数学史选讲.docx
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数学史选讲
数学史选讲
《数学史选讲》课程方案
一、课程性质
本课程性质属于普通高中知识拓展类选修类课程。
是高中学生数学综合知识的拓展。
主要涉及数学史的介绍和应用。
与其他知识部门相比，数学是一门历史性或者说积累性很强的科学。
重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。
例如，数的理论的演进就表现出明显的累积性；在几何学中，非欧几何可以看成是欧式几何的拓广；溯源于初等代数的抽象代数并没有使前者被淘汰；同样现代分析中诸如函数、导数、积分等概念的推广均包含了古典定义作为其特例。
可以说，在数学的进化过程中，几乎没有发生过彻底推翻前人建筑的情况。
数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及数学科学发展对人类文明带来的影响。
因此，数学史的内容不仅包括数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等人文科学与社会科学内容，是一门交叉性学科。
由于数学概念、方法和理论具有承续性和积累性，高中数学教科书内容与数学发展的真实情况并不一致，教科书是将历史上的数学材料根据特定的目的、按一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，舍弃了数学知识的背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，同时由于数学学科已发展成为分支学科繁多的学科体系，因此学生仅凭数学教材的学习，难以获得数学科学的原貌和全景。
通过数学史学习，不仅有助于学生对数学教材中数学知识的深刻理解，是学生数学素质培养的一部分，而且也使学生了解数学学科的整体概貌与学科前沿。
数学是人类文化的一部分，通过数学史这门文理交叉学科的学习，使学生在接受数学知识的同时，获得人文社会科学方面的修养，而且能够真正理解数学思想、数学方法、数学语言、数学思维等数学文化的真谛。
中国数学有着悠久的历史，数学史课程可以使学生了解中国传统数学的辉煌成就，了解中国近代数学落后的原因，中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，以激发学生振兴民族科学的热情。
本课程文理科生都可以选择。
二、课程目标
通过本课程学习，使学生了解世界数学发展的历史脉络，了解古代希腊数学和中国传统数学的成就、特点及其对世界数学发展的影响，了解近代数学、现代数学产生的背景、各学科分支中的主要问题与数学思想及其主要成就，了解20世纪数学科学发展的主要趋势和有影响的典型成果。
理解高中数学知识背景及其在整个数学科学与自然科学、工程技术中的地位和作用，并且对数学活动的社会化状况，以及数学科学与人类社会发展的互动关系有一定的认识。
三、课程内容
本课程以重大数学思想的发展为主线，阐述从远古到现代数学的历史，介绍和分析古代希腊和东方数学成就；本着“厚今薄古”的原则，论述文艺复兴以来近现代数学的演进与变革，尤其概观20世纪数学的成果与前沿方向。
并将中国数学放在世界数学的背景中加以介绍。
四、课程实施
师资条件：
本课程属于数学综合性内容，一般教师均能担任其教学任务。
教学资源：
课程需要的要学资源有两位教师编写，能保证本课程的顺利实施。
教学环境：
本课程大部分内容，可以通过上课讲解，课堂讨论完成。
五、课程评价
以教师专题讲座,课外学生强化训练和自主探究为主要方式。
本课程的评价分两个方面：
学习态度（出勤率和上课态度）、考试成绩和平时作业，分别占课程评价建议：
出勤率20%+上课10%+测试50%+作业20%。
课程评价以过程性评价为主，学生自我评价、同伴互评和教师评价相结合。
第一方面，课程的学习态度。
主要看听课情况，包括出席率，课堂表现，以及完成书面作业等情况。
所以教师对学生的出课率、课堂表现以及作业情况要及时记载，保证完整性。
第二方面，完成课外作业及考试成绩。
课外作业完成的质量和及时性做好记录，认真编写试卷，反映学生对数学思想方法的理解和应用。
专题一数学史——人类文明史的重要篇章
第一讲数学史的意义
第二讲什么是数学——历史的理解
第三讲关于数学史的分期
第四讲转化与化归思想
专题二数学的起源与早期发展
专题三古代希腊数学
专题四中世纪的中国数学
专题五印度与阿拉伯的数学
专题六近代数学的兴起
专题七微积分的创立
专题八分析时代
专题九代数学的新生
专题十几何的变革
专题十一分析的严格化
专题十二20世纪数学概观
（1）纯粹学的主要趋势
专题十三20世纪数学概观
（2）纯粹学的主要趋势
专题十四20世纪数学概观（3）现代数学成果十例
专题十五数学与社会
专题十六中国现代数学的开拓
数学史研究的意义
一、 古代数学研究的四大国度
1古代希腊数学2中世纪的中国数学
3印度数学4阿拉伯数学
二、数学史的重要性
它的内容涉及到从上古时代到19世纪初的这段时期。
为了跟踪过去2000年当中主要数学概念的发展，作者非常重视第一手资料的搜集与运用。
在介绍重要数学家的工作时，大量从他们的原著中引用材料。
在不列颠博物馆、英国皇家学会和剑桥三一学院的帮助下，引用了比较多的史料，使人们对原始的情况获得了深刻的印象。
同时，作者还注意到数学知识的继承性和积累性，并不把重大的发现和发明完全归功于某一个人。
例如对欧几里得和牛顿这样一些主要的流派，作者到说明他们的成就的渊源，从而勾画出数学科学本身发展的规律。
斯科特博士依靠他对数学史的驾驭自如的能力写出了这本富有激励性的好书。
数学的历史源远流长。
在早期的人类社会中，是数学与语言、艺术以及宗教一并构成了最早的人类文明。
数学是最抽象的科学，而最抽象的数学却能催生出人类文明的绚烂的花朵。
这使数学成为人类文化中最基础的学科。
对此恩格斯指出：
“数学在一门科学中的应用程度，标志着这门科学的成熟程度。
”在现代社会中，数学正在对科学和社会的发展提供着不可或缺的理论和技术支持。
数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录。
