度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m为（）
A．70°B．70°或120°C．120°D．80°
8.如图，在等边△ABC中，点O在AC上，且AO=3，CO=6，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时
针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）
A．4B．5C．6D．8
9.将两个斜边长相等的三角形纸片如图1放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°，把△DCE绕点C
顺时针旋转15°得到△D′CE′.如图2，连接D′B，则∠E′D′B的度数为（）
A.10°B.20°C.7.5°D.15°
10.如图,将△ABC绕点C（0,-1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a,b），则点A′坐标为（）
A.（-a,-b）B.（-a,-b-1）C.（-a,-b+1）D.（-a,-b-2）
11.将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°后得到矩形A′BC′D′,若AB=12,AD=5,则△DBD′面积为（）
A.13B.26C．84.5D.169
12.如图，正方形ABCD的边长为6,点E，F分别在AB,AD上,若CE=3,且∠ECF=45°,则CF的长为（）
A．2B．3C.D.
o
13.如图，在△ABC中AB=AC，∠BAC=90．直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（E点和F点可以与A、B、C重合）以下结论:
①AE=CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③S四边形AEPF=S△ABC；
④EF最长等于AP．上述结论中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14.把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，
把三角板DCE绕着点C顺时针旋转得到△（如图乙），此时与交于点O，则线段的长度
为（）
A.B.C.4D.
15.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接
C′B，则C′B的长为（）
A．2﹣B．C．﹣1D．1
16.如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在
2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点
x轴上，则点O′的坐标为（）
B按顺时针方向旋
A.（
，
）
B.（
，
）
C.
（，
）
D.（
，4
）
17.如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点
是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为
（）
E
A.4B.4﹣C.3D.6﹣2
18.△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=，点D位于边BC的中点上,点E在AB上,点F在AC上，∠EDF=45°，给出以下结论：
①当BE=1时，；
②∠DFC=∠EDB；
③CF×BE=1；
④
；⑤
;正确的有（
）
A．①④⑤
B.①③④⑤
C.②③④
D.③④⑤
19.如图所示，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：
P′
C=1：
3，则P′A：
PB=（）
A.1：
2；B.1：
2；C.3：
2；D.1：
3
20.如图,在△ABC中,∠ACB=90o,∠B=30o,AC=1,AC在直线l上.将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①,可得到点P1，
此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形
绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=3+；⋯,按此规律继续旋转,直到得到点P2012为止，则
AP2012=（）
A．2011＋671B．2012＋671C．2013＋671D．2014＋671
二
填空题:
21.
如图，在平面直角坐标系中，已知点
A（3，4）,将OA绕坐标原点
O逆时针转
0
/
/
的坐标
90
至OA,则点A
是
.
22.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（-1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转
90°得到线段BA＇，则点A＇的坐标为．
23.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，把△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF位置，如果AB=，∠EAD=30°，
那么点E与点F之间的距离等于．
24.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点
F是DE的中点，连接AF，则AF=．
25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，
B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为．
26.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则
BM的长是________．
27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm.将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF和△BDF的周长之和为________cm.
28.如图，将n个边长都为
重叠部分的面积之和是
2的正方形按如图所示摆放，点
。
A1，A2，⋯An分别是正方形的中心，则这
n个正方形
29.如图,P
是等腰直角△
ABC外一点
把
BP绕直角顶点
BB顺时针旋转
900到
BP/,
已知∠
AP/B=1350，P/A:
P/C=1:
3，
则PB:
P/A的值为
.
30.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1，BC=,点O为Rt△ABC内一点,连接
COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：
以点B为旋转中心，将△
得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），则∠A′BC=
A0、BO、CO,且∠AOC=∠
AOB绕点B顺时针方向旋转
，OA+OB+OC=
60°，．
三简答题:
31.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶
点均在格点上.
（1）画出将△ABC向右平移2个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；
（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．
32.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，﹣1），B（3，1），将线段AB绕点O逆时针旋转90°到对应线段CD（点A与点C对应，点B与D对应）．
（1）请在图中画出线段CD；
（2）请直接写出点A、B的对应点坐标C（______，______），D（______，______）；
（3）在x轴上求作一点P，使△PCD的周长最小，并直接写出点P的坐标（______，______）．
33.如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，．△ADP沿点A旋转至
△ABP’，连结PP’，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：
△APP’是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；（3）求CQ的长．
34.
（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点
A与点
C重合，点
P的对
应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．
（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．
35.一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：
将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边
AB的中点处，设AC=BC=a．
（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为；
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为，周长为；
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？
并试着加以验证．
36.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在
（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．
37.将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在BC的垂直平分线上，∠ABC=30°，
点P为平面内一点．
（1）∠ACB=度；
（2）如图，将△APC绕点C顺时针旋转
（3）AP+BP+CP的最小值为．
60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）；
38.如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°<θ<90°）时，如图2，BD=CF成立吗？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.①求证：
BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长.
