基于PID的倒立摆控制系统设计.docx

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基于PID的倒立摆控制系统设计

摘要

倒立摆装置被公认为是自动控制理论中的典型实验设备，而一阶倒立摆系统为典型的多变量、非线性、自然不稳定系统。

对倒立摆的研究可归结为对非线性、高阶次、不稳定一类系统的研究,其控制方法和思路的研究对一般工业过程有广泛的用途。

本论文主要针对一阶倒立摆系统进行模糊PID控制器设计.首先，对一阶倒立摆设备进行了系统分析，了解其工作机理，硬件结构,软件功能，并以垂直位置为动态稳定点得到这一位置的线性化方程。

其次,对模糊控制技术进行了分析，并对模糊PID控制器进行了详细的研究、设计和总结。

然后，以一阶倒立摆为被控对象，利用MATLAB软件的SIMULINK仿真功能先用常规PID控制算法进行控制；在常规PID控制的基础上设计了模糊参数自适应PID控制器。

模糊参数自适应PID控制器是在PID控制器的基础上对PID参数进行在线修改，增强了PID控制器的自适应性。

当系统受到干扰，模型发生改变时,仿真结果表明了对于一阶倒立摆这一复杂非线性系统，模糊PID控制器比常规PID控制有较强的控制能力.

最后，在仿真设计的基础上,采用MATLAB软件的FUZZY控制工具箱生成模糊PID控制器并将其应用于一阶倒立摆系统的控制上，进行了可行性验证，调试顺利，效果良好。

实验结果表明，对于倒立摆这一较复杂的系统，采用模糊PID控制算法有效.

关键词:

一阶倒立摆;模糊控制;模糊PID控制；PID控制

Abstract

Singleinvertedpendulumisthetypicalmulti—variable,nonlinear,instable，naturallysystem.Thestudiesofsingleinvertedpendulumcanbereferredasinvestigatingaclassificnon-linearityandinstabilitysystem，thewayofcontrolandthethoughtsareusefultogeneralindustrialprocess。

Invertedpendulumdeviceisconsideredastraditionaltesterofautomation。

Inthispaper，itinvestigatedhowtodeviseafuzzyPIDcontrollertoinsuresingleinvertedpendulumoperateright.First，theequipmentofsingleinvertedpendulumisstudied,whichhelptounderstandthemechanism，thestructureofhardwareandtheperformanceofsoftware.Welinerthesystematbalancepositionandgetlinearstateequation.Second，theprincipleofFCisanalyzed,anddetailresearchoffuzzyPIDcontrollerismade。

Then,inordertoapplyfuzzyPIDtothesingleinvertedpendulumsystem，whichisatypical,highlynonlinearandabsolutelyunstabledynamicsystem,weobservethepositionandanglesofthependuluminordertogettherightcontrolrulesheet。

FuzzyPIDwhichisabletocontrolsingleinvertedpendulumatawiderrangethanLQR,especiallywhenisdisturbed，orwhenmodelischanged，theresultofsimulationindicatethatthefuzzyPIDcontrollerstillhasbetterabilityofcontrol.

Last,softwareiscompiledtoapplyfuzzyPIDonsingleinvertedpendulum。

ThetestsonsingleinvertedpendulumsystemindicatethatfuzzyPIDisasimpleandeasywayfornonlinearmulti—variabilitysystem。

Keywords:

singleinvertedpendulum;fuzzycontrol；fuzzyPIDcontrol；PIDcontrol

引言

对倒立摆系统进行研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：

力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来,在倒立摆系统中进行综合应用。

而且倒立摆系统与双足机器人、火箭飞行控制和各类伺服云台的稳定有很大相似性，因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义.倒立摆系统为典型的多变量、非线性、自然不稳定系统。

对倒立摆的研究可归结为对非线性、高阶次、不稳定一类系统的研究，其控制方法和思路的研究对一般工业过程有广泛的用途。

本文将模糊PID控制成功地引入到一阶倒立摆的控制中，并利用MATLAB软件的SIMULINK仿真功能进行控制，其控制性能有了很大的提高。

本文首先引入PID控制，由于PID控制器的整定需要依靠精确的数学模型而且PID参数是固定的，不能在线修改，所以，参数整定时间长且控制效果也不理想，不是控制时间长,就是超调量大,不能统一。

