131函数的单调性例题.docx
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131函数的单调性例题
1.3.1函数的单调性
题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间
例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间
（1）y
x2
1;
（2）y
x2
2x3;
（3）y
x1
（x2）2;（4）y
x2
6x9x2
6x9
相应作业1：
课本P32第3题.
题型二、用定义法证明函数的单调性
用定义法证明函数的单调性步骤：
取值作差变形定号下结论
取值，即_____________________________；
作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等；
定号，即____________________________________________________________;
④下结论，即______________________________________________________。
例2.用定义法证明下列函数的单调性
（1）证明：
f（x）x31在,上是减函数.
1
▲定义法证明单调性的等价形式：
设x1、x2
a,b，x1
x2,那么
（x1
x2）
f（x1）
f（x2）
f（x1）
f（x2）
f（x）在a,b上是增函数；
0
0
x1
x2
（x1
x2）
f（x1）
f（x2）
f（x1）
f（x2）
f（x）在a,b上是减函数.
0
0
x1
x2
（2）证明：
f（x）
x2
1x在其定义域内是减函数；
（3）证明：
f（x）
1
0上是增函数；
x
2在
法一：
作差
法二：
作商
2
（4）已知函数yf（x）在0,上为增函数，且f（x）0（x0），试判断F（x）1在
f（x）
0,上的单调性，并给出证明过程；
▲方法技巧归纳——判断函数单调性的方法：
1、直接法：
熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册P27
（2）P31（上5、1）
2、图象法；
3、定义法；
4、运算性质法：
①当a
0时，函数af（x）与f（x）有相同的单调性；
当a
0时，函数af（x）与f（x）有相反的单调性；
②当函数f（x）恒不等于零时，f（x）与1
单调性相反；
f（x）
③若f（x）0，则f（x）与f（x）具有相同的单调性；
④若f（x）、g（x）的单调性相同，则
f（x）
g（x）的单调性与之不变；
▲即：
增+增=增
减+减=减
⑤若f（x）、g（x）的单调性相反，则
f（x）
g（x）的单调性与
f（x）同.
▲即：
增-减=增
减-增=增
注意：
（1）可熟记一些基本的函数的单调性，
一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式，
再利用上述结论判断；
（2）f（x）g（x）与f（x）的单调性不能确定.
g（x）
3
相应作业
2：
（1）讨论函数f（x）
ax
在
1,1上的单调性（a0）；
2
1
x
k（k
▲
（2）务必记住“对勾”函数f（x）
x
0）的单调区间（见练习册
P29探究之窗.
x
探究1）
知识拓展——复合函数单调性（▲难点）
一、复习回顾：
复合函数的定义：
如果函数yf（t）的定义域为A，函数tg（x）的定义域为D，值域为C，
则当CA时，称函数yf（g（x））为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，
tg（x）叫内层函数，yf（x）叫外层函数。
二、引理1已知函数y=f［g（x）］.若t=g（x）在区间（a,b）上是增函数，其值域为（c，d），
又函数y=f（t）在区间（c,d）上是增函数，那么，原复合函数y=f［g（x）］在区间（a,b）上是增
函数.
引理2已知函数y=f［g（x）］.若t=g（x）在区间（a,b）上是减函数，其值域为（c，d），又
函数y=f（t）在区间（c,d）上是减函数，那么，复合函数y=f［g（x）］在区间（a,b）上是增函数.
引理1的证明：
▲重要结论1：
复合法则
若tg（x）
yf（t）
则yfg（x）
增
增
增
减
减
增
增
减
减
减
增
减
规律可简记为“_____________________”（四个字）
▲重要结论2：
若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:
若减函数有偶数个，则复合函数为增函数；
若减函数有奇数个，则复合函数为减函数.
4
规律可简记为“_____________________”（四个字）
题型三、求复合函数的单调区间
例3.求下列函数的单调区间.
2
（2）y
1
（1）y76xx
2
2x3
x
▲小结：
1、注意：
（1）求单调区间必先求定义域；
（2）单调区间必须是定义域的子集；
（3）写多个单调区间时，区间之间不能用“”并起来，应用“，”隔开.
2、判断复合函数单调性步骤：
求函数的定义域；
将复合函数分解成基本初等函数：
y
f（t）与t
g（x）；
确定两个函数的单调性；
④由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性.
相应作业
3：
求下列函数的单调区间.
