15，X=125

答：

进价是125元。

题型三：

行程问题

行程问题：

解行程问题的关键是抓住时间关系或路程关系，借助草图分析来解决问题．

路程=速度×时间

相遇路程=速度和×相遇时间

追及路程=速度差×追及时间

基本关系：

速度×时间=路程（图示法）

（一）相遇问题

相遇问题的基本题型及等量关系

1．同时出发（两段）

甲的路程+乙的路程=总路程

2．不同时出发（三段）

先走的路程+甲的路程+乙的路程=总路程

【例1】甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

（1）分析：

相遇问题，画图表示为：

等量关系是：

慢车走的路程+快车走的路程=480公里。

解：

设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90（x+1）=480　　解这个方程，230x=390

答：

快车开出

小时两车相遇

（2）分析：

相背而行，画图表示为：

等量关系是：

两车所走的路程和+480公里=600公里。

　　解：

设x小时后两车相距600公里，

由题意得，（140+90）x+480=600解这个方程，230x=120∴x=

　　答：

小时后两车相距600公里。

（3）分析：

等量关系为：

快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。

　　解：

设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140－90）x+480=600　　50x=120　　∴x=2.4

　　答：

2.4小时后两车相距600公里。

（4）分析：

追及问题，画图表示为：

等量关系为：

快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：

设x小时后快车追上慢车。

由题意得，140x=90x+480　解这个方程，50x=480　∴x=9.6

答：

9.6小时后快车追上慢车。

（5）分析：

追及问题，等量关系为：

快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：

设快车开出x小时后追上慢车。

由题意得，140x=90（x+1）+480　50x=570　∴x=11.4　　

答：

快车开出11.4小时后追上慢车。

【例2】．小杰和小丽分别在400米环形跑道上联系跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟走120米，两人同时由同一起点同向出发，问几分钟后小丽与小杰第一次相遇.

【答案】设

分钟后小丽与小杰第一次相遇.根据题意，得

解方程，得

答：

出发2分钟后小丽与小杰第一次相遇.

【分析】由于小杰、小丽在环形跑道上同时同地同向出发，因此小丽与小杰第一次相遇，必须是小杰比小丽多跑一圈，得到的等式是：

小杰所跑的路程—小丽所走的路程=400.

因为“速度×时间=路程”，所以三个量中只要已知其中两个量就可以得到第三个量.

（2）航行问题顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

【例3】某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。

A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。

　　解：

设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为（x-10）千米，

　　由题意得，

答：

A、B两地之间的路程为32.5千米。

[分析]这属于行船问题，这类问题中要弄清：

（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；

（2）逆水速度=船在静水中的速度－水流速度。

相等关系为：

顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。

1.甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？

解：

设甲用X小时追上乙，根据题意列方程

5X=3X+5解得X=2.5，狗的总路程：

15×2.5=37.5

答：

狗的总路程是37.5千米。

[分析]]追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。

狗跑的总路程=它的速度×时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间

2.一架飞机在两个城市之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程？

解：

设两个城市之间的飞行路程为x千米。

则

3.一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。

解：

设甲、乙两码头之间的距离为x千米。

则

x=80

题型四：

工程问题

工程问题

解工程问题时，常将工作总量当作整体“1”．基本关系为：

工作效率×工作时间=1（工作总量）

等量关系：

（图示法）

工作总量=工作效率×工作时间

全部工作量之和=各队工作量之和，各队合作工作效率=各队工作效率之和

工作总量不清楚时看成“1”

【例1】一项工程甲做40天完成，乙做50天完成，现在先由甲做，中途甲有事离去，由乙接着做，共用46天完成．问甲、乙各工作了多少天？

【分析】由题意知，甲每天完成全部工作量的

，乙每天完成

，设甲工作了

天，则乙工作了（

）天，

根据题意，得

．解得

，则

（天）．

故甲工作了16天，乙工作了30天．

【答案】甲工作16天，乙工作30天．

【例2】一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

解：

设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，

　　答：

乙还需

天才能完成全部工程。

[分析]设工程总量为单位1，等量关系为：

甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。

【例3】一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？

　　解：

设打开丙管后x小时可注满水池，

　　由题意得，

　　答：

打开丙管后

小时可注满水池。

[分析]等量关系为：

甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。

1.一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

解：

设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．

根据题意，得

×

+（

+

）x=1解这个方程，得x=

=2小时12分

答：

甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．

2.某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件．

解：

设这一天有x名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个．根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440解得x=6

答：

这一天有6名工人加工甲种零件

3.一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？

解：

设还需x天。

1数字问题

一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．

十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．

2．市场经济问题

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝

×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．

3．行程问题：

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

（1）相遇问题：

快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：

快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

4．工程问题：

工作量＝工作效率×工作时间

完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

5．储蓄问题

利润＝

×100%利息＝本金×利率×期数

注意：

虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这几类问题。

因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解

1.某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？

优惠价是多少元？

[分析]通过列表分析已知条件，找到等量关系式

进价

折扣率

标价

优惠价

利润率

60元

8折

X元

80%X

40%

等量关系：

商品利润率=商品利润/商品进价

解：

设标价是X元，

解之：

x=105优惠价为

2.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

[分析]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元

进价

折扣率

标价

优惠价

利润

X元

8折

（1+40%）X元

80%（1+40%）X

15元

等量关系：

（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15

解：

设进价为X元，80%X（1+40%）—X=15，X=125

答：

进价是125元。

3.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？

若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（B）

A.45%×（1+80%）x-x=50B.80%×（1+45%）x-x=50

C.x-80%×（1+45%）x=50D.80%×（1-45%）x-x=50

4．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折．

解：

设至多打x折，根据题意有

×100%=5%解得x=0.7=70%

答：

至多打7折出售．

4.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。

半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？

（不计利息税）

[分析]等量关系：

本息和=本金×（1+利率）

解：

设半年期的实际利率为X，依题意得方程250（1+X）=252.7，解得X=0.0108

所以年利率为0.0108×2=0.0216

答：

银行的年利率是21.6%

一年

2.25

三年

2.70

六年

2.88

5.为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：

（1）直接存入一个6年期；

（2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；

（3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？

[分析]这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。

解：

（1）设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程X（1+6×2.88%）=20000，解得X=17053

（2）设存入两个三年期开始的本金为Y元，Y（1+2.7%×3）（1+2.7%×3）=20000，X=17115

（3）设存入一年期本金为Z元，Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894

所以存入一个6年期的本金最少。

6．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：

如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：

尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：

将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？

为什么？

.解：

方案一：

获利140×4500=630000（元）

方案二：

获利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）

方案三：

设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨．

依题意得

=15解得x=60

获利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）

因为第三种获利最多，所以应选择方案三．

7．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：

“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）．若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元．

（1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式）．

（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？

（3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？

.解：

（1）y1=0.2x+50，y2=0.4x．

（2）由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250．

即当一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同．

（3）由0.2x+50=120，解得x=350由0.4x+50=120，得x=300

因为350>300故第一种通话方式比较合算．

8．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？

应交电费是多少元？

解：

（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，则0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：

九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．