线性代数练习题附答案.docx
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线性代数练习题附答案
《线性代数与解析几何》练习题
行列式部分
一•填空题:
1若排列1274i56k9是偶排列,则i8,k3
j)则
2•已知a1ia25a3ja41a5k是五阶行列式中的一项,且带正号,其中(i
i2,j4,k3
3•设A,B是n阶可逆阵,且A5,贝U(ATA)356,2A2n5
B1AkB5k(k为常数)
4.已知
312
D231
014
用Aj表示D的元素aj的代数余子式,贝U2A213A22A23D37
则f(4)160
7.设
1111
1111
1111
1123
2125
1248
11415
11415
02512
.23
.23
.23
1xxx
1xxx
1xxx
1,2,
3
上述方程的解x
3.设A是n阶方阵,
2•计算行列式
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
4
1
3
0
2
5
1
0
2
5
1
0
2
5
1
0
0
9
1
0
0
9
1
140
0
4
4
12
0
0
14
14
0
0
0
9
3
1
9
7
解:
D
且A
I
0
A
I。
求
aat
解:
AlAAAA(lAt)A](AI)TAAI
A0AI0
4.设A是n阶实对称矩阵,A22a0,若r(A)k(0kn),求A3I
2是k重的特征值。
Xnan
矩阵部分
填空题:
1.设三
阶方
阵A,
B
满足A1BA6ABA
且A
0
10
0
07
3
00
B
6(A1
I)1
0
20。
0
01
a1b1
a1b2
ab
a2b|
a2b2
a2bn
0(i1,2,3,
n)
2•设A
,其中q0,bi
,则矩阵
and
anb2
anbn
A的
秩=1
,则
100,B可逆,r(AB)r(A)2)
5•设矩阵
7.设四阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A的秩为―0
&设
A,B均为n阶矩阵,
2,B
3,则
2A
9•设
A的伴随矩阵,
1
11*
(—A)110A
A
—,则
2
3
A是三阶方阵,A*是
1131
|3A5A|
(2)
16)。
10•设A,C分别为r阶和s阶的可逆矩阵,
则分块矩阵X
C1BA1C1A1
11•设
n阶方阵A满足方程A23A2i
A(A
3I)
2I)
12.设
13.设
A2
2A
,而
An
B是n阶矩阵,且
(ABABI
的逆矩阵
的逆矩阵A
1
尹3I)
n2为正整数,则
2An1)
AB=A+B,则(A
A(BI)(BI)
An
I)1
2An1
(BI)(AI)
二•选择题:
1•设n阶矩阵A,
(A)ACB=E
C满足关系式ABC=E,
(B)
CBA=E
其中
(C)BAC=E
E是n阶单位矩阵,
(D)
则必有(D)
BCA=E
2•设A是n阶方阵
(n
3),
A*是A的伴随矩阵,又k为常数,且k0,1,则必有
(kA)=(B)
(A)kA
(B)kn
1A
(C)knA
1
(D)kA
3•设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则有(A
(A)A
(B)A
(C)A
(D)A
4•设
a11
a12
a13
a21
a22a23
A
a21
a22
a23,
B
a11
a12a13,
a31
a32
a33
a
31a11
a32a12a33a13
0
1
0
1
0
0
P
1
0
0
P2
0
1
0
0
0
1
1
0
1
则必
有(
C
;)
(A)
ARP?
B
(B)
AP2
P1
B
(C)P1P2AB(D)P2PAB
5•设A,B均为n阶方阵,则必有(
D)
(A)
AB
A
B
(B)
AB
BA
(C)
(AB)
1
A
1
B
1
(D)
AB
BA
6.设n维向量
(-,0,
0,丄)
矩阵A
I
T
7
B
2T,其中1为n阶
2
2
单位矩阵,则AB
(C)
(A)0
(B)
—
I
(C)I
(D)
I
T
7.设A是n阶可逆矩阵(n2),A是A的伴随矩阵,则(C)
(A)(A*)*
A
n1
A
(B)
n2
(C)(A*)*
A
A
(D)
n1
(A*)*AA
n2
(A*)*AA
a
a
a,若矩阵A的秩为n1,则a必为(B)
(A)1(B)
9.设A,B,AB,A
aaa
1
1(C)
-1
(D)
1
1n
n1
B1均为n阶可逆矩阵,则(A
B1)1等于(C)
(A)AB1(B)AB(C)B(AB)1A(D)(AB)
三•计算题:
110
(n是自然数)
1•已知A011,求An
001
解:
由归纳法,
An
1
0
n
1
n(n
2n
1)
0
0
1
2.
