《角的平分线的性质1》名师教案人教版八年级上册数学.docx
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《角的平分线的性质1》名师教案人教版八年级上册数学
12.3角的平分线的性质
第一课时（杨香胜）
一、教学目标
（一）核心素养
（二）学习目标
1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；
2.探索并证明角平分线的性质；
3.能用角的平分线的性质解决简单问题.
（三）学习重点
角的平分线的性质的证明及应用.
（四）学习难点
角的平分线的性质的探究.
二、教学设计
（一）课前设计
预习任务
用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
预习检测
一、填空题
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离为 .
答案：
3cm
解析：
根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，D点到AB的距离即为DE的长.
∵∠BCA=90°
∴AC⊥BC
∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB
∴CD=DE
∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD
∴DE=3cm
即D点到直线AB的距离是3cm.
点拨：
根据角平分线的性质添加辅助线作答
2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离
为 cm.
答案：
2.5
解析：
∵P是∠AOB平分线上一点,点P到OA的距离是2.5cm,
∴P到OB的距离等于点P到OA的距离,为2.5cm.
因此，本题正确答案是:
2.5.
点拨：
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.
二、选择题
3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD
答案：
D
解析：
A项；由角分线性质，正确
B项；由角分线性质知PD＝PE，由HL知Rt△OEP≌△ODP，则两三角形全等知OD＝OE，正确.
C项；同B项，由两三角形全等知∠DPO＝∠EPO
D项；错误
点拨：
由题设可知OP为∠AOB的角平分线，PE为P到OB的距离，PD为P到OA的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.
（二）课堂设计
1.知识回顾
（1）三角形的判断方法有哪些?
SSS,SAS,AAS,ASA,HL
（2）三角形中有哪些重要线段?
三角形中有三条重要线段，它们分别是：
三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．
（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.
2.问题探究
探究一角的平分线的作法
●活动①
请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.
【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.
●活动②
如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗?
E
让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.
【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.
●活动③
老师提出问题：
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）
讨论结果展示：
已知：
∠MAN
求作：
∠MAN的角平分线.
作法：
（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B，交AN于D.
（2）分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN的内部交于点C.
（3）画射线AC.
∴射线AC即为所求.
N
分组讨论：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于
BD的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？
学生讨论结果总结：
1．去掉“大于
BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
2．若分别以B、D为圆心，大于
BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
练一练：
任意画一角∠AOB，作它的平分线．
【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯
探究二角的平分线的性质
●活动①
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？
你能得出什么结论？
学生回答后师生归纳：
OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）
【设计意图】让学生感知角平分线的性质.
●活动②
学生活动：
作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.
投影出下面两个图形，让学生评一评.
结论：
同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．
问题1：
如何用文字语言叙述所画图形的性质？
师生共同归纳：
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？
已知事项：
OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．
由已知事项推出的事项：
PD=PE．
【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.
●活动③
以上结论成立吗？
让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：
证明：
∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO=∠PEO（已证）
∠AOC=∠BOC（已知）
OP=OP（公共边）
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
于是我们得角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）
∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.
探究三用角的平分线的性质解决简单问题
●活动①
应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．
例1
（1）下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形（）中PD＝PE.
ABCD
【知识点】角平分线的性质.
【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.
【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.
【答案】D
（2）下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中PD＝PE吗?
【知识点】角平分线的性质.
【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.
【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是∠AOB的平分线.
（3）如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为cm．
【知识点】角平分线的性质.
【思路点拨】过D作AB的垂线段DE,垂足为E,由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.
【解答过程】解：
过D作AB的垂线段DE,垂足为E,
∵BD平分∠ABC，CD⊥BC,DE⊥AB,
∴DC=DE
∵CD＝2cm，
∴DE=2cm，
即点D到AB的距离为2cm
【答案】2
练习：
如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE=cm.
【知识点】角平分线的性质.
【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE,AD+DE=AD+DC=AC.
【解答过程】解：
∵BD平分∠ABC，CD⊥BC,DE⊥AB,
∴DC=DE
∴AD+DE=AD+DC=AC.
∵AC=7cm,
∴AD+DE=7cm.
【答案】7
【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.
●活动②
例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:
20000）？
【知识点】角平分线的性质
【思路点拨】
1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1:
20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．作图如下：
【答案】
第一步：
尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．
第二步：
在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．
练习：
在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？
它们有怎样的数量关系呢？
P
【知识点】角平分线的性质
【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.
【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.
