学大精品讲义五下数学含答案第4讲最大公因数与最小公倍数.docx
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学大精品讲义五下数学含答案第4讲最大公因数与最小公倍数
第四讲最大公因数和最小公倍数
课程目标
1、学生掌握求几个数的最大公因数和最小公倍数的方法；
2、学会应用最大公因数和最小公倍数的方法解决实际问题。
课程重点
1、学生掌握求几个数的最大公因数和最小公倍数的方法；
2、学会应用最大公因数和最小公倍数的方法解决实际问题。
课程难点
学会应用最大公因数和最小公倍数的方法解决实际问题
教学方法建议
在探索学习的过程中，使学生体验猜想、比较、归纳。
一、知识梳理
1、最大公因数
几个数共有的因数叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
a和b的最大公因数一般用（a，b）表示。
如：
1，2，4是8和12的公因数，4是8和12的最大公因数，即（8，12）=4.
2、最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
a和b的最小公倍数一般用[a,b]表示。
一、方法归纳
1、求最大公因数的方法
①特殊方法：
如果两个数互质，那么它们的最大公因数是1。
如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最大公因数是较小的那个数。
②分解质因数法
几个自然数的最大公因数，必须包含这几个自然数全部公有的质因数，因此，可先把各个自然数分解质因数，再把这几个自然数全部公有的质因数选出，然后连乘起来，所得的积就是要求的最大公因数。
例.用分解质因数法解18与12的最大公约数。
（1）
所以18=2×3×3，
（2）因为：
所以12=2×2×3，
所以18和12的最大公约数是：
2×3=6。
③短除法
先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。
2、找最小公倍数的方法
①特殊方法
如果两个数互质，那么它们的最小公倍数就是这两个数的积。
如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大的那个数。
②分解质因数法
求两个自然数的最小公倍数，先把每个自然数分解质因数，再把这两个自然数公有的一切质因数和其中每个自然数独有的质因数全部连乘起来，积就是它们的最小公倍数。
例：
用分解质因数法解18与12的最小公倍数。
（1）
所以18=2×3×3，
（2）因为：
所以12=2×2×3，
所以18和12的最小公倍数是：
2×3×3×2=36
③短除法
先用这几个数的公因数去除每一个数，再用部分数的公因数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数
④利用最大公因数求最小公倍数
因为两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以，我们可以用这两个数的乘积除以它们的最大公因数，便可得到这两个数的最小公倍数。
三、课堂精讲
（一）公因数与最大公因数
例1、24与16的最大公约数是．
【规律方法】可利用短除法或分解质因数法求解，考查了求两个数的最大公约数的方法的灵活应用。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
1、写出下面每组数的最大公因数。
（3，15）=（9，10）=（45，60）=
（45，18）=（6，10）=（5，10）=
例2、一张长方形的纸，长75厘米，宽60厘米。
现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？
如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？
【规律方法】因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公因数。
75和60的公因数有1、3、5、15，所以有4种裁法。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
2、把135厘米长、105厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？
例3、一个长方体木块，长270厘米，宽18厘米，高15厘米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少厘米？
【规律方法】要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公因数。
现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公因数。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
3、一个长方体木块的长是45厘米、宽36厘米、高24厘米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体的体积最大是多少立方厘米？
例4、有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？
【规律方法】要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公因数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公因数。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
4、有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。
如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？
（二）公倍数与最小公倍数
例5、18、24与36的最小公倍数是．
【规律方法】可利用短除法或分解质因数法求解，考查了求几个数的最小公倍数的方法的灵活应用。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
5、写出下面每组数的最小公倍数。
[3，15]=[9，10]=[45，60]=[45，18]=[6，10，12]=．
例6.甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。
甲3天去一次，乙4天
去一次，丙5天去一次。
有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？
【规律方法】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。
因为3、4、5的最小公倍数是60，所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
6、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。
当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？
例7、一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。
要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？
【规律方法】把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。
