高考数学试题分类汇编04三角函数.docx
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高考数学试题分类汇编04三角函数
三角函数
1.(2020·全国卷Ⅱ理2)若α为第四象限角,则()
A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0
2.(2020·全国卷Ⅲ文5)已知sinθ+sin⎛θ+π⎫=1,则sin⎛θ+π⎫=()
ç3⎪ç6⎪
A.12
⎝⎭
B.
33
⎝⎭
C.23
D.
22
3.(2020·全国卷Ⅰ理7、文7)设函数f(x)=cos(ωx+π)在[-π,π]的图像大致如下图,则f(x)的最小正
6
周期为()
A.
10π9
4π
7π
B.
6
3π
C.
D.
32
4.(2020·天津8)已知函数f(x)=sin⎛x+π⎫.给出下列结论:
ç3⎪
⎝⎭
①f(x)的最小正周期为2π;
ç2⎪
②f⎛π⎫是f(x)的最大值;
⎝⎭
③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
3
其中所有正确结论的序号是
A.①B.①③C.②③D.①②③
5.(2020·全国卷Ⅰ理9)已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,则sinα=()
A.5B.2
33
C.1D.5
3
6.(2020·全国卷Ⅲ理9)已知2tanθ–tan(θ+π
4
9
)=7,则tanθ=()
A.–2B.–1C.1D.2
2
7.(2020·全国卷Ⅲ理7)在△ABC中,cosC=
3
,AC=4,BC=3,则cosB=()
A.19
B.
13
C.
12
2
D.
23
8.(2020·全国卷Ⅲ文11)在△ABC中,cosC=
5
5
3
,AC=4,BC=3,则tanB=()
5
5
A.B.2
C.4
D.8
9.(2020·山东10、海南11)(多选)下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)=()
A.sin(x+π)B.
3
sin(π-2x)3
C.cos(2x+π)D.
6
cos(5π-2x)6
10.(2020·江苏8)已知sin2(π
4
+α)
=2,则sin2α的值是.
3
π
11.(2020·浙江13)已知tanθ=2,则cos2θ=;tan(θ-
2
)=.
4
12.(2020·全国卷Ⅱ文13)若sinx=-,则cos2x=.
3
13.(2020·江苏10)将函数y=3sin(2xπ)的图象向右平移π个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近
﹢
46
的对称轴的方程是.
14.(2020·北京14)若函数f(x)=sin(x+ϕ)+cosx的最大值为2,则常数ϕ的一个取值为.
3
15.(2020·全国卷Ⅰ理16)如图,在三棱锥P–ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,AB⊥
AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=.
16.(2020·山东15、海南16)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形
DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=3,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和
5
EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2.
7
17.(2020·全国卷Ⅰ文18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
(1)
3
若a=
c,b=2
,求ABC的面积;
(2)若sinA+
sinC=2,求C.
3
2
13
18.(2020·天津16)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=22,b=5,c=.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求sinA的值;
(Ⅲ)求sin⎛2A+π⎫的值.
ç4⎪
⎝⎭
19.(2020·全国卷Ⅱ文17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
5
cos2(π+A)+cosA=.
24
(1)求A;
(2)若b-c=
3a,证明:
△ABC是直角三角形.
3
20.(2020·全国卷Ⅱ理17)ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.
(1)求A;
(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.
21.(2020·浙江18)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsinA=
3a.
(I)求角B;
(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围.
22.(2020·江苏16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=
(1)求sinC的值;
(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-4,求tan∠DAC的值.
5
2,B=45︒.
23.(2020·北京17)在ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知,求:
(Ⅰ)a的值:
1
(Ⅱ)sinC和ABC的面积.
条件①:
c=7,cosA=-;
7
19
条件②:
cosA=
cosB=.
816
注:
如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
3
24.(2020·山东17、海南17)在①ac=,②csinA=3,③c=
3b这三个条件中任选一个,补充在下
面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:
是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA
?