●活动3
例3如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF
求证：
CF=EA
【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质
【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等
【解答过程】
证明：
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，
∴DC=DE
又∵AD=DF
∴△DCF≌△DEA（HL）
∴CF=EA
练习：
如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：
OB=OC．
【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定
【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD≌△COE可得OB=OC
【答案】证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，
∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．
∵∠BOD=∠COE，
∴△BOD≌△COE．
∴OB=OC．
3.课堂总结
知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）
（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；
（2）探索并证明角平分线的性质；
（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.
重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）
（1）角的平分线的性质的探究.
（2）角的平分线的性质的证明及应用.
（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.
（三）课后作业
基础型自主突破
1．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=4，则点P到边OB的距离为（ ）
A．4B．3C．3D．1
【知识点】角平分线的性质
【思路点拨】因为PD⊥OA，PD=4，即P到OA的距离为4，P是∠AOB的平分线上一点，P到OA和OB的距离相等，所以P到边OB的距离为4.
【解答过程】解：
过P做PE⊥OB于E,
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE=4
即P到OB的距离为4.
【答案】A
2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=5，则PQ的最小值为 ．
【知识点】角平分线的性质和点到直线的距离
【思路点拨】因为Q在OM上，当PQ⊥OM时，PQ的长度最小.
【解答过程】解：
过P作OM的垂线段，垂足为B,因为PQ最小，则B点与Q点重合，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM
∴PQ=PA=5.
【答案】5
3．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，AE平分∠BAC，交CD于点E，AC=6，DE=3，则△ACE的面积等于（ ）
A．10B．9C．8D．7
【知识点】角平分线的性质和三角形的面积公式
【思路点拨】过E点作AC的垂线EF,垂足为F，根据角平分线的性质可得EF=ED=3,则△ACE的面积等于9.
【解答过程】解：
过E作AC的垂线段EF垂足为F,
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB,EF⊥AC,
∴DE=EF
∵DE=3，
∴EF=3
又∵AC=6
∴S△ACE=
AC·EF=9
【答案】B
4.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则
（1）PD＝PE，
（2）OD＝OE，（3）∠DPO＝∠EPO，（4）PD＝OD中正确的有（）个.
A．4B．3C．2D．1
【知识点】角平分线的性质和三角形全等.
【思路点拨】由角平分线的性质可得PE=PD,易证△OPE≌△OPD（HL）,所以OE=OD,∠DPO＝∠EPO.
【解答过程】解：
∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD,
即
（1）正确
∵PE=PD,OP=OP
∴△OPE≌△OPD（HL）,
∴OE=OD,∠DPO＝∠EPO.
即
（2）（3）正确.
【答案】B
5．如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，S△ACD:
S△BCD=3:
2，则AC：
BC=_________.
【知识点】角平分线的性质和三角形的面积.
【思路点拨】已知角平分线常常考虑在角平分线上找一个合适的点，过这个点作角两边的垂线段.
【解答过程】解:
过D点分别AC和BC作垂线段DE和DF,垂足为E和F,
∵DC平分∠ACB，DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF
【答案】3:
2
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC,AB＝4cm，AC=3cm，BC=5cm，则△DCE的周长为________cm．
【知识点】角平分线的性质和三角形全等.
【思路点拨】根据角平分线的性质可得AD=DE,易证△ABD和△EBD全等，则对应的边AB=EB,EC=BC-BE=BC-AB=1cm，DE+DC=AD+DC=AC=3cm.
【解答过程】
【答案】4
能力型师生共研
1..如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，D到AB的距离为9，
BD∶DC=5∶3．试求BC的长．
【知识点】角平分线的性质.
【思路点拨】过D作AB的垂线DE,垂足为E,根据角平分线的性质可得DC=DE,D到AB的距离为9,即DE=9,所以DC=9,因为BD∶DC=5∶3，所以BD=15,BC=24.
【解答过程】解：
过D作AB的垂线DE,垂足为E,
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC,DE⊥AB,
∴DC=DE
∵D到AB的距离为9，
∴DE=9
∴DC=9
∵BD∶DC=5∶3，
∴DB=15
∴BC=DC+DB=24.
2.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为 ．
【知识点】角平分线的性质和三角形的面积公式.
【数学思想】等积法.
【思路点拨】利用割补法把△ABC分成△ABP、△BCP和△ACP，它们的高都为1
【解答过程】解：
过P分别作AC,BC,AB的垂线段PG,PI,PH.
∵AP平分∠CAB，
∴PG=PH，
同理可得：
PG=PI,PI=PH
∴PG=PI=PH
∵PH=1
∴PG=PI=PH=1
∵S△ABC=S△ACP+S△BCP+S△ABP
【答案】5
探究型多维突破
1.如图，∠AOB的平分线为OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．
【知识点】角平分线的性质和三角形全等.
