一 求二次函数的表达式.docx

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一求二次函数的表达式

专题训练

（一）　求二次函数的表达式　　　　　　　　　　　　　　　

►　类型一　设一般式求二次函数表达式

若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

1．如图1－ZT－1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B（0，－2），它与反比例函数y＝－

的图象相交于点A（m，4），则这个二次函数的表达式为（　　）

图1－ZT－1

A．y＝x2－x－2

B．y＝x2－x＋2

C．y＝x2＋x－2

D．y＝x2＋x＋2

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的变量x与变量y的部分对应值如下表：

x

…

－3

－2

－1

0

1

5

…

y

…

7

0

－5

－8

－9

7

…

（1）求此二次函数的表达式；

（2）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．

3．已知：

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（3，0），B（2，－3），C（0，－3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设D是抛物线上的一点，且点D的横坐标为－2，求△AOD的面积．

►　类型二　设顶点式求二次函数表达式

若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式：

y＝a（x－m）2＋k（a≠0），其中点（m，k）为抛物线的顶点坐标，对称轴为直线x＝m.

4．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，－1），且过点（0，3），则该二次函数的表达式是（　　）

A．y＝－（x－2）2－1　　B．y＝－

（x－2）2－1

C．y＝（x－2）2－1　　D．y＝

（x－2）2－1

5．已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x＝3时，有最大值4.求该二次函数的表达式．

6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为直线x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的函数表达式．

7．设抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离为1，求抛物线的函数表达式．

8．如图1－ZT－2，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的表达式和直线BD的表达式；

（2）P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长的最大值．

图1－ZT－2

►　类型三　设交点式求二次函数表达式

若给出抛物线与x轴的交点，通常可设交点式：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标．

9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标为（－1，0），（3，0），其形状大小、开口方向均与抛物线y＝－2x2相同，则该抛物线的函数表达式为（　　）

A．y＝－2x2－x＋3　　　B．y＝－2x2＋4x＋5

C．y＝－2x2＋4x＋8　　　D．y＝－2x2＋4x＋6

10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A（1，4），B（5，0）两点，它的对称轴为直线x＝2，那么这个二次函数的表达式是____________．

11．2017·百色经过A（4，0），B（－2，0），C（0，3）三点的抛物线的函数表达式是____________．

12．已知二次函数的图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（4，10），求该二次函数的表达式．

13．已知二次函数的图象经过点（3，－8），对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的两个交点之间的距离为6.求该二次函数的表达式．

14．已知一条抛物线经过点A（－1，0），B（0，－5），且抛物线的对称轴为直线x＝2，求该抛物线的函数表达式．

详解详析

专题训练

（一）　求二次函数的表达式

1．[解析]A　把A（m，4）代入y＝

，得m＝－2，∴A（－2，4）．把A（－2，4），B（0，－2）代入y＝x2＋bx＋c，得

解得

∴二次函数的表达式为y＝x2－x－2.

2．解：

（1）把（－2，0），（－1，－5），（0，－8）代入y＝ax2＋bx＋c，得

解得

∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－8.

（2）∵y＝x2－2x－8＝（x－1）2－9，

∴该抛物线的顶点坐标为（1，－9），对称轴为直线x＝1.

3．解：

（1）把A（3，0），B（2，－3），C（0，－3）代入y＝ax2＋bx＋c，得

解得

则抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3.

（2）把x＝－2代入抛物线的表达式，得y＝5，即D（－2，5）．

∵A（3，0），

∴OA＝3，

∴S△AOD＝

×3×5＝

.

4．[解析]C　设这个二次函数的表达式为y＝a（x－h）2＋k.

∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，－1），

∴二次函数的表达式为y＝a（x－2）2－1.

把（0，3）代入，得3＝（0－2）2a－1，解得a＝1，

∴y＝（x－2）2－1.

故选C.

5．解：

由题意可知抛物线的顶点坐标为（3，4）．

设二次函数的表达式为y＝a（x－3）2＋4.

把（4，－3）代入，得a＋4＝－3，∴a＝－7，

∴二次函数的表达式为y＝－7（x－3）2＋4.

6．解：

由题意得该抛物线的顶点坐标为（－1，2）或（－1，－2）．

（1）当顶点M的坐标为（－1，2）时，可设该抛物线的函数表达式为y＝a（x＋1）2＋2.

把A（－3，0）代入，得4a＋2＝0，

解得a＝－

，

∴该抛物线的函数表达式为y＝－

（x＋1）2＋2；

（2）当顶点M的坐标为（－1，－2）时，可设该抛物线的函数表达式为y＝a（x＋1）2－2.

把A（－3，0）代入，得4a－2＝0，∴a＝

，

∴该抛物线的函数表达式为y＝

（x＋1）2－2.

综上所述，该抛物线的函数表达式为y＝－

（x＋1）2＋2或y＝

（x＋1）2－2.

7．解：

由题意，得抛物线的对称轴为直线x＝1或直线x＝3.

设抛物线的函数表达式为y＝a（x－1）2＋k或y＝a（x－3）2＋k.

∵抛物线过点A（0，2），B（4，3），

∴

或

解得

或

∴y＝

（x－1）2＋

＝

x2－

x＋2或y＝－

（x－3）2＋

＝－

x2＋

x＋2.

8．解：

（1）设二次函数的表达式为y＝a（x－1）2＋4.

把点B（3，0）代入，得0＝（3－1）2a＋4，解得a＝－1.

∴二次函数的表达式为y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3.

令x＝0，则y＝3，∴D（0，3）．

设直线BD的表达式为y＝kx＋b，把点B（3，0），D（0，3）代入，得

解得

∴直线BD的表达式为y＝－x＋3.

（2）设点P的横坐标为a，则P（a，－a＋3），M（a，－a2＋2a＋3），

∴PM＝yM－yP＝－a2＋2a＋3－（－a＋3）＝－a2＋3a＝－

＋

.

∴当a＝

时，线段PM长的最大值是

.

9．[答案]D

10．[答案]y＝－

x2＋2x＋

[解析]∵抛物线的对称轴为直线x＝2，且经过点（5，0），

根据抛物线的对称性，图象经过另一点（－1，0）．

设抛物线的交点式y＝a（x＋1）（x－5）．

把（1，4）代入，得4＝（1＋1）（1－5）a，

解得a＝－

，

∴y＝－

（x＋1）（x－5），

即y＝－

x2＋2x＋

.

11．[答案]y＝－

（x－4）（x＋2）　

[解析]设抛物线的函数表达式为y＝a（x－4）·（x＋2），把C（0，3）代入，得3＝（0－4）×（0＋2）a，解得a＝－

，故y＝－

（x－4）（x＋2）．

12．解：

设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）（x－3）．

把C（4，10）代入，得5a＝10，

∴a＝2，

∴y＝2（x＋1）（x－3），即y＝2x2－4x－6.

13．解：

由题意可知抛物线与x轴的两个交点的坐标为（－1，0）和（5，0）．

设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）（x－5），

把（3，－8）代入，得－8a＝－8，∴a＝1，

∴y＝（x＋1）（x－5），即y＝x2－4x－5.

14．解：

∵抛物线的对称轴是直线x＝2，且经过点（－1，0），

∴由抛物线的对称性可知抛物线还经过点（5，0）．

设抛物线的函数表达式为y＝a（x＋1）（x－5）（a≠0），

把B（0，－5）代入，得－5＝－5a，

解得a＝1.

∴抛物线的函数表达式为y＝（x＋1）（x－5）＝x2－4x－5.