（1）y
82xx2
（2）y
1
x2
2x3
（3）y
1
x2
4x
5
单调性的应用
题型四、比较函数值的大小
例4.已知函数yf（x）在0,上是减函数，试比较f（3）与f（a2a1）的大小.
4
题型五、已知单调性，求参数范围
例5.已知函数
（）
2
2（
）2
fx
x
x
ax
（1）若f（x）的减区间是
4，求实数a的值；
（2）若f（x）在
4
上单调递减，求实数
a的取值范围.
例6.若函数f（x）
（2b
1）x
b1,x
0在R上为增函数，求实数
b的取值范围.
x2
（2
b）x,x
0
6
题型六、利用单调性，求解抽象不等式
例7.已知函数y
f（x）是
1,1
上的减函数，且
f
（1）
f
（
a
2
1）
，求实数
a
的取值范
a
围.
例8.已知f（x）是定义在
0,上的增函数，且f（x）
f（x）f（y），且f
（2）
1，解不
y
等式f（x）f（1
）2
.
x
3
相应作业
4：
已知f（x）是定义在
0,
上的增函数，且f（xy）
f（x）f（y），且
f
（2）
1，解不等式f（x）f（x
2）
3.
题型七、抽象函数单调性的判断——定义法
解决此类问题有两种方法：
“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论；
赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.
7
例9.已知函数f（x）对任意实数
x、y都有f（xy）
f（x）f（y），且当x
0时
f（x）0，求证：
f（x）在R
上单调递增.
例10.已知定义在0,上的函数f（x）对任意x、y0,，恒有
f（xy）f（x）f（y），且当0x1时f（x）0，判断f（x）在0,上单调性.
相应作业
5：
定义在0,
上的函数f（x）对任意x、y0,
，满足
f（mn）
f（m）
f（n），且当x1时f（x）0
.
（1）求f
（1）的值；
（2）求证：
f（m）f（m）
f（n）；
n
（3）求证：
f（x）在0,
上是增函数；
（4）若f
（2）
1，解不等式
f（x2）f（2x）
2；
8
函数的最大（小）值
1、函数的最大（小）值定义
2、利用单调性求最值常用结论
（1）若函数
（2）若函数
yf（x）在闭区间a,b
yf（x）在闭区间a,b
上单调递增，则
（
），
；
ymin
f
aymax
f（b）
上单调递减，则
（
），
；
ymin
f
b
ymax
f（a）
（3）若函数y
f（x）在开区间
a,b上单调递增，则函数无最值，但值域为
f（a）,f（b）；
（4）若函数y
f（x）在闭区间
a,b上单调递增，在闭区间
b,c上单调递减，那么函数
y
f（x），x
a,c在x
b处有最大值，即
ymax
f（b）；
（5）若函数y
f（x）在闭区间
a,b上单调递减，在闭区间
b,c上单调递增，那么函数
y
f（x），x
a,c在x
b处有最小值，即
ymin
f（b）.
题型八、单调性法求函数最值（值域）
例11、
（1）函数
1
在1,5上的最大值为________,最小值为________;
f（x）
2x
1
（2）函数y
2x
1在2,4上的最大值为________,最小值为________;
x
1
（3）函数y2x12x的值域为________________;
（4）函数yxx1的值域为________________;
（5）函数y
x2
1
x2的值域为________________;
1x
y
（6）函数x的值域为________________;
9
二次函数的区间最值的求法
二次函数在给定区间m,n上求最值，常见类型：
（1）定轴定区间：
对称轴与区间m,n均是确定的；
（2）动轴定区间：
（3）定轴动区间：
（4）动轴动区间：
1、定轴定区间
可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系。
例12.当2x2时，求函数yx22x3的最值.
相应作业6：
求函数yx24x5在1,5上的最值.
2、动轴定区间
例13.已知函数f（x）x22ax2，求f（x）在5,5上的最值.
▲动轴定区间问题一般解法：
对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，从而确
定最值在区间端点处还是在顶点处取得.
相应作业7：
求函数f（x）x22ax1在0,2上的最值.
10
3、定轴动区间
例14.已知函数f（x）
x2
2x2，当x
t,t1时，求f（x）的最小值g（t）.
相应作业
8：
已知函数
（
）
2
3
f
x
xx
，当
x
m,m2
时，求
f（x）
的最大值
g（m）
.
4
4、动轴动区间
解决方法：
可将对称轴和区间之一看做不动，进行讨论.
例15.求函数yx2ax在x1,a上的最大值.
相应作业
9：
求函数
2
2
yxax
在
x
a,1
上的最值.
2
11
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