数学的发展决不是一帆风顺的，在跟读的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临困难和战盛危机的斗争记录。
无理量的发现、微积分和非欧几何的创立…这些例子可以帮助人们了解数学创造的真实过程，而这种真实的过程是在教科书里以定理到定理的形式被包装起来的。
对这种创造过程的了解则可以使人们探索与奋斗中汲取教益，获得鼓舞和增强信心。
专题零数学史——人类文明史的重要篇章
一、数学史的意义
0.1数学史的意义
0.2什么是数学—历史的理解
0.3关于数学史的分期
专题一数学的起源与早期发展
1.1数与形概念的产生
1.2河谷文明与早期数学
1.2.1埃及数学
1.2.2美索不达米亚数学
专题二古代希腊数学
2.1论证数学的发端
2.1.1泰勒斯与毕达哥拉斯
2.1.2雅典时期的希腊数学
2.2黄金时代----亚历山大学派
2.2.1欧几里得与几何《原本》
2.2.2阿基米德的数学成就
2.2.3阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
2.3亚历山大后期和希腊数学的衰落
专题三中世纪的中国数学
3.1《周髀算经》与《九章算术》
3.1.1古代背景
3.1.2《周髀算经》
3.1.3《九章算术》
3.2从刘徽到祖冲之
3.2.1刘徽的数学成就
3.2.2祖冲之与祖暅
3.2.2《算经十书》
3.3宋元数学
3.3.1从“贾宪三角”到“正负开方”术
3.3.2中国剩余定理
3.3.3内插法与垛积术
3.3.4“天元术”与“四元术”
专题四印度与阿拉伯的数学
4.1印度数学
4.1.1古代《绳法经》
4.1.2“巴克沙利手稿”与零号
4.1.3“悉檀多”时期的印度数学
4.2阿拉伯数学
4.2.1阿拉伯的代数
4.2.2阿拉伯的三角学与几何学
专题五近代数学的兴起
5.1中世纪的欧洲
5.2向近代数学的过渡
5.2.1代数学
5.2.2三角学
5.2.3从透视学到射影几何
5.2.4计算机技术与对数
5.3圆锥曲线的由来
5.4集合与康托理论
5.5函数与方程的思想
5.6概率论
5.7立体几何
专题六微积分的创立
6.1半个世纪的酝酿
6.2牛顿的“流数术”
6.2.1流数术的初建
6.2.2流数术的发展
6.2.3《原理》与微积分
6.3莱布尼茨的微积分
6.3.1特征三角形
6.3.2分析微积分的建立
6.3.3莱布尼茨微积分的发表
6.3.4其他数学贡献
6.4牛顿与莱布尼茨
专题七分析时代
7.1微积分的发展
7.2微积分的应用与新分支的形成
7.318世纪的几何与代数
专题八代数学的新生
8.1代数方程的可解性与群的发现
8.2从四元数到超复数
8.3布尔代数
8.4代数数论
8.5算法的发展史
8.6不等式简史
专题九几何的变革
9.1欧几里得平行公设
9.2非欧几何的诞生
9.3非欧几何的发展与确认
9.4射影几何的繁荣
9.5几何学的统一
专题十分析的严格化
10.1可惜与分析基础
10.2分析的算术化
10.2.2威尔斯特拉斯
10.2.2实数理论
10.2.3集合论的诞生
10.3分析的扩展
10.3.1复分析的建立
10.3.2解析数论的形成
10.3.3数学物理与微分方程
专题十一20世纪数学概观
（1）纯粹学的主要趋势
11.1新世纪的序幕
11.2更高的抽象
11.2.1勒贝格积分与实变函数论
11.2.2泛函分析
11.2.3抽象代数
11.2.4拓扑学
11.2.5公理化概率论
11.3数学的统一化
11.4对基础的深入探究
11.4.1集合论悖论
11.4.2三大学派
11.4.3数理逻辑的发展
专题十二20世纪数学概观
（2）纯粹学的主要趋势
12.1应用数学的新时代
12.2数学向其他科学的渗透
12.2.1数学物理
12.2.2生物数学
12.2.3数理经济学
12.3独立的应用数学
12.3.1数理统计
12.3.2运筹学
12.3.3控制论
12.4计算机与现代数学
12.4.1电子计算机的诞生
12.4.2计算机影响下的数学
专题十三20世纪数学概观（3）现代数学成果十例
13.1哥德尔不完全性定理（1931）
13.2高斯-博内公式的推广（1941-1944）
13.3米尔诺怪球（1956）
13.4阿蒂亚-辛格指标定理（1963）
13.5孤立子与非线性偏微分方程（1965）
13.6四色问题（1976）
13.7分形与混沌（1977）
13.8有限单群分类（1980）
13.9费马大定理的证明（1994）
13.10若干著名未决猜想的进展
专题十四数学与社会
14.1数学与社会进步
14.2数学发展中心的迁移
14.3数学的社会化
14.3.1数学教育的社会化
14.3.2数学专门期刊的创办
14.3.3数学社团的成立
14.3.4数学奖励
专题十五中国现代数学的开拓
15.1西方数学在中国的早期传播
15.2高等数学教育的兴办
15.3现代数学研究的兴起
重点篇章
圆锥曲线的由来
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
圆锥曲线定义
给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线
考虑焦点－准线观点下的圆锥曲线定义。
定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。
过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径。
圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。
类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦。
对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。
因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。
而抛物线只有一个焦点和一条准线。
圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。
对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。