已知AP=PB,
其中
10
0
1
0
0
B
00
0
P
2
1
0
00
1
2
1
1
求:
A及A5。
1
0
0
1
0
0
解:
P12
1
0
APBP
1
2
0
0
4
1
1
6
1
1
A5
15
(PBP)
5
PB1
P1
1
PBP
A
3.
已知n阶方阵
2
2
2
2
0
1
1
1
A
0
0
1
1
0
0
0
1
求A中所有元素的代数余子式之和。
解:
A2A可逆
2100
0110
A1
0
0
0
1
0
0
0
1
*
1
n1
A2A
Aj2(n1)(n1)1
i,j1
4
2
3
3•已知矩阵A,B满足:
ABA2B,其中A
1
1
0,求矩阵B。
12
3
解:
AB2BAB(A2I)1A
386
B296
2129
5•设矩阵A,B,满足A*BA2BA8I,其中
A*是A的伴随矩阵,求矩阵
解:
1*1
—ABA—(2BA8I)
AA
11
B4A(A1I)4(I
11
6•已知A01
00
1
解:
BAA
12
A02
00
B。
A1BA4I
2
A)10
0
1
2
1,且AAB
1
BA(A1I)BA
46
48
02
1
1
1
1
12
0
1
1
0
11
0
0
1
0
01
a
1
1
1
1
a
1
1
1
1
a
1
,求r(A)。
7•设n阶方阵A
I,其中I为三阶单位矩阵,求矩阵B。
021
000
000
an
a(n解:
Aa(n
a(n
111a
1111
1)a11
1)1a1
1)11a
故a1时,r(A)
四.证明题:
1;a1n时,r(A)=n-1;
1
0
0
a1
当1且1-n时,r(A)=n
1设A是n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵,当A*A时,证
证明:
A
A*aj/
\lA
aijAij
2
aij
0
另证(反证法)
:
若A
0
r(A)
n
1
T*
*
*
T
*
AA
r(A)r(A)
1
r(A)
0
A
A0
与题设矛盾。
2•设A是n阶方阵,若
A
0,证明
:
A*
0
(其中
A*是A的伴随矩阵)
证明:
3•设A(aij)44,Aj为
的代数余子式,且
Aij
aij(i,j1,2,3,4),a110,
求证:
证明:
A(厲)(
aQ
at
AAAI
(1)4
4
2a1jj1
4•用矩阵秩和向量组秩的关系证明
r(AB)
min{r(A),r(B)}
证明:
设AMm,k,BMk,n
证明r(A)r(B)
5•设A为mn矩阵,B为nk矩阵,若AB0,
0)
证明:
ABA(B1B2...Bk)(AB1AB2…ABk)(00
所以AB10AB20...ABk0,即B1,B2,...,Bk为齐次线性方程组Ax0的
解,因此可由Ax0的基础解系线性表示,所以r(B1,B2,...,Bk)nr,即
r(A)r(B)n。
6•设
A是n阶方阵,
A*是A的伴随矩
巨阵,
证明:
n
R(A)
n
秩(A*)1
R(A)
n1
0
R(A)
n1
证明:
(1)
R(A)
nA可逆,而
*
A
1
|A|A
从而A*可逆,
R(A*)n
(
2
)
R(A)n1
|A|0
*
AA
|A|I
0
R(A)R(A*)
n
*
R(A)
1
又A至少有一个n-1阶子式不为零,R(A*)1,从而R(A*)1
(3)R(A)n1A的所有n-1阶子式全为零。
故A*0,从而
R(A*)0。
空间向量与线性方程组部分
一.填空题:
1.设(ab)c2,则[(a
b)
(b
c)]
(ca)2(a
b)c
4
2.点(1,2,4)在平面2x
3y
z
4
0上的投影点是
(丄,
224、
7
77
x12t
£)
(设y23t将其代入
2x
3y
z
40可得t
z4t
4•过原点及点(6,3,2)且与平面4xy2z0垂直的平面方程是2x2y3z0
5.xoz平面上的直线z
3x绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程为
.z2y23x
6.曲线
2222
xyzr
222
xy(zr)
2在xoy平面上的投影曲线为
r