注:
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
π
3sinB,C=6,
三角函数参考答案
1.【答案】D
【解析】方法一:
由α为第四象限角,可得3π
2
所以3π+4kπ<2α<4π+4kπ,k∈Z
+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z,
此时2α的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上,所以sin2α<0
故选:
D.
方法二:
当α
π时,cos2α=cos⎛-π⎫>0,选项B错误;
=-6ç3⎪
⎝⎭
π
当α时,cos2α=cos⎛-2π⎫<0,选项A错误;
=-3ç3⎪
⎝⎭
由α在第四象限可得:
sinα<0,cosα>0,则sin2α=2sinαcosα<0,选项C错误,选项D正确;故选:
D.
2.【答案】B
【解析】由题意可得:
sinθ+1sinθ+
3cosθ=1,
22
则:
3sinθ+3cosθ=1,3sinθ+1cosθ=3,
22223
从而有:
sinθcosπ+cosθsinπ=3,
663
⎛π⎫3
6
即sinçθ+⎪=.
⎝⎭3
故选:
B.
3.【答案】C
【解析】由图可得:
函数图象过点⎛-4π,0⎫,
ç9⎪
⎝⎭
将它代入函数f(x)可得:
cos⎛-4π⋅ω+π⎫=0
ç96⎪
⎝⎭
又⎛-4π,0⎫是函数f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点,
ç9⎪
⎝⎭
4πππ3
所以-⋅ω+=-,解得:
ω=
962
2
T=2π=2π=4π
所以函数f(x)的最小正周期为
故选:
C
ω33
2
4.【答案】B
【解析】因为f(x)=sin(x+
π2π
π
3),所以周期T=ω=2,故①正确;
πππ5π1
f()=sin(+)=sin=≠1,故②不正确;
22362
将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π个单位长度,得到y=sin(x+π)的图象,
33
故③正确.故选:
B.
5.【答案】A
【解析】3cos2α-8cosα=5,得6cos2α-8cosα-8=0,
即3cos2α-4cosα-4=0,解得cosα=-2或cosα=2(舍去),
3
又α∈(0,π),∴sinα=
=5.
1-cos2α
3
故选:
A.
6.【答案】D
【解析】2tanθ-tan⎛θ+π⎫=7,∴2tanθ-tanθ+1=7,
ç4⎪
1-tanθ
⎝⎭
1+t
令t=tanθ,t≠1,则2t-=7,整理得t2-4t+4=0,解得t=2,即tanθ=2.
1-t
故选:
D.
7.【答案】A
2
【解析】在ABC中,cosC=,AC=4,BC=3
3
根据余弦定理:
AB2=AC2+BC2-2AC⋅BC⋅cosC
AB2=42+32-2⨯4⨯3⨯2
3
可得AB2=9,即AB=3
AB2+BC2-AC29+9-161
由cosB===
2AB⋅BC2⨯3⨯39
1
故cosB=.
9
故选:
A.
8.【答案】C
【解析】设AB=c,BC=a,CA=b
c2=a2+b2-2abcosC=9+16-2⨯3⨯4⨯2=9∴c=3
3
1-
(1)2
9
45
a2+c2-b21
5
cosB==∴sinB==∴tanB=4
2ac99
故选:
C
9.【答案】BC
T2ππ
2π2π
【解析】由函数图像可知:
=π-=,则ω===2,所以不选A,
2π+π
2362Tπ
5π3π
当x=36
=5π时,y=-1∴2⨯12+ϕ=
+2kπ(k∈Z),
2
212
2
解得:
ϕ=2kπ+
π(k∈Z),
3
即函数的解析式为:
y=sin⎛2x+2π+2kπ⎫=sin⎛2x
ππ⎫=cos⎛2x+π⎫=sin⎛π-2x⎫.
ç3⎪ç
+6+2⎪ç
6⎪ç3⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
而cos⎛2x+π⎫=-cos(5π-2x)
ç6⎪6
⎝⎭
故选:
BC.
