高思导引四年级的的第十九讲格点与割补教师版doc.docx

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高思导引四年级的的第十九讲格点与割补教师版doc

第19讲格点与割补

内容概述

明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规

则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式.

典型问题

兴趣篇

1．图19-l中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?

答案：

4平方厘米2平方厘米8平方厘米

L

【分析】方法：

正方形格点阵中多边形面积公式：

（N+-1）×单位正方形

面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：

（0+10÷2-1）×1=4（平方厘米）

有N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：

（1+4÷2-1）×1=2（平方厘米）

有N=5，L=8，则用粗线围成图形的面积为：

（5+8÷2-1）×1=8（平方厘米）

2．图19-2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?

答案：

5平方厘米5平方厘米0.5平方厘米

【分析】方法：

正方形格点阵中多边形面积公式：

（N+L-1）×单位正方形

2

面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：

（4+4÷2-1）×1=5（平方厘米）

有N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：

（4+4÷2-1）×1=5（平方厘米）

有N=0，L=3，则用粗线围成图形的面积为：

（0+3÷2-1）×1=0.5（平方厘米）

3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米?

答案：

19平方厘米

【分析】方法：

交点组成了正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公式：

（N+L-1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

2

有N=7，L=17，则用粗线围成图形的面积为：

（7+7÷2-1）×2=19（平方厘米）

4．图19-4是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米．三个

多边形的面积分别为多少平方厘米?

答案：

6平方厘米6平方厘米14平方厘米

【分析】方法：

正三角形方形格点阵中多边形面积公式：

（2N+L-2）x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=0，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为：

（0×2+8-2）×1=6（平方厘米）．

有N=2，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：

（2×2+4-2）×1=6（平方厘米）．

有N=4，L=7，所以用粗线围成的图形的面积为：

（4×2+7-2）×1=14（平方厘米）．

5．如图19-5所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD和三角

形EFG的面积分别是多少平方厘米?

答案：

20平方厘米10平方厘米

【分析】方法：

正三角形方形格点阵中多边形面积公式：

（2N+L-2）x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：

（9×2+4-2）×1=20（平方厘

米）．

有N=4，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：

（4×2+4-2）×1=10（平方厘

米）．

6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．（单位：

厘米）

答案：

32平方厘米

【分析】3×2+2×4+（5-2）×（3+1+2）=32

7．如图19-7所示，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积．

答案：

16平方厘米

【分析】先算正方形面积6×6=36再算左上角和右下角三角形面积2×2÷2×2=4后算

左下角和右上角三角形面积4×4÷2×2=1636-4-16=16

8．如图19-8所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边

形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?

答案：

25平方厘米

【分析】S平行四边形CDEF=DC×BC=5×7=35，HC=BC-BH=7-3=4，所以SVCDH=1×CD×HC=1×5×4=10．

22

S阴影=S平行四边形CDEF-SVCDH=35-10=25（平方厘米）.

9．如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方

形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：

阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?

图中

答案：

50平方厘米

【分析】如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A、B两种三角形．

其中含有A形三角形8个，B形三角形16个，其中阴影部分含有A形三角形4个，B形三角形8个．

所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的1，即为

2

1×10×10=50（平方厘米）．

2

10．在图19-10中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积．

答案：

14平方厘米

【分析】方法：

转化为正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公式：

（N+L-1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

2

有N=3，L=3，则用粗线围成图形的面积为：

（3+3÷2-1）×4=14（平方厘米）

拓展篇

1.图19-11中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l平方厘米．这三个多边形

的面积分别是多少平方厘米?

答案：

7.5平方厘米6.5平方厘米9平方厘米

【分析】方法：

正方形格点阵中多边形面积公式：

（N+L-1）×单位正方形

2

面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=4，L=9，则用粗线围成图形的面积为：

（4+9÷2-1）×1=7.5（平方厘米）

有N=3，L=9，则用粗线围成图形的面积为：

（3+9÷2-1）×1=6.5（平方厘米）

有N=4，L=12，则用粗线围成图形的面积为：

（4+12÷2-1）×1=9（平方厘米）

2.