定理（Pappus）：
圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。
定理（Pascal）：
圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。
（对于退化的情形也适用）
定理（Brianchon）：
圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。
圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
圆锥曲线的统一极坐标方程
ρ=ep/（1-e×cosθ）
其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。
圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P（x,y），则焦半径为：
椭圆
|PF1|=a+ex
|PF2|=a-ex
双曲线
P在左支，|PF1|=－a-ex|PF2|=a-ex
P在右支，|PF1|=a+ex|PF2|=－a+ex
P在下支，|PF1|=－a-ey|PF2|=a-ey
P在上支，|PF1|=a+ey|PF2|=－a+ey
抛物线
|PF|=x+p/2
圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以（x0+x）/2代替x,以（y0+y）/2代替y
即椭圆:
x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：
x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:
y0y=p（x0+x）
焦准距
圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
椭圆的焦准距:
p=（b^2）/c
双曲线的焦准距:
p=（b^2）/c
抛物线的准焦距:
p
焦点三角形
椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形
通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为通径。
椭圆的通径:
（2b^2）/a
双曲线的通径:
（2b^2）/a
抛物线的通径:
2p
圆锥曲线的曲率（见右图）曲率半径的作图。
第二条垂线与法线的交点
Z就是曲率的中心他到P点的距离便是曲率半径。
数学家康托
康托和集合论
德国数学家，19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人。
1845年3月3日生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭。
1856年全家迁居德国法兰克福。
康托先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习哲学、数学和物理。
十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。
正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集。
这是集合论研究的开端。
1874年，德国数学家康托尔在著名的《克雷尔数学杂志》上发表了关于无穷集合论的第一章革命性文章。
从1874年到1884年，康托尔的一系列关于集合的文章，奠定了集合论的基础。
他对集合所下的定义是：
把若干确定的、有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，其中各事物称为该集合的元素。
集合是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。
如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。
其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。
但是如同每一个新事物的出现一样，集合论一经问世就遭到许多数学家及其他学者的激烈反对。
当时的权威数学家克罗内克（Kronecker）非常敌视康托尔的集合论思想，时间达整整十年之久，法国数学大家庞加莱（Poincare）则预测后一代人将把集合论当作一种疾病。
在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。
然而乌云遮不住太阳，经历二十余年后，集合论最终获得了世界公认。
到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。
数学家们乐观地认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。
在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。
我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。
”然而这种自得的情绪并没能持续多久。
英国哲学家罗素（Russell）就很怀疑数学的这种严密性，他经过三年的苦思冥想，于1902年找到了一个能证明自己观点的简单明确的“罗素悖论”。
不久，集合论是有漏洞的消息迅速就传遍了数学界。
罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论。
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：
“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。
我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
我对各位表示热诚欢迎！
”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。
