精选人教版九年级数学下册专题讲解比例式或等积式的技巧附6套中考卷.docx

精选人教版九年级数学下册专题讲解比例式或等积式的技巧附6套中考卷.docx

《精选人教版九年级数学下册专题讲解比例式或等积式的技巧附6套中考卷.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精选人教版九年级数学下册专题讲解比例式或等积式的技巧附6套中考卷.docx（73页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

精选人教版九年级数学下册专题讲解比例式或等积式的技巧附6套中考卷

专训2　证比例式或等积式的技巧

名师点金：

证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．

构造平行线法

1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F.

求证：

AE·CF＝BF·EC.

（第1题）

2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F.

求证：

AB·DF＝BC·EF.

（第2题）

三点定型法

3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.

求证：

＝.

（第3题）

4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.

求证：

AM2＝MD·ME.

（第4题）

构造相似三角形法

5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.

求证：

BP·CP＝BM·CN.

（第5题）

等比过渡法

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.

求证：

（1）△DEF∽△BDE；

（2）DG·DF＝DB·EF.

（第6题）

7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.

求证：

CE2＝DE·PE.

（第7题）

.两次相似法

8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.

求证：

＝.

（第8题）

9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：

（1）△AMB∽△AND；

（2）＝.

（第9题）

等积代换法

10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求证：

＝.

（第10题）

等线段代换法

11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.

求证：

BP2＝PE·PF.

（第11题）

12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.

求证：

PD2＝PB·PC.

（第12题）

答案

1．证明：

如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.

∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.

∴＝.

又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴＝.

∵D为AB的中点，∴BD＝AD.

∴＝.∴＝，

即AE·CF＝BF·EC.

（第1题）

　　（第2题）

2．证明：

如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，

易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.

∴＝，＝.

∵AD＝CE，∴＝.∴＝，

即AB·DF＝BC·EF.

点拨：

过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．

3．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AE∥DC.

∴∠CDF＝∠E.

∴△FCD∽△DAE.∴＝.

4．证明：

∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，

∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.

∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.

又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，

∴BM＝AM.

∴∠B＝∠BAM.

∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D.

又∵∠AME＝∠DMA.

∴△AME∽△DMA.

∴＝，即AM2＝MD·ME.

（第5题）

5．证明：

如图，连接PM，PN.

∵MN是AP的垂直平分线，

∴MA＝MP，

NA＝NP.

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

又∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.

∴∠2＋∠4＝60°.

∴∠5＋∠6＝120°.

又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，

∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.

∴＝，即BP·CP＝BM·CN.

6．证明：

（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，

∴∠ACB＋∠FED＝180°，∠ABC＋∠EDB＝180°.

∴∠FED＝∠EDB.

又∵∠EDF＝∠DBE，

∴△DEF∽△BDE.

（2）由△DEF∽△BDE得＝，即DE2＝DB·EF.

又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.

∵∠GDE＝∠EDF，

∴△GDE∽△EDF.

∴＝，即DE2＝DG·DF.

∴DG·DF＝DB·EF.

7．证明：

∵BG⊥AP，PE⊥AB，

∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°.

∴∠P＋∠PAB＝90°，

∠PAB＋∠ABG＝90°.

∴∠P＝∠ABG.

∴△AEP∽△DEB.

∴＝.即AE·BE＝PE·DE.

又∵∠CEA＝∠BEC＝90°，

∴∠CAB＋∠ACE＝90°.

又∵∠ACB＝90°，

∴∠CAB＋∠CBE＝90°.

∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.

∴＝，即CE2＝AE·BE.

∴CE2＝DE·PE.

8．证明：

由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°.

∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE.

∴△BDF∽△BAE.∴＝.

∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.

∴△ABC∽△DBA.∴＝.

∴＝.

9．证明：

（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D.

∵AM⊥BC，AN⊥CD，

∴∠AMB＝∠AND＝90°.

∴△AMB∽△AND.

（2）由△AMB∽△AND得＝，∠BAM＝∠DAN.

又∵AD＝BC，∴＝.

∵AM⊥BC，AD∥BC，

∴∠MAD＝∠AMB＝90°.

∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°.∴∠B＝∠MAN.

∴△AMN∽△BAC.∴＝.

10．证明：

∵AD⊥BC，DE⊥AB，

∴∠ADB＝∠AED＝90°.

又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ABD∽△ADE.[:

Z§xx§k]

∴＝，即AD2＝AE·AB.

同理可得AD2＝AF·AC.

∴AE·AB＝AF·AC.∴＝.

11．证明：

连接PC，如图所示．

（第11题）

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB.

∴BP＝CP.∴∠1＝∠2.

∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，

即∠3＝∠4.

∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.

又∵∠CPF＝∠CPE，

∴△CPF∽△EPC.

∴＝，即CP2＝PF·PE.

∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.

12．证明：

如图，连接PA，

（第12题）

∵EP是AD的垂直平分线，

∴PA＝PD.

∴∠PDA＝∠PAD.

∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.

又∵∠APC＝∠BPA，

∴△PAC∽△PBA.∴＝.

即PA2＝PB·PC.

∵PA＝PD，∴PD2＝PB·PC.

中考数学模拟试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．ax2+bx+c=0B．x2+2x=x2﹣1C．（x﹣1）（x﹣3）=0D．=2

2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）

A．y=3x﹣1B．y=ax2+bx+cC．s=2t2﹣2t+1D．y=x2+

3．方程x（x+3）=x+3的根为（　　）

A．x=﹣3B．x=1C．x1=1，x2=3D．x1=1，x2=﹣3

4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下B．对称轴是x=﹣1

C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点

5．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（　　）

A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．无法确定

7．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）

A．y=3（x﹣1）2﹣2B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x+1）2+2D．y=3（x﹣1）2+2

8．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（　　）

A．﹣3B．﹣1C．2D．3

9．若x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≤﹣1且k≠0B．k＜﹣1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0

10．某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）

A．50（1+x）2=175B．50+50（1+x）+50（1+x）2=175

C．50（1+x）+50（1+x）2=175D．50+50（1+x）2=175

11．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象上，则下列结论正确的是（　　）

A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1

12．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：

①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④当﹣1＜x＜3时，y＞0

其中正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

13．抛物线y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标是　　．

14．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m=　　．

15．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是　　．

16．抛物线y=a（x+1）2经过点（﹣2，1），则a=　　．

17．2013年中国足球超联赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，已知全年共举行比赛210场，则参加比赛的队伍共有　　支．

18．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为　　．

三、解答题（共8题，共72分）

19．解方程：

（1）x2+2x﹣7=0；

（2）2（x﹣3）2=5（3﹣x）．

20．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

21．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．

（1）请直接写出与点B关于坐标原点O的对称点B1的坐标；

（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出对应的△A′B′C′图形；

（3）若四边形A′B′C′D′为平行四边形，请直接写出第四个顶点D′的坐标．

22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若使商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？

（