高中数学 21《平面向量的实际背景及基本概念》导学案 新人教A版必修4.docx
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高中数学21《平面向量的实际背景及基本概念》导学案新人教A版必修4
2019-2020年高中数学2.1《平面向量的实际背景及基本概念》导学案新人教A版必修4
【学习目标】
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2.通过对向量的学习,初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3.通过对向量与数量的识别能力的训练,培养认识客观事物的数学本质的能力.
【导入新课】
情景设置:
如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:
猫能否追到老鼠?
(画图)
结论:
猫的速度再快也没用,因为方向错了.
分析:
老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
引言:
请同学指出哪些量既有大小又有方向?
哪些量只有大小没有方向?
新授课阶段
(一)向量的概念:
我们把既有大小又有方向的量叫向量
(二)请同学阅读课本后回答:
(可制作成幻灯片)
1.数量与向量有何区别?
2.如何表示向量?
3.有向线段和线段有何区别和联系?
分别可以表示向量的什么?
4.长度为零的向量叫什么向量?
长度为1的向量叫什么向量?
5.满足什么条件的两个向量是相等向量?
单位向量是相等向量吗?
6.有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7.如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
注意:
1.数量与向量的区别:
2.向量的表示方法:
①用表示;
②用
(黑体,印刷用)等表示;
③;
④.
3.有向线段:
具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:
.
向量与有向线段的区别:
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
4.零向量、单位向量概念:
①叫零向量,记作0.0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②,叫单位向量.
说明:
零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5.平行向量定义:
①叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.
说明:
(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;
(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.
6.相等向量定义:
叫相等向量.
说明:
(1)向量a与b相等,记作a=b;
(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
7.共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).
说明:
(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;
(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
例1书本86页例1.
例2判断:
(1)平行向量是否一定方向相同?
()
(2)不相等的向量是否一定不平行?
()
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?
()
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?
()
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
()
(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?
()
(7)共线向量一定在同一直线上吗?
()
例3下列命题正确的是()
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形
的四顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解析:
例4如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一:
与向量长度相等的向量有多少个?
变式二:
是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?
变式三:
与向量共线的向量有哪些?
变式训练:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;
⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
解:
①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线,虽起点不同,但其终点却相同.
课堂小结
1、描述向量的两个指标:
模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、向量的图示,要标上箭头和始点、终点.
作业
课本88页习题2.1第3、5题
拓展提升
1.下列各量中不是向量的是()
A.浮力B.风速C.位移D.密度
2.下列说法中错误的是()
A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是()
A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆
4.已知非零向量,若非零向量,则与必定.
5.已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定.
6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则
参考答案
1、数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.
2.向量的表示方法:
①有向线段
②字母a、b
③有向线段的起点与终点字母:
;
④向量的模,记作||.
3.起点、方向、长度.
4.零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量
②长度为1个单位长度的向量
5.平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量
6.相等向量定义:
长度相等且方向相同的向量
例1书本86页例1.
例2
(1)(不一定)
(2)(不一定)
(3)(零向量)
(4)(零向量)
(5)(平行向量)
(6)(长度相等且方向相同)
(7)(不一定)
例3
解:
由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.
例4
变式一:
(11个)
变式二:
(存在)
变式三:
()
变式训练
解:
①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线,虽起点不同,但其终点却相同.
拓展提升
1.D2.A3.D4.平行5.不共线6.,
2019-2020年高中数学2.1《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计新人教A版必修4
【教学目标】
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
【导入新课】
情景设置:
如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:
猫能否追到老鼠?
(画图)
结论:
猫的速度再快也没用,因为方向错了.
分析:
老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
引言:
请同学指出哪些量既有大小又有方向?
哪些量只有大小没有方向?
新授课阶段
(一)向量的概念:
我们把既有大小又有方向的量叫向量
(二)请同学阅读课本后回答:
(可制作成幻灯片)
1.数量与向量有何区别?
2.如何表示向量?
3.有向线段和线段有何区别和联系?
分别可以表示向量的什么?
4.长度为零的向量叫什么向量?
长度为1的向量叫什么向量?
5.满足什么条件的两个向量是相等向量?
单位向量是相等向量吗?
6.有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
7.如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
注意:
1、数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.
2.向量的表示方法:
①用有向线段表示;
②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示;
③用有向线段的起点与终点字母:
;
④向量的大小――长度称为向量的模,记作||.
3.有向线段:
具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:
起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别:
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
4.零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量,记作0.0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.
说明:
零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5.平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.
说明:
(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;
(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.
6.相等向量定义:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明:
(1)向量a与b相等,记作a=b;
(2)零向量与零向量相等;
(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
7.共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).
说明:
(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;
(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
例1书本86页例1.
例2判断:
(1)平行向量是否一定方向相同?
(不一定)
(2)不相等的向量是否一定不平行?
(不一定)
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?
(零向量)
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?
(零向量)
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
(平行向量)
(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?
(长度相等且方向相同)
(7)共线向量一定在同一直线上吗?
(不一定)
例3下列命题正确的是()
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形
的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解:
由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.
例4如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一:
与向量长度相等的向量有多少个?
(11个)
变式二:
是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?
(存在)
变式三:
与向量共线的向量有哪些?
()
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;
⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
解:
①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线,虽起点不同,但其终点却相同.
课堂小结
4、描述向量的两个指标:
模和方向.
5、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
6、向量的图示,要标上箭头和始点、终点.
作业
课本88页习题2.1第3、5题
拓展提升
1.下列各量中不是向量的是()
A.浮力B.风速C.位移D.密度
2.下列说法中错误的是()
A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是()
A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆
4.已知非零向量,若非零向量,则与必定.
5.已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定.
6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则.
参考答案
1.D2.A3.D4.平行5.不共线6.,