为了解决这个矛盾,改善控制性能，引入了模糊控制.模糊控制不需要精确的数学模型而且动态性能好，完全弥补了传统PID控制器的不足。

但是，模糊控制的输出是不连续的，所以,其静态性能不好。

为了达到前期动态性能和后期静态性能的完美结合，引入了模糊PID控制.模糊PID控制器具有传统PID控制和模糊控制的全部优点，所以将模糊PID控制用于倒立摆，控制性能有了极大提高。

并采用MATLAB软件的FUZZY控制工具箱生成模糊PID控制器并将其应用于一阶倒立摆系统的控制上,进行了可行性验证,调试顺利，效果良好.

第1章绪论

倒立摆的研究具有重要的工程背景[1］:

（1）机器人的站立与行走类似双倒立摆系统,尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术——机器人的行走控制至今仍未能很好解决。

（2）在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态,要不断进行实时控制。

（3）通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球,使它的太阳能电池板一直指向太阳。

（4）侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动.

（5）为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭（多级火箭）,其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。

由于倒立摆系统与双足机器人、火箭飞行控制和各类伺服云台的稳定有很大相似性，因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。

1.1倒立摆分类

倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆,平面倒立摆和复合倒立摆等,倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分,有以下类型的倒立摆：

1）直线倒立摆系列

直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动,在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于,柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节.直线倒立摆系列产品如图1-1所示.

2）环形倒立摆系列

环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件,圆周运动模块有一个自由度,可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式,可以组成很多形式的倒立摆.如图1-2所示。

3）平面倒立摆系列

平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：

一类是XY运动平台，另一类是两自由度SCARA机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。

如图1—3所示

4）复合倒立摆系列

复合倒立摆为一类新型倒立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是2）中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转90度,连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。

按倒立摆的级数来分：

有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆,一级倒立摆常用于控制理论的基础实验,多级倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的级数越高,其控制难度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆.

图1-1直线倒立摆系列

图1—2环形倒立摆系列

图1-3平面倒立摆系列

图1-4复合倒立摆

1。

2倒立摆的特性

虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性：

1）非线性

倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。

也可以利用非线性控制理论对其进行控制。

倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。

2）不确定性

主要是模型误差以及机械传动间隙,各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差,利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。

3）耦合性

倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。

4）开环不稳定性

倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。

5）约束限制

由于机构的限制,如运动模块行程限制，电机力矩限制等。

为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。

1.3倒立摆系统的控制方法综述

对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。

不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法、探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中.各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践，并且可以促成相互间的有机结合。

当前倒立摆的控制方法可分为以下几类：

1。

线性理论控制方法

将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望的控制器.PID控制、状态反馈控制、LQ控制算法是其典型代表.这类方法对一、二级的倒立摆（线性化后误差较小、模型较简单）控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。

但对于像非线性较强、模型较复杂的多变量系统（三、四级以及多级倒立摆）线性系统设计方法的局限性就十分明显，这就要求采用更有效的方法来进行合理的设计。

2.预测控制和变结构控制方法

由于线性控制理论与倒立摆系统多变量、非线性之间的矛盾，使人们意识到针对多变量、非线性对象，采用具有非线性特性的多变量控制解决多变量是非线性系统的必由之路.人们先后开展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。

预测控制是一种优化控制方法，强调的是模型的功能而不是结构。

变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性,但是系统存在颤抖.预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果,但由于控制方法复杂，成本也高,不易在快速变化的系统上实时实现。

3.智能控制方法

在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制、仿人智能控制、拟人智能控制和云模型控制等。

（1）神经网络控制

神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性；也可将Q学习算法和BP神经网络有效结合,实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。

但是神经网络控制方法存在的主要问题是缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择缺乏指导性原则等。