32
xyr
4
z0
7.已知向量组1(1,2,3,4),2(2,3,4,5),3
Q,4,5,6),4(4,5,6,7),
则该向量组的秩
7•设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为
n1,则线性方程组AX0的通
解为Xk(1,1,,1)T(kR)
8.已知向量组1(1,2,1,1),
2(2,0,t,0),
3(0,4,5,2)的秩为2,则
9.若线性方程组
X2
X3
a
X3
X4
a3
X4
X1
a4
有解,则常数
a
1,a
2,a3
a4应、
满足条
件
a1a2a3
a40
1
1
0
0
a1
1
1
00
a1
(~0
1
1
0
a2
0
1
10
a2
1
0
0
1
1
a3
0
0
11
a3
1
0
0
1
a4
0
0
00a1
a?
10.若向量组
(
)
可由
向量组
()
线性
生表示,则秩(
:
)
ai
Xi
X2
a4
o
秩()。
.选择题
1.设直线L:
3y
2z1
2x
0
,平面
10z30
:
4x2yz
20,则(B)
(A)L与平行
(B)L与垂直
(C)L在
(D)L与斜交
2.已知
2是非齐次线性方程AXb的两个不同的解,
2是对应的齐次线性方
程组AX
0的基础解系,
k1,k2为任意常数,则方程组
AX
b的通解必是(B)
(A)kii
k2(12)
(B)kii
k2(
(C)k11
k2(12)
(D)k11
k2(
12)
0
1都是线性方程组AX0的解,只要系数A为(A)
4.已知向量组
1,2,3,
4线性无关,则向量组(
C
)线性无关
(A)12,
23,3
4,
41(B)1
2,
23,3
4,4
1
(C)12,
23,3
4,
41(D)1
2,
23,3
4,4
1
5.设A是m
n矩阵,AX
0是非齐次线性方程组
AX
b所对应的齐次线性方程组
则下列结论正确的是(D
)
(A)若AX
0仅有零解,则
AX
b有唯一解
(B)若AX
0有非零解,则
AX
b有无穷多个解
(C)若AX
b有无穷多个解,
则
AX0仅有零解
(D)若AX
b有无穷多个解,
则
AX0有非零解
6.设有向量组
11,1,2,
4,
20,3,1,2,
3
3,0,7,14,
41,
2,2,
52,1,5,10则该向量组的极大线性无关组是(
B)
(A)1,2,
3(B)1,
2,
4(C)1,2
5
(D)1,
2,4,
5
b中未知量个数为n,
方程个数为m,
0,
(A)rm时,
方程组AX
b有解(B)rn时,方程组AX
b有唯一解
(C)mn时,
方程组AX
b有唯一解(D)rn时,方程组AXb有无穷多解
8.若向量组
线性无关;
线性相关,则(C
(A)必可由
,线性表示
(B)必不可由,,线性表示
(C)必可由
线性表示
(D)必不可由
线性表示
9•设向量可由向量组
m线性表示,但不能由向量组():
线性表示,记向量组(n):
,则(B)
(A)
m不能由()线性表示,也不能由
(n)线性表示
(B)
m不能由()线性表示,但可由
n)线性表示
(C)
m可由
()线性表示,也可由(
)线性表示
(D)
m可由
()线性表示,但不能由
(n)线性表示
计算题
1.求点(2,
3,1)向直线
解:
设所求直线为
x2
~T~
1所作的垂线方程。
求出I
2I
6t
2•求异面直线
2t
9
的距离。
解:
d
V1,V2,RP2
3.已知方程组
解:
A
r(A)
V1
X1
X1
(c
2x2
X2
cx2
1)2
X3
CX3
2x4
cx4
X4
的解空间的维数为2,求方程组的通解。
12c
22c
(1
X1X3
X2X3
通解为X
X4
k1
1
1
1
0
k2
c
c)2
c
(1c)2
12
1
20
解:
AX0的基础解系为1,0
B
1
0
0
01
0
1
0
5•设三元非齐次方程组AX
b的系数矩阵A的秩为2,且它的三个解向量
足i2(3,1,1)T
3(2,0,2)T,求AXb的通解。
6.取何值时,线性方程组
%
X2
X3
3
X
X3
2
X2
X3
2
有唯一解,无解或有无穷多解?