【思路点拨】利用角平分线的性质构造PM和PN所在的两个三角形全等.
【解题过程】
解：
PE=PF，理由如下：
过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90°，
∵OP平分∠AOB，
∴PM=PN，
∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
∴△PEM≌△PFN，
∴PE=PF．
2.在△ABC中，∠C=900,AD平分∠BAC,AB=5,AC=4,BC=3,求BD长.
【知识点】角平分线的性质.
【数学思想】等积法.
【思路点拨】过D点作DE⊥AB于E,根据角平分线的性质可得DC=DE,由S△ABC=S△ACD+S△ABD,可以求出DC=DE=
，所以DB=BC-DC=
.
【解题过程】
解：
过D点作DE⊥AB于E
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=DC
∵S△ABC=S△ACD+S△ABD,
∴DE=DC=
∴DB=BC-DC=
自助餐：
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，则点D到BC的距离为________cm．
【知识点】角平分线的性质.
【思路点拨】过D作BC的垂线DE，垂足为E,由角平分线的性质可以AD=DE
【解答过程】解：
过D作BC的垂线DE，垂足为E,
∵BD平分∠ABC，AD⊥AB，DE⊥BC，
∴AD=DE，
∵AD＝2cm，
∴DE=2cm，
即D到BC的距离为2cm
【答案】2
2．（临沂市）如图，OP平分
，
，
，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）
A．
B．
平分
C．
D．
垂直平分
【知识点】角平分线的性质和全等三角形的性质.
【思路点拨】由角平分线的性质可得AP=BP,易证
所以OA=OB,
平分
.
【解答过程】∵OP平分
，
，
，
∴PA=PB
∴A正确
∵OP=OP,PA=PB,
∴OA=OB,∠APO=∠BPO
∴B和C正确
AB⊥OP可以证明，但是AB平分OP无法证明.
【答案】D
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=5cm,则△DEA的周长为（）．
A.9cmB.6cmC.5cmD.不能确定
【知识点】角平分线的性质和全等三角形的性质.
【思路点拨】因为BD平分∠ABC，所以DC=DE，易证BC=BE，AD+DE+AE=AD+DC+AE=BC+AE=BE+AE=AB=5cm.
【解答过程】
【答案】C
4.如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，DC=BC，求∠ADC+∠ABC的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【数学思想】转化的数学思想.
【思路点拨】过C作CF⊥AB于F，CE⊥AD交AD延长线于E，根据角平分线性质求出CE=CF，，根据HL证Rt△DEC≌Rt△BFC，推出∠ABC=∠EDC即可．
【解答过程】
解：
过C作CF⊥AB于F，CE⊥AD交AD延长线于E，
则∠E=∠CFB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴CE=CF，
在Rt△DEC和Rt△BFC中
∴Rt△DEC≌Rt△BFC（HL），
∴∠ABC=∠EDC，
∵∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°
5.如图，△ABC中，∠B=60°，∠BAC，∠ACB的平分线AD，CE交于点O，说明AE+CD=AC的理由．
【知识点】角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理．
【数学思想】转化的数学思想.
【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论．
【解答过程】
证明：
在AC上取AF=AE，连接OF，
∵AD平分∠BAC
∴∠EAO=∠FAO
则△AEO≌△AFO（SAS），
∴∠AOE=∠AOF；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA+∠DAC=
（180°-∠B）=60°，
则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；
∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等）
则∠COF=60°，
∴∠COD=∠COF，
又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，
∴△FOC≌△DOC（ASA），
∴DC=FC，
∵AC=AF+FC，
∴AC=AE+CD．
6．如图，已知AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线交于E，过E的直线交AD于D，交BC于C，求证:
DE=EC．
【知识点】角平分线的定义和全等三角形的综合应用.
【数学思想】转化的数学思想.
【思路点拨】构造DE或EC所在边的两个三角形全等（构造一个三角形与△ADE全等或△BCE）.
【解答过程】证明：
在AB上截取AF=AD.∵AE是∠DAF的平分线（已知）
∴∠DAE=∠FAE（角平分线定义）
在△DAE和△FAE中，
∴△DAE≌△FAE（SAS）
∴DE=FE（全等三角形对应边相等）∴∠D=∠AFE（全等三角形对应角相等）
∵∠AFE+∠BFE=1800（邻补角定义）
又AD∥BC（已知）∴∠D+∠C=1800（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠BFE=∠C（等角的补角相等）
∵BE是∠ABC的平分线（已知）∴∠FBE=∠CBE（角平分线定义）
在△FBE和△CBE中
∴△FBE≌△CBE（AAS）
∴FE=CE（全等三角形对应边相等）
∴DE=EC．
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