（2）模糊控制

经典的模糊控制器利用模糊集合理论将专家知识或操作人员经验形成的语言规则直接转化为自动控制策略（通常是专家模糊规则查询表），其设计不依靠对象精确的数学模型，而是利用其语言知识模型进行设计和修正控制算法。

常规的模糊控制器的设计方法有很大的局限性，首先难以建立一组比较完善的多维模糊控制规则，即使能凑成这样一组不完整的粗糙的模糊控制规则，其控制效果也是难以保证的。

但是模糊控制结合其他控制方法就可能产生比较理想的效果。

（3）拟人智能控制

模糊控制、神经网络控制等智能控制理论的问世，促进了当代自动控制理论的发展，然而，基于这些智能控制理论所设计的系统往往需要庞大的知识库和相应的推理机，不利于实现实时控制.这又阻碍了智能控制理论的发展,因此，又有学者提出了一种新的理论—-拟人控制理论.拟人智能控制的核心是“广义归约”和“拟人”。

“归约”是人工智能中的一种问题求解方法。

这种方法是将待求解的复杂问题分解成复杂程度较低的若干问题集合，再将这些集合分解成更简单的集合，依此类推，最终得到一个本原问题集合，即可以直接求解的问题，另一核心概念是“拟人”，其含义是在控制规律形成过程中直接利用人的控制经验、直觉以及推理分析。

（4）仿人智能控制

仿人智能控制的基本思想是通过对人运动控制的宏观结构和手动控制行为的综合模仿,把人在控制中的“动觉智能"模型化，提出了仿人智能控制方法。

研究结果表明，仿人智能控制方法解决复杂、强非线性系统的控制具有很强的实用性。

（5）云模型控制

利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制.这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。

4。

鲁棒控制方法

虽然，目前对倒立摆系统的控制策略有如此之多，而且有许多控制策略都对倒立摆进行了稳定控制，但大多数都没考虑倒立摆系统本身的大量不确定因素和外界干扰。

鲁棒控制是自动控制领域20世纪末最重要的研究结果之一.简单地说鲁棒控制处理的是不确定性对象,这种不确定性包括外部扰动、模型参数变化、未建模动态（即模型与实际系统差异）、执行器的误差等。

第2章系统数学模型的建立

对于倒立摆系统,由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在忽略了空气阻力,各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如下图2—1所示。

图2—1直线一级倒立摆系统

我们不妨做以下假设：

M小车质量

m摆杆质量

b小车摩擦系数

l摆杆转动轴心到杆质心的长度

I摆杆惯量

F加在小车上的力

x小车位置

φ摆杆与垂直向上方向的夹角

θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

下图是系统中小车和摆杆的受力分析图.其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：

在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示,图示方向为矢量正方向。

图2-2（a）小车隔离受力图（b）摆杆隔离受力图

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

即：

把这个等式代入上式中,就得到系统的第一个运动方程：

（2—1）

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

即：

力矩平衡方程如下:

注意:

此方程中力矩的方向，由于

，

，

，故等式前面有负号.

合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

（2-2）

设

（

是摆杆与垂直向上方向之间的夹角）,假设

与1（单位是弧度）相比很小，即

远小于1，则可以进行近似处理：

，

，

。

用

来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

（2—3）

对方程组（2-3）进行拉普拉斯变换，得到

（2—4）

注意：

推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度

求解方程组（2-4）的第一个方程，可以得到

把上式代入方程组（2—4）的第二个方程,得到

整理后得到传递函数:

其中

系统状态空间方程为

方程组（2-3）对

解代数方程，得到解如下：

整理后得到系统状态空间方程:

第3章PID控制

3。

1PID的原理和特点

　　在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制,简称PID控制，又称PID调节。

PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。

当被控对象的结构和参数不能完全掌握,或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。

即当我们不完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术.PID控制，实际中也有PI和PD控制。

PID控制器就是根据系统的误差，利用比例、积分、微分计算出控制量进行控制的。

　　比例（P）控制

　　比例控制是一种最简单的控制方式。

其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。

比例控制能够加快调节速度。

　　积分（I）控制

在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。

对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统（SystemwithSteady—stateError）。