1
10.【答案】
3
【解析】
sin2(π+α)=(
2
cosα+
2sinα)2=1(1+sin2α)
4222
∴1(1+sin2α)=2∴sin2α=1233
1
故答案为:
3
22cos2θ-sin2θ
1-tan2θ
1-223
11.【解析】cos2θ=cos
θ-sin
θ=cos2θ+sin2θ=1+tan2θ=1+22=-5,
tan(θ-π
)=tanθ-1=2-1=1,
41+tanθ
31
1+23
故答案为:
-,
53
1
12.【答案】
9
【解析】cos2x=1-2sin2x=1-2⨯(-2)2=1-8=1.
399
1
故答案:
.
9
5π
13.【答案】x=-
24
πππ
【解析】y=3sin[2(x-)+]=3sin(2x-)
6412
2x-ππ
7πkπ
=+kπ(k∈Z)∴x=+
122242
5π
当k=-1时x=-
24
5π
故答案为:
x=-
24
(k∈Z)
p
14.【答案】
2
(2kπ+π
2
k∈Z均可)
cos2ϕ+(sinϕ+1)2
【解析】因为f(x)=cosϕsinx+(sinϕ+1)cosx=sin(x+θ),
所以
p
故答案为:
2
(2kπ+π
2
1
=2,解得sinϕ=1,故可取ϕ=π.
cos2ϕ+(sinϕ+1)2
2
k∈Z均可).
15.【答案】-
4
3
【解析】AB⊥AC,AB=,AC=1,
AB2+AC2
由勾股定理得BC=
=2,
6
6
同理得BD=,∴BF=BD=,
3
在△ACE中,AC=1,AE=AD=,∠CAE=30
=1+
由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC⋅AEcos30
∴CF=CE=1,
6
在BCF中,BC=2,BF=,CF=1,
,
3-2⨯1⨯
3⨯3=1,
2
CF2+BC2-BF21+4-61
由余弦定理得cos∠FCB===-.
1
故答案为:
-.
4
2CF⋅BC
2⨯1⨯24
16.【解析】设OB=OA=r,由题意AM=AN=7,EF=12,所以NF=5,因为AP=5,所以∠AGP=45︒,
因为BH//DG,所以∠AHO=45︒,
因为AG与圆弧AB相切于A点,所以OA⊥AG,即△OAH为等腰直角三角形;
在直角△OQD中,OQ=5-
2r,DQ=7-
2
2r,
2
因为tan∠ODC=OQ=3,所以21-32r=25-52r,
DQ522
解得r=22;
2
1
2
等腰直角△OAH的面积为S1=2⨯22⨯2
=4;
()2
13π
扇形AOB的面积S=⨯⨯22
24
=3π,
15π
所以阴影部分的面积为S1+S2-2π=4+2.
5π
故答案为:
4+.
2
17.【解析】
(1)由余弦定理可得b2=28=a2+c2-2ac⋅cos150︒=7c2,
3
1
∴c=2,a=23,∴△ABC的面积S=2acsinB=;
A+C=
(2)30︒,
∴sinA+
3sinC=sin(30︒-C)+
3sinC
=1cosC+3sinC=sin(C+30︒)=2,
222
0︒∴C+30︒=45︒,∴C=15︒.
18.
13
【解析】(Ⅰ)在ABC中,由a=22,b=5,c=及余弦定理得
2
a2+b2-c28+25-13
2⨯22⨯5
cosC===,
2ab2
π
4
又因为C∈(0,π),所以C;
asinC
22⨯2
π
4
13
(Ⅱ)在ABC中,由C,a=22,c=及正弦定理,可得sinA==2=
213;
13
(Ⅲ)由a13
c13
1-sin2A
=313,
13
进而sin2A=2sinAcosA=12,cos2A=2cos2A-1=5,
1313
所以sin(2A+π)=sin2Acosπ+cos2Asinπ
=12⨯
2+5⨯
2=172.
