(1)求证:
n+4m=0;
(2)求m,n的值;
(3)当p﹥0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时,求二次函数的最大值.
9.已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2);(x1<x2)
(1)当k=1,m=0,1时,求AB的长;
(2)当k=1,m为任何值时,猜想AB的长是否不变?
并证明你的猜想.
(3)当m=0,无论k为何值时,猜想△AOB的形状.证明你的猜想.
(平面内两点间的距离公式
).
10.如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,经过O,C两点做抛物线y1=ax(x﹣t)(a为常数,a>0),该抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:
y2=kx(k为常数,k>0)
(1)填空:
用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:
A ,k ;
(2)随着三角板的滑动,当a=时:
①请你验证:
抛物线y1=ax(x﹣t)的顶点在函数y=-0.25x2的图象上;
②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;
(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2﹣y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.
11.已知:
函数y=ax2-(3a+1)x+2a+1(a为常数).
(1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点,求a的值;
(2)若该函数图象是开口向上的抛物线,与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴相交于点C,
且x2-x1=2.
①求抛物线的解析式;
②作点A关于y轴的对称点D,连结BC,DC,求sin∠DCB的值.
12.如图①,一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A,B两点,点A,B的横坐标分别为m,n(m<0,n>0).
(1)当m=﹣1,n=4时,k= ,b= ;
当m=﹣2,n=3时,k= ,b= ;
(2)根据
(1)中的结果,用含m,n的代数式分别表示k与b,并证明你的结论;
(3)利用
(2)中的结论,解答下列问题:
如图②,直线AB与x轴,y轴分别交于点C,D,点A关于y轴的对称点为点E,连接AO,OE,ED.
①当m=﹣3,n>3时,求的值(用含n的代数式表示);
②当四边形AOED为菱形时,m与n满足的关系式为 ;
当四边形AOED为正方形时,m= ,n= .
13.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为A(h,k)(h≠0).
(1)当h=1,k=2时,求抛物线的解析式;
(2)若抛物线y=tx2(t≠0)也经过A点,求a与t之间的关系式;
(3)当点A在抛物线y=x2﹣x上,且﹣2≤h<1时,求a的取值范围.
参考答案
1.
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5.
6.
7.解:
(1)将A(0,-4)、B(-2,0)代入抛物线y=0.5x2+bx+c中,得:
0+c=-412×4-2b+c=0,解得:
b=-1c=-4∴抛物线的解析式:
y=0.5x2-x-4.
(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为:
y=0.5(x+m)2-(x+m)-4+3.5,
即:
y=0.5x2+(m-1)x+0.5m2-m-0.5;它的顶点坐标P:
(1-m,-1);
由
(1)的抛物线解析式可得:
C(4,0);那么直线AB:
y=-2x-4;直线AC:
y=x-4;
当点P在直线AB上时,-2(1-m)-4=-1,解得:
m=2.5;
当点P在直线AC上时,(1-m)-4=-1,解得:
m=-2;
∴当点P在△ABC内时,-2<m<2.5;
又∵m>0,∴符合条件的m的取值范围:
0<m<2.5.
(3)由A(0,-4)、B(4,0)得:
OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形;
如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°;
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,即∠ONB=∠OMB;
如图,在△ABN、△AM1B中,∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,
∴△ABN∽△AM1B,得:
AB2=AN•AM1;易得:
AB2=(-2)2+42=20,AN=OA-ON=4-2=2;
∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6;
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2.
综上,AM的长为6或2.
8.
9.
(3)当m=0,k为任意常数时,△AOB为直角三角形,理由如下:
①当k=0时,则函数的图象为直线y=1,
由y=x2,y=1,得A(﹣1,1),B(1,1),显然△AOB为直角三角形;
②当k=1时,则一次函数为直线y=x+1,
由y=x2,y=x+1,得x2﹣x﹣1=0,∴x1+x2=1,x1x2=﹣1,
∴AB=AC=|x2﹣x1|=
=,∴AB2=10,
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+(x1+1)2+(x2+1)2
=x12+x22+(x12+2x1+1)+(x22+2x2+1)=2(x12+x22)+2(x1+x2)+2=2(1+2)+2×1+2=10,
∴AB2=OA2+OB2,∴△AOB是直角三角形;
③当k为任意实数,△AOB仍为直角三角形.
由y=x2,y=kx+1,得x2﹣kx﹣1=0,∴x1+x2=k,x1x2=﹣1,
∴AB2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2=(x1﹣x2)2+(kx1﹣kx2)2=(1+k2)(x1﹣x2)2
=(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1x2]=(1+k2)(4+k2)=k4+5k2+4,
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+(kx1+1)2+(kx2+1)2
=x12+x22+(k2x12+2kx1+1)+(k2x22+2kx2+1)=(1+k2)(x12+x22)+2k(x1+x2)+2
=(1+k2)(k2+2)+2kk+2=k4+5k2+4,∴AB2=OA2+OB2,∴△AOB为直角三角形.
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