为了消除稳态误差,在控制器中必须引入“积分项"。

积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。

这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小,直到等于零。

因此,积分控制作用是减小误差，从而消除静差。

微分（D）控制

　　在微分控制中,控制器的输出与输入误差信号的微分（即误差的变化率）成正比关系。

自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。

其原因是由于存在有较大惯性组件（环节）或有滞后（delay）组件,具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化.解决的办法是使抑制误差的作用的变化“超前”,即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。

这就是说，在控制器中仅引入“比例”项往往是不够的,比例项的作用仅是放大误差的幅值,而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势,这样，具有比例+微分的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。

所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例+微分（PD）控制器能改善系统在调节过程中的动态特性。

微分控制的作用是改善系统的动态性能。

3.2PID控制参数设定及仿真

对于PID控制参数，采用以下的方法进行设定[2].

由实际系统的物理模型:

=

在Simulink中建立如图所示的直线一级倒立摆模型：

图3—1直线一级倒立摆PID控制MATLAB仿真模型

其中PIDController为封装（Mask）后的PID控制器，双击模块打开参数设置窗口

图3-2PID参数设置窗口

先设置PID控制器为P控制器,Kp=9,Ki=0，KD=O，得到以下仿真结果:

图3-3直线一级倒立摆P控制仿真结果图（Kp＝9）

从图中可以看出，控制曲线不收敛，因此增大控制量,Kp=40，Ki=0，KD=O得到以下仿真结果：

图3-4直线一级倒立摆P控制仿真结果图（Kp＝40）

从图中可以看出，闭环控制系统持续振荡，周期约为0。

7s.为消除系统的振荡，增加微分控制参数KD,Kp=40,Ki=0,KD=4得到仿真结果如下：

图3-5直线一级倒立摆PD控制仿真结果图（Kp＝40,Kd＝4）

从图中可以看出，系统稳定时间过长，大约为4秒，且在两个振荡周期后才能稳定，因此再增加微分控制参数KD，令：

Kp=40,Ki=0，KD=4，仿真得到如下结果:

图3—6直线一级倒立摆PD控制仿真结果图（Kp＝40，Kd＝4）

从图中可以看出，系统稳定时间过长，大约为4秒，且在两个振荡周期后才能稳定，因此再增加微分控制参数KD，令:

Kp=40,Ki=0，KD=1O，仿真得到如下结果:

图3—7直线一级倒立摆PD控制仿真结果图（Kp＝40，Kd＝10）

从上图可以看出，系统在1.5秒后达到平衡,但是存在一定的稳态误差。

为消除稳态误差，我们增加积分参数Ki，令:

Kp=40，Ki=20,KD=1O,得到以下仿真结果:

图3—8直线一级倒立摆PID控制仿真结果图（Kp＝40，Ki＝20，Kd＝4）

从上面仿真结果可以看出，系统可以较好的稳定，但由于积分因素的影响，

稳定时间明显增大。

双击“Scope1”，得到小车的位置输出曲线为：

图3-9直线一级倒立摆PD控制仿真结果图（小车位置曲线）

可以看出，由于PID控制器为单输入单输出系统，所以只能控制摆杆的角度，并不能控制小车的位置，所以小车会往一个方向运动.

3.3PID控制实验

1）打开直线一级倒立摆PID控制界面入下图所示：

图3-10直线一级倒立摆MATLAB实时控制界面

2）双击“PID”模块进入PID参数设置,如下图所示：

把仿真得到的参数输入PID控制器，点击“OK"保存参数。

3）点击编译程序，完成后点击使计算机和倒立摆建立连接。

4）点击运行程序，检查电机是否上伺服，如果没有上伺服，请参见直线倒立摆使用手册相关章节。

缓慢提起倒立摆的摆杆到竖直向上的位置,在程序进入自动控制后松开，当小车运动到正负限位的位置时，用工具挡一下摆杆,使小车反向运动。

5）实验结果如下图所示：

图3—11直线一级倒立摆PID控制实验结果1