最新人教版A版高三数学理高考一轮复习87 抛物线教学设计及答案.docx
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最新人教版A版高三数学理高考一轮复习87抛物线教学设计及答案
第七节 抛物线
1．抛物线的标准方程
掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程．
2．抛物线的几何性质
掌握抛物线的简单性质．
知识点一 抛物线定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（1）在平面内．
（2）动点到定点F距离与到定直线l的距离相等．
（3）定点不在定直线上．
易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
[自测练习]
1．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A. B.
C.D．0
解析：
M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M（x，y），则y＋＝1，∴y＝.
答案：
B
知识点二 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px（p>0）
y2＝－2px（p>0）
x2＝2py（p>0）
x2＝－2py（p>0）
p的几何意义：
焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O（0,0）
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径（其中P（x0，y0））
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
易误提醒 抛物线标准方程中参p易忽视只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
必记结论 抛物线焦点弦的几个常用结论：
设AB是过抛物线y2＝2px（p>0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则
（1）x1x2＝，y1y2＝－p2.
（2）弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝（α为弦AB的倾斜角）．
（3）＋＝.
（4）以弦AB为直径的圆与准线相切．
[自测练习]
2．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P（1，m）到焦点的距离为3，则其方程是（ ）
A．y＝4x2B．y＝8x2
C．y2＝4xD．y2＝8x
解析：
本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y2＝2px，则由抛物线的定义知1＋＝3，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，故选D.
答案：
D
3．（2016·成都质检）已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为3，则线段AB的长度为（ ）
A．6B．8
C．10D．12
解析：
依题意，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝2×3＝6，|AB|＝|AF|＋|BF|＝（x1＋1）＋（x2＋1）＝x1＋x2＋2＝8，故选B.
答案：
B
4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合，则p的值为________．
解析：
双曲线－＝1的右焦点F（3,0）是抛物线y2＝2px的焦点，所以＝3，p＝6.
答案：
6
考点一 抛物线的标准方程及几何性质|
1．抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（ ）
A．（0，a）B．（a,0）
C.D.
解析：
抛物线方程标准方程为x2＝y，焦点在y轴上，焦点为.
答案：
C
2．（2016·宜宾诊断）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（－4，－2）的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝－xB．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y
解析：
若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P（－4，－2）的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P（－4，－2）的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.
答案：
D
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，则AB的中点到y轴的距离等于（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
AB的中点到抛物线准线的距离为＝5，所以AB的中点到y轴的距离为5－1＝4.
答案：
D
求抛物线方程的三个注意点
（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．
（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．
（3）要注意参p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义解决问题．
考点二 抛物线的定义及应用|
抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：
1．到焦点与动点的距离之和最小问题．
2．到准线与动点的距离之和最小问题．
3．到两定直线距离之和最小问题．
4．到焦点与定点距离之和最小问题．
探究一 到焦点与动点的距离之和最小问题
1．（2016·邢台模拟）已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：
（x＋1）2＋（y－5）2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
解析：
抛物线x2＝4y的焦点为F（0,1），准线为y＝－1，由抛物线的定义得|MF|等于M到准线的距离d，所以|MA|＋|MF|的最小值等于圆心C到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.
答案：
5
探究二 到准线与动点的距离之和最小问题
2．已知圆C：
x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PC|的最小值为（ ）
A. B．7
C．6D．9
解析：
由题意得圆的方程为（x＋3）2＋（y＋4）2＝4，
圆心C的坐标为（－3，－4）．
由抛物线定义知，当d＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，
即d＋|PC|＝＝.
答案：
A
探究三 到两定直线距离之和最小问题
3．已知直线l1：
4x－3y＋6＝0和直线l2：
x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为（ ）
A.B.
C．3D．2
解析：
直线l2：
x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），则点P到直线l2：
x＝－1的距离等于PF，过点F作直线l1：
4x－3y＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P，所以点P到直线l1：
4x－3y＋6＝0的距离和到直线l2：
x＝－1的距离之和的最小值就是点F（1,0）到直线l1：
4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值为＝2，故选D.
答案：
D
探究四 到焦点与定点距离之和最小问题
4．（2016·赣州模拟）若点A的坐标为（3,2），F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为（ ）
A．（0,0）B.
C．（1，）D．（2,2）
解析：
本题考查抛物线的定义，过M点作左准线的垂线（图略），垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M（2,2）．
答案：
D
求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法
（1）将抛物线上的点到准线的距离转为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原解决．
考点三 直线与抛物线的位置关系|
（2016·保定模拟）已知：
过抛物线x2＝4y的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过点A，B分别作抛物线的切线，且二者相交于点C.
（1）求证：
·＝0；
（2）求△ABC的面积的最小值．
[解]
（1）证明：
设lAB：
y＝kx＋1，代入x2＝4y得x2－4kx－4＝0，设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），则xA＋xB＝4k，xAxB＝－4.∵y＝x2，∴y′＝x，∴lAC：
y－x＝xA（x－xA），
lBC：
y－x＝xB（x－xB），∴xC＝2k，yC＝－1.
①若k≠0，则kCF＝－，∴kAB·kCF＝－1，
∴·＝0.
②若k＝0，显然·＝0（或∵＝（－2k,2），＝（xB－xA，k（xB－xA）），
∴·＝－2k（xB－xA）＋2k（xB－xA）＝0.
（2）由
（1）知，点C到AB的距离d＝|CF|＝2.
∵|AB|＝|AF|＋|FB|＝yA＋yB＋2＝k（xA＋xB）＋4＝4k2＋4，
∴S＝|AB|d＝4（k2＋1），
∴当k＝0时，△ABC的面积取最小值，为4.
解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系的关系．
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
（3）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：
涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
（2015·高考四川卷）设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆（x－5）2＋y2＝r2（r>0）相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A．（1,3） B．（1,4）
C．（2,3）D．（2,4）
解析：
当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以02，又y<4x0，即r2－4<12，所以02，所以2答案：
D
8.直线与圆锥曲线问题的答题模板
【典例】 （13分）已知抛物线C1：
x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：
＋＝1（a>b>0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
（1）求C2的方程；
（2）若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
[解题思路]
（1）由抛物线的焦点坐标可求c，又由两曲线的公共弦长为2得出a，b的关系式，从而求得椭圆方程；
（2）利用方程的思想，得出各交点坐标之间的关系，构造关于斜率k的方程．
[规范解答]
（1）由C1：
x2＝4y知其焦点F的坐标为（0,1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1，①（2分）
又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，由C1的方程为x2＝4y，（4分）
由此易知C1与C2的公共点的坐标为，
所以＋＝1，②（5分）
联立①②得a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为＋＝1.（6分）
（2）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是（x1＋x2）2－4x1x2＝（x3＋x4）2－4x3x4.③（8分）
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.（9分）
由得x2－4kx－4＝0，
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