39.已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.
（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC.
①∠DAO的度数是；
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
（2）设∠AOB=α，∠BOC=β.
①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？
请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值.
参考答案
1、C.2、B．3、C．4、B.5、D.6
、C.7、B.8、C．9、D.10
、D.11、C.12、A.
13、D.14、B.
15、C.
16、C.17、B.18、A.19、B.20、B．
21、（-4,3）22
、（1，－4）．
23、
．24、AF=5．25、
。
26、
＋127、42
28面积和为：
1×（n﹣1）=n﹣1．29、1:
2
30、90°
2
．
31、解析：
（
1）如图所示.
（2）∵点C1所经过的路径为一段弧，∴点C1所经过的路径长为
【答案】
（1）见解析；
（2）2π
32、【解答】解：
（1）如图，CD为所作；
（2）C（1，1），D（﹣1，4）；（3）P（0.5，0）．故答案为1，1；﹣1，4；0.5，0．
33、证明略；45°；
34、解：
（1）连接PQ．
由旋转可知：
，QC=PA=3．
又∵ABCD是正方形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，即∠PBQ=90°，
222
∴∠PQB=45°，PQ=4．则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC=PQ+QC．即∠PQC=90°．
故∠BQC=90°+45°=135°．
（2）将此时点P的对应点是点P′．
由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．
又∵△ABC是正三角形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，得∠又∵P′B=PB=5，∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．222
PBP′=60°，
因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，∴PC=PP′+P′C．即∠PP′C=90°．
故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．
35、【解答】解：
（1）∵AM=MC=AC=a，则
∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为a2，周长为（1+）a．
（2）∵重叠部分是正方形∴边长为a，面积为a2，周长为2a．
（3）猜想：
重叠部分的面积为．理由如下：
过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F
∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a∴MH=MG=
又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，∴∠HME=∠GMF，∴Rt△MHE≌Rt△MGF∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积
∵正方形CGMH的面积是MG?
MH=×=∴阴影部分的面积是．
36、
（1）30°－α.
（2）△ABE为等边三角形．证明：
连接AD、CD、ED.
∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴BC＝BD，∠DBC＝60°.
∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－α.
又∵BD＝CD，∠DBC＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD＝CD.
又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α.
∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°－（30°－α）－150°＝α.∴∠BAD＝∠BEC.
在△ABD与△EBC中，∴△ABD≌△EBC（AAS）．∴AB＝BE.又∵∠ABE＝60°，
∴△ABE为等边三角形．
（3）∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°－60°＝90°.
∵∠DEC＝45°，∴△DCE为等腰直角三角形．∴CD＝CE＝BC.
∵∠BCE＝150°，∴∠EBC＝＝15°.又∵∠EBC＝30°－α＝15°，∴α＝30°
37、【解答】解
（1）∵点A在BC的垂直平分线上，∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC=30°，∴∠ACB=30°．故答案为30°．
（2）如图△CA′P′就是所求的三角形．
（3）如图当B、P、P′、A′共线时，PA+PB+PC=PB+PP′+P′A的值最小，此时BC=5，AC=CA′=，BA′=．
38、
（1）BD=CF成立.
理由：
∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°.
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF（SAS）.∴BD=CF.
（2）①证明：
设BG交AC于点M.
∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM∵∠.BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG∴∠.BGC=∠BAC=90°.∴BD⊥CF.
②过点F作FN⊥AC于点N.
∵在正方形ADEF中，AD=，∴AN=FN=AE=1.
∵在等腰直角△ABC中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，BC==4.
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==.∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=.
∴AM=×AB=.∴CM=AC-AM=4-=，BM==.
∵△BMA∽△CMG，∴=.∴=.∴CG=.
∴在Rt△BGC中，BG==.
39.解析：
（1）①90°.②线段OA，OB，OC之间的数量关系是.
如图1，连接OD.
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°.
∴CD=OC,∠ADC=∠BOC=120°,AD=OB.∴△OCD是等边三角形.∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°.
∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°.∴∠AOD=30°，∠ADO=60°.∴∠DAO=90°.
在Rt△ADO中，∠DAO=90°，∴
.∴
.
（2）①如图如图2，将△
2，当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值.作图如图AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A’O’C，连接
2的实线部分OO’.
.
∴△A’O’C≌△AOC，∠OCO’=∠ACA’=60°.∴O’C=OC,O’A’=OA，A’C=BC,
∠A’O’C=∠AOC.∴△OCO’是等边三角形.∴OC=O’C=OO’，∠COO’=∠CO’O=60°.
∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=∠A’O’C=120°.∴∠BOO’=∠OO’A’=180°.
∴四点B，O，O’，A’共线.∴OA+OB+OC=O’A’+OB+OO’=BA’时值最小.
②当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A’B=.
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