44413213226
19.【解析】
(1)因为cos2⎛π+A⎫+cosA=5,所以sin2A+cosA=5,
ç2⎪44
⎝⎭
即1-cos2A+cosA=5,
4
1
解得cosA=,又02
p
所以A=;
3
πb2+c2-a21
(2)因为A=,所以cosA==,
3
即b2+c2-a2=bc①,
2bc2
又b-c=
3a②,将②代入①得,b2+c2-3(b-c)2=bc,
3
即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,解得b=2c,
所以a=
3c,
故b2=a2+c2,
即ABC是直角三角形.
20.【解析】
(1)由正弦定理可得:
BC2-AC2-AB2=AC⋅AB,
AC2+AB2-BC21
∴cosA==-,
2AC⋅AB2
A∈(0,π),∴A=2π
3
(2)由余弦定理得:
BC2=AC2+AB2-2AC⋅ABcosA=AC2+AB2+AC⋅AB=9,即(AC+AB)2-AC⋅AB=9.
AC⋅AB≤⎛
ç
⎝
AC+AB⎫2
2
⎪(当且仅当AC=AB时取等号),
⎭
22⎛AC+AB⎫232
⎪
∴9=(AC+AB)-AC⋅AB≥(AC+AB)-ç
=(AC+AB),
24
解得:
AC+AB≤2
⎝⎭
3
(当且仅当AC=AB时取等号),
3
∴ABC周长L=AC+AB+BC≤3+2
,∴ABC周长的最大值为3+23.
21.【解析】(I)由2bsinA=
3a结合正弦定理可得:
2sinBsinA=
p
3
sinA,∴sinB=3
2
△ABC为锐角三角形,故B=.
3
(II)结合
(1)的结论有:
cosA+cosB+cosC=cosA+1+cos⎛2π-A⎫
2ç3⎪
⎝⎭
=cosA-1cosA+3sinA+1=3sinA+1cosA+1
222
=sin⎛A+π⎫+1.
222
ç6⎪2
⎝⎭
⎧0<2π-A<π
⎪32
π
由⎨
⎪0⎪⎩2
ππππ2π
可得:
62363
sin⎛A+π⎫∈⎛3⎤
⎛π⎫1
⎛3+13⎤
则ç3⎪ç
2,1⎥,sinçA+3⎪+2∈ç
2,2⎥.
⎝⎭⎝⎦⎝⎭⎝⎦
即cosA+cosB+cosC的取值范围是⎛3+1,3⎤.
ç22⎥
⎝⎦
22.【解析】
(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=9+2-2⨯3⨯
2⨯2=5,所以b=.
5
2
由正弦定理得c
=b⇒sinC=csinB=5.
sinCsinBb5
(2)由于cos∠ADC=-4,∠ADC∈⎛π,π⎫,所以sin∠ADC=
=3.
1-cos2∠ADC
5ç2⎪5
⎝⎭
1-sin2C
25
由于∠ADC∈⎛π,π⎫,所以C∈⎛0,π⎫,所以cosC==
ç2⎪ç2⎪
⎝⎭⎝⎭5
所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)
=sin∠ADC⋅cosC+cos∠ADC⋅sinC=3⨯25+⎛-4⎫⨯
5=25.
55ç5⎪525
由于∠DAC∈⎛0,π⎫,所以cos∠DAC=
⎝⎭
1-sin2∠DAC
15
=1.
ç2⎪
⎝⎭25
sin∠DAC2
所以tan∠DAC==.
cos∠DAC11
23.【解析】选择条件①(Ⅰ)
c=7,cosA=-1,a+b=11
7
∴a=8
+c2-2bccosA∴a2=(11-a)2+72-2(11-a)⋅7⋅(-1)
a2=b2
7
(Ⅱ)
cosA=-1,A∈(0,π)∴sinA=
=43
1-cos2A
77
a
由正弦