当方程组有无穷多解时求其通解。
解:
1
1311
1
2
A
1
12011
1
!
:
i
0
11
200(
2)(
1)
3(
1)
当
1且
2时,方程组有唯一解
当
2时
,方程组无解
2
1
1
当
1时,
方程组有无穷多解X0
k1
1
k2
0
0
0
1
7.
已知1
(1,0,2,3),2(1,1,3,5),3
(1,
1,a
2,
1),4(1,2,4,a8)及
(1,1,b3,5),问:
(1)a,b为何值时,
不能由1,2,3,4线性表示。
(2)a,b为何值时,
有1,2,3,4的唯一线性表示?
并写出该表示式。
解:
不能线性表示
21
I
4b3
85
1
I
b
10
2b
1
四•证明题
1•已知abb
0,证明:
向量
a,b,c共面。
证明:
等式两边点乘向量
得到(ab)c
0,所以向量
c共面。
2.证明:
三个平面x
cy
bz,yazcx,
bxay经过同一条直线的充要条件是
222
abc2abc
xcybz
证明:
三平面经过同一条直线
cxyazbxayz
0有非零解
1abc
abcb2a2
22
0,即ab
2
c2abc1
3.已知1
(a1,a2,a3),
(b1,b2,b3)T,
3(c1,c2,c3)
,其中
2
aj
三条直线
LjajXqy
ci
0,i1,2,3,证明三条直线相交与一点的充要条件为
2线性无关,
3线性相关。
a1x
证明:
三条直线交于一点
a2x
a1x
dyb2y
b3y
q
q有唯一解r(A)r(A)2
C3
其中A(1,2),A
3)
2线性无关,
3线性相关。
4.已知向量组(I)1
(n)1,2,3,4;(川)
1,2,3,5如果各
向量组的秩分别为R(I)
R(n)=3,R(川)=4。
证明:
向量组
4的秩为4。
设k
1k:
22
k33k4(5
4)
0代入
刁曰・
4得.
(k1
水4)
1
(k22k4)2
(k3
3k4)3
k440
由于
1,2,
3,
5线性无关,得
k1
1k4
0
k2
2k4
0
k1k2k3
k4
0,所以
r(III)=4
k3
3k4
0
k40
组AX
0的解,即A
0。
试证明:
向量组
1,
2,,t线性无
关。
证明:
设k
K
(1)
kt(t)0
两边左乘A
,利用Ai0
t
(kki)A0
i1
A0
t
kki0
i1
t
从而有1
i1
kii0,1,
2,,t线性无关
Kk2
kt0
k0
相似矩阵及二次型部分
一.填空题
1
(1)22
1)A为3阶矩阵,若A有特征值1,1,2,贝UA
3)为n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是n,0,0,……,0。
222
4)二次型£(羽山2必)2x1x2x32x1x2tx2x3是正定的,则t的取值范围是
血t7:
2。
5)n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角阵相似的充要条件。
6)n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。
7)设A为3阶矩阵,已知IA,3IA,I3A均不可逆,则A一定相似于矩阵
8)已知A
相似,则
A~B
•选择题
1•设
2•若
3•设
trA
trB
2y
1y
2是非奇异矩阵
是矩阵
定矩阵的(
(A)充分
要
三•计算题
1.
已知
征值。
A的对应
解:
A的一个特征值,则矩阵
Qa2)1有一特征值等于(B
0