课时18二次函数的应用.docx

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课时18二次函数的应用

课时18．二次函数的应用

【课前热身】

1.二次函数y=2x2-4x+5的对称轴方程是x=______；当x=_____时，y有最小值是______.

2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，

现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图），则此抛物线

的解析式为_______________.

3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到

了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数

关系是（）

A．y=x2+aB．y=a（x-1）2C．y=a（1-x）2D．y=a（l+x）2

4.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y．则当y最大时，x所取的值是（）

A．0.5　B．0.4　C．0.3　D．0.6

5.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有两个交点，则k的取值范围是（）

A.k＞-

B.k≥-

C.k＞-

且k≠0D.k≥-

且k≠0

6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：

①a＞0；②c＞0；③b2-4ac＞0，其中正确的个数是（）

A.0个B.1个C.2个　D.3个

【知识整理】

1.二次函数与一元二次方程的关系：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程中b2-4ac来判定：

（1）b2-4ac＞0

抛物线与x轴有2个交点；

（2）b2-4ac=0

抛物线与x轴只有1个交点，此交点即顶点；

（3）b2-4ac＜0

抛物线与x轴没有交点.

2.二次函数与日常生活、自然、体育、科学技术有密切联系.应用二次函数知识解决实际生活问题时，首先要考虑“四方面”（与x轴的交点、对称轴、与y轴的交点、顶点），然后充分发挥“形”的直观作用和“数”的关系，由数思形，由形定数，数形结合.

【例题讲解】

例1华联商场以每件30元购进一种商品，试销售中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数y=162-3x；

（1）写出商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式；

（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少元时最合适？

最大销售利润为多少？

例2橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

例3某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有的黑线的长度和）为16m.求出y与x的关系式；当x等于多少时，窗户通过的光线最多？

此时，窗户的面积S是多少？

【中考演练】

1．已知，抛物线y=x2-2x，它与x轴的交点坐标为____________________.

2.已知，抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c=_____.

3.无论x取何值，抛物线y=（k+1）x2+2x-3的函数值恒为负，则k的取值范围是_________.

4.若抛物线y=-x2-2x+m的顶点在x轴上，那么m=____.

5.二次函数y=x2+10x-5的最小值为_________.

6.矩形周长为16cm,它的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间函数关系为______.

7.某飞机着陆后滑行的路程s米与时间t秒的关系式为：

s=60t-1.5t2，试问飞机着陆后滑行________米才能停止.

8.将一张边长为30cm的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体.当x取下面哪个数值时，长方体的体积最大（）

A.7B.6C.5D.4

9.下列函数关系中，是二次函数的是（）

A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系

B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系

C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系

D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系

10.抛物线y=ax2+bx+c（abc≠0）的图象过（1，0），则

+

+

的值是（）A.-3B.3C.0.5D.-0.5

11.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）

x

6.17

6.18

6.19

6.20

y=ax2+bx+c

-0.03

-0.01

0.02

0.04

A.6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20

12.如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE.要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？

为什么？

13.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管如图做成的立柱，为了计算所需不锈钢立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）计算所需不锈钢管的总长度.

14.体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物

的一部分，根据关系式回答：

（1）该同学的出手最大高度是多少？

（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？

（3）该同学的成绩是多少？

（精确到0.1米）

15.某跳水队员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线，（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面10

米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误，

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3

米，问此次跳水会不会出现失误并通过计算说明理由.

2011年中考题精选

1.（2011广东株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为

轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：

米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）

A．4米B．3米C．2米D．1米

2.（2011广西梧州）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－

x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是

（A）y=－

x2+

x+1（B）y=－

x2+

x－1

（C）y=－

x2－

x+1（D）y=－

x2－

x－1

3.（2011安徽）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）

A．B．C．D．

4.（2011甘肃兰州）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是（）

A．B．C．D．

5.（2011湖南岳阳）如图，边长都是1的正方形和正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平线自左向右匀速穿过正方形．设穿过的时间为t，正方形与三角形重叠部分的面积为S（空白部分），那么S关于t的函数大致图象为（）

6.（2011湖南怀化）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，则当x=________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大.

7.（2011云南玉溪，15，3分）如图，点A1、A2、A3、……An在

上，点B1、B2、B3、……Bn在x轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、……、△AnBn-1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2011B2010B2011的腰长=________.

8.（2011广西百色）如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦AB=6cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y=AE²－EF²,则y与动点F的运动时间x（0≤x≤6）秒的函数关系式为.

9.（2011海南省）如图，已知抛物线

（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E，其顶点M在第一象限．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．

①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；

②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；

③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？

请判断并说明理由．

10.（2011江西）已知：

抛物线

的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）.

（1）直接写出抛物线对称轴方程；

（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；

（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？

若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由.

11.（2011湖南岳阳）九

（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：

（1）实践：

他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．

（2）应用：

按规定机动车辆通过隧道时，车顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？

（3）探究：

该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题：

请予解答：

Ⅰ．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．

Ⅱ．如图④，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？

若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

12.（2011湖北省随州市）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售。

当地政府对该特产的销售投资收益为：

每投产x万元，可获得利润P=－

（x—60）2+41（万元）。

当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：

在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售。

在外地销售的投资收益为：

每投产x万元，可获得利润P=－

（100—x）2+

（100—x）+160（万元）。

（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根据

（1）、

（2），该方案是否具有实施价值？