可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？
如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？
他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
理发师悖论
号称“天衣无缝”、“绝对严密”的数学陷入了自相矛盾之中。
从此整个数学的基础被动摇了，由此引发了数学史上的第三次数学危机。
危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。
1908年，德国数学家策梅罗（E.Zermelo）提出公理化集合论，试图把集合论公理化的方法来消除悖论。
他认为悖论的出现是由于康托尔没有把集合的概念加以限制，康托尔对集合的定义是含混的．策梅罗希望简洁的公理能使集合的定义及其具有的性质更为显然。
策梅罗的公理化集合论后来演变成ZF或ZFS公理系统。
从此原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。
这就是集合论发展的第二个阶段：
公理化集合论。
与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。
公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。
它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。
公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利！
函数的概念与符号表示的由来
知道了圆的周长，就能算出它的面积．
为什么能算出来呢？
因为圆的周长和它的面积这两个数量之间有联系．
有联系，是不是就一定能算出来呢？
平行四边形的周长和它的面积之间有没有联系呢？
总不能说没有．但是，仅知道平行四边形的周长，你却算不出它的面积来．
可见，两个量之间仅有联系是不够的，还必须有确定性的联系．圆的周长可以确定它的面积，它们之间有确定性的联系．平行四边形的周长和面积之间虽然有联系，可是这种联系不是确定性的关系．
这种反映两种量的确定性联系的数学关系，就是函数概念的基本思想．
从历史上来看，人们对函数关系的认识，经历了从低级到高级的演变过程：
在欧洲，函数（function）这一名词，是微积分的奠基人莱布尼兹首先采用的．他在1692年发表的数学论文中，就应用了函数这一概念．不过，莱布尼兹仅用函数一词表示幂，即x，x2，x3，…，其后他用函数一词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等与曲线上点相关的某些几何量．
1718年，瑞士数学家贝努利使用变量概念给出了不同于几何形式的函数定义：
函数就是变量和常量以任何方式组成的量．贝努利还采用了莱布尼兹“x的函数”一词
数学家欧拉在其著作《无穷小分析引论》中，把凡是给出解析式表示的变量，统称为函数．1734年，欧拉首先创用了符号“f（x）”作为函数的记号．f（x）中的字母“f”取自function（函数）的第一个字母．
其实，欧拉关于函数的定义，并没有真正揭示出函数概念的实质．
德国数学家狄利克勒，在总结前辈数学家工作的基础上，在1837年给出了至今还常用的函数的定义：
如果对于给定区间上的每一x的值，都有唯一的y值与它对应，那么y是x的函数．用符号记作：
y=f（x）．
随着数学的不断进步和完善，当19世纪集合论出现后，函数也是映射，是数集合到数集合的映射：
设A，B都是非空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射f∶A→B，就叫做A到B的函数．记作：
y=f（x）其中x∈A，y∈B．
1859年，清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把函数概念介绍到我国．这本书中说：
“凡式中含天，为天之函数．”这句话的意思是：
凡一个式子含有x，则称为关于x的函数．函数中的“函”字有着包含的意思．
函数y=f（x）是个比较抽象的数学符号．y=f（x）是表示“y是x的函数”这句话的数学表达式，而不是f与x的乘积．
在研究同一问题的过程中，等式y=f（x），h=f（t），m=f（n）……表示完全相同的对应法则．至于自变量、函数用什么字母表示是无关紧要的．
数学概念常用数学符号表示，这是数学的特点，又是数学的优点．在运用函数符号f（x）时，要防止概念与符号f（x）脱节．例如，要通过理解f（a）的意义从侧面加深对f（x）的理解．
f（x）不能简单地说成是当x=a时，f（x）的函数值．因为只有当x=a是f（x）定义域的某个值时，f（x）才有意义．才能称为函数值的记号．比如：
f（x）=x2－1（－1＜x＜1），那么f
（2）=3就不能是x=2时f（x）=x2－1的值，因x=2已不是定义域－1＜x＜1里面的变量了．
其次，要从反面理解f（x）的意义．
如时已知f（x+1）=x2+4x－5，那么能不能说f（x）=y2+4y－5呢？
不行！
因为f（x+1）=x2+4x－5=（x2+2x+1）+（2x+2）－8=（x+1）2+2（x+1）－8，得到的对应函数应为：
f（y）=y2+2y－8．
函数是数学中的重要概念之一，在学习时要从正面、侧面和反面明确符号f（x）的含义和实质．
函数与方程思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：
实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。
而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f（x），就可以看作关于x、y的二元方程f（x）－y＝0。
可以说，函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程
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