（1）图19-12

中每个小正方形的面积是

2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米

?

（2）图19-13

中每个小正三角形的面积是

4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米

?

答案：

17平方厘米56平方厘米

【分析】方法：

正方形格点阵中多边形面积公式：

（N+L-1）×单位正方形

2

面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=3，L=13，则用粗线围成图形的面积为：

（3+13÷2-1）×2=17（平方厘米）【分析】方法：

正三角形方形格点阵中多边形面积公式：

（2N+L-2）x单位正

三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=4，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为：

（4×2+8-2）×4=56（平方厘米）．

3．图19-14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?

答案：

14平方厘米

【分析】方法：

可用公式先算出整个图形的面积，在减去中间空白部分的

面积。

正方形格点阵中多边形面积公式：

（N+L-1）×单位正方形面积，其中N

2

为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=21，L=8，则用粗线围成图形的面积为：

（21+8÷2-1）×1=24（平方厘米）

有N=5，L=12，则用粗线围成图形的面积为：

（5+12÷2-1）×1=10（平方厘米）

24-10=14平方厘米

4．如图19-15和图19-16，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些

分点．已知图19-15中阴影部分的面积是294平方分米．请问：

图19-16中的阴影部分的面积是多少平方分米?

答案：

200平方分米

【分析】在图19-15中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5，所以原正三角形的面积为24.5×25=612.5（平方分米）．

而在图19-16中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为612.5÷49×16=200（平方分米）．

5．如图19-17，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是

36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?

答案：

32平方厘米

【分析】在A中做一条对角线，三角形会被平分为4部分，整个三角形面积为

72，在

B

中连接两条对角线，整个图形被分为9部分，B占四部分。

36×2=72

72÷9×4=32

6．如图19-18所示，正六边形

点，P是EF中点．请问：

三角形

ABCDEF

MNP

的面积是6平方厘米，

的面积是多少平方厘米?

M是

AB

中点，N

是

CD

中

答案：

2.25平方厘米

【分析】如下图，我们将图19-18分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形．

正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为

6÷24=1

，所

以三角形MNP的面积为9×1

4

=2.25（平方厘米）．

4

7．图19-19中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米．阴影部分的面积是多少

平方厘米?

答案:

18平方厘米

【分析】先算两个正方形面积4×4+6×6=52,再算两个空白三角形面积

（4+6）÷2=20最后算左上角小阴影三角形面积4×（6-4）÷2=4

6×6÷2=18

4×

52-18-20+4=18

8．图

19-20

中，三角形

ABC

和

DEF

是两个完全相同的等腰直角三角形，其中

DF

长9厘

米，CF长3厘米，求阴影部分的面积．

答案：

27平方厘米

【分析】如图（a），将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．

△ABC占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有

SVABC=9×9÷2=40.5（平方厘米），所以阴影部分的面积为

6个小等腰三角形，

40.5÷9×6=27（平方

厘米）

9．图

米，A

19-21是一个边长为l米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬”

为上底的中点，B为下底的中点，线段AB恰好是梯形的高，长为

．梯形的上底长0.5米，CD

1.5

长为

0.3米．图中阴影部分的面积是多少平方米

?

17

答案：

平方米

【分析】：

将下图中一些点标上字母．延长AB交正方形边EF于H点

我们先求出梯形JICK与正方形IFEC的面积和，再求出三角形AFH与梯形AHED的面积和，将前者与后者做差所得到的值即为所求阴影部分的面积

1

S梯形JICK=×（1.5+1）×0.5=0.625，

S正方形IFEC=1×1=1．

SVAFH=1

×AH×FH=1×（AB+BH）×（1FE）=

1

×（0.5+1）-（1

×1）=0.375，

2

2

2

2

2

S

=1

×（AH+DE）×HE=1

×（AB+BH+CE-CD）×（1

FE）=1×

梯形AHED

2

2

2

2

（0.5+1+1-1）×（1×1）=13

．

3

2

24

有S阴影=S梯形

JICK

+正方形

IFEC

-

SVAFH-

S梯形

AHED

=0.625+l-0.375-

13

=17（平方

S

24

24

米）．

即阴影部分的面积为17平方米．

24

10．在图19-22中，每一个小正方形的面积都是1平方厘米．用粗线围成的图形面积是多少平方厘米?

答案：

6.5平方厘米

【分析】正方形格点阵中多边形面积公式：

（N+L-1）×单位正方形面积，

2

其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：

（4+7-1）×1=6.5（平方厘米）2

11．如图19-23，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积．

答案：

38平方厘米

【分析】先算每个小正方形面积：

96÷（6×8）=2平方厘米。

正方形格

点阵中多边形面积公式：

（N+L-1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，2

L为图形周界上格点数．

有N=8，L=21，则用粗线围成图形的面积为：

（8+24÷2-1）×2=38（平方厘米）

12．如图19-24，每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘

米?

答案：

17平方厘米

【分析】正三角形方形格点阵中多边形面积公式：

（2N+L-2）x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有

N=6，L=7，所以用粗线围成的图形的面积为：

（6×2+7-2）×1=17（平方厘米

）．

超越篇

1．图

19-25

中每个小正方形的边长为

1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米

?

答案：

34平方厘米

【分析】大面积减小面积：

（41+16-1）-（19+12-1）=34（平方厘米）

2

2

2．如图19-26，平面上有16个点，相邻两点间隔为1厘米．在每个点都钉上钉子，形成4

行4列的正方形钉阵．现在有许多皮筋，请问：

可以套出多少种不同面积的三角形?

（面积相

同但形状不同的三角形算一种）

答案：

9种

【分析】由小到大，共9种。

3．已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图19-27中不同方式切割（切割点均为等分点），

形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?

答案：

18平方厘米54平方厘米24平方厘米

【分析】把每个图形分割成若干个相同的小正三角形

72÷24×6=18（平方厘米）

72÷24×8=54（平方厘米）

72÷18×6=24（平方厘米）

4.图19-28为一个边长为2厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点．围成的阴影部分的面积为多少平方厘米?

答案：

0.8平方厘米

【分析】2×2÷5=0.8（平方厘米）

5．如图19-29所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米?

（单位：

厘米）

答案：

20平方厘米

【分析】将AD、BC延长交于E，有∠EDC=45°，∠ECD=90°，所以△CDE为等腰直角三角形，有EC=DC．

而∠ECD=45°，∠EAB=90°，所以△ABE也是等腰直角三角形，有EA=AB．

有SVABE=1×AB×EA=49，SVEDC=1×EC×DC=9．

2222

有S四边形ABCD=SVABE-SVEDC=49-9=20．

22

6.如图19-30所示，这个多边形六条边的长度分别是1、2、3、4、5、7．问：

这个图形的

面积最大可能是多少?

答案：

26平方厘米

【分析】5×4+2×3=26（平方厘米）

7．如图19-31，有一个80×100的长方形网格，它的四个顶点分别为

图中每一个小方格的面积都是l，请选出一个合适的格点P，使得三角形

小（不能等于0），那么这个最小的面积是多少?

A、B、C、D．已知

PAC的面积尽可能

答案：

10平方厘米

8．正12边形的边长为1厘米，阴影部分都是正三角形（边长也为l厘米），如图19-32．那么空白部分面积等于多少平方厘米?

答案：

6平方厘米

【分析】将每个正三角形的顶点与正十二边形的中心点连接，并将每两个正三角形顶点顺

次连接，即由一个阴影三角形和两个空白三角形组成一个正方形，面积是

形面积是其中的一半0.5.图形中总共24个空白三角形，即面积为

方厘米）

1，两个空白三角

0.5（242）=6（平