现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
7、用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？
例8、有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。
这个自然数最小是多少？
【规律方法】根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除，即10、7和4的最小公倍数，然后再减去3就能得到所求的数了。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】C
8、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行少1人，7人一行少5人，11人一行
少9人。
六年级最少多少人？
（三）最大公因数和最小公倍数的综合运用
例9、两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
【规律方法】根据“两个自然数公有的质因数（最大公因数）和每个自然数独有的质因数乘起来的积就是它们的最小公倍数。
”可先求出每个自然数独有的质因数乘起来的积，再来求解。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】C
9、两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
四、课堂运用
一、填空题。
1、相邻的两个自然数，最大公因数是（），最小公倍数是（）。
2、甲是30，乙是20，甲和乙的最大公因数是（），甲和乙的最小公倍数是（）
3、所有自然数的公因数为（）。
4、如果m和n是互质数，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
5、两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
6、某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（）。
7、已知A＝2×2×3×5，B＝2×3×7，那么A、B的最大公因数是；最小公倍数是；二、选择题
1、15的最大约数是（），最小倍数是（）。
①1②3③5④15
2、在14＝2×7中，2和7都是14的（）。
①质数②因数③质因数
3.有一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（）。
①6②12③24④144
4.a=2×2×5,b=2×3×5,那么，a和b的最大公因数是（）。
①2②5③10④6⑤15
5.一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（）。
①120个②90个③60个④30个6、把66分解质因数是（）。
①66＝1×2×3×1②66＝6×11③66＝2×3×11④2×3×11＝66
7、甲乙两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144。
已知甲数是18，那么，乙数应是
（）。
①16②82③48④64
8、幼儿园的大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友。
按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（）个小朋友。
①6②7③8④9
9、在下面算式中,被除数能被除数整除的有（）。
①26÷5＝5.2②35÷7=5③0.9÷0.3=3
三、判断题。
1、互质的两个数必定都是质数。
（）
2、两个不同的奇数一定是互质数。
（）
3、最小的质数是所有非0偶数的最大公因数。
（）
4、有公因数1的两个数，一定是互质数。
（）四、应用题。
1、学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，
练习本多2本，四年级最多有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？
2、有三根木料分别是8米、12米、6米，要把它们截成同样长的木料，不能有剩余，每段截成的木料最长是多少米？
3、一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？
4、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？
每班各可以分几组？
5、有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？
在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？
6、一块砖底面长22厘米,宽是10厘米,要铺成一个正方形地面（不要折断,只能铺整砖）至少要多少块砖?
7、两个数的最大公约数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？
8、五
（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。
请你算一算，五
（1）班有多少位同学？
五、课后自测练习
一、选择题。
1、如果自然数a和b的最大公因数是1，那么a和b的最小公倍数是（）A．abB、AC、bD、无法确定
2、一张长24厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余．最少可以分成（）
A、12个B、15个C、9个D、6个
3、正方形的边长是质数，它的周长是（）A、质数B、合数
C、可能是质数，也可能是合数D、既不是质数也不是合数
4、某校五年级（共3个班）的学生排队，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人．这个学校五年级至少有（）名学生．
A、90B、107C、105D、210
5、一个自然数的倍数总是（）它的因数．A、大于B、小于C、等于D、不小于
6、一个两位数除以5余3，除以7余5，这个两位数最大是（）A、72B、37C、68D、33
二．填空题。
1、将18分解质因数，它与12的最大公因数是．
2、同时是2、3、5的倍数中，最小的三位数是．最大的两位数是．
3、数a是数b的因数，a和b的最大公因数是，最小公倍数是．如果a和b只有公因数1，那么a和b的最大公因数是，最小公倍数是．
4、自然数a、b，如果a除以b的商是5，那么，这两个数的最大公因数是，最小公倍数是．
5、按要求填空
11和7
18和6
8和12
9和21
28和12
最大公因数
最小公倍数
三、解答题。
1、有24朵红花、9朵黄花要分给几个同学，要求每人分得的花的颜色和数量都相同，最多可以分给多少人？
每人几朵红花？
2、有两根绳子，一根长42米，另一根长48米．现在要把它们剪成同样长的小段，每段长要尽可能长，且没有剩余．每段绳子长多少米？
一共能剪成多少段？
3、有一块长24分米，宽16分米的布，把它平均剪成大小一样的正方形布料，从不浪费的角度考虑，小正方形布料的边长最大为多少分米？
能剪下这样的布料多少块？
4、男生有48人，女生有36人，男女生分别排队，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？
这时男、女生分别有几排？
5、把一张长120厘米，宽80厘米的长方形纸裁成相同大小的正方形（纸无剩余），正方形的边长最大是多少厘米，至少能裁成多少张？
6、五
（1）班学生人数不超过50人，在分小组做游戏时，可以分为每组6人或者每组8人，两种分法都刚好分完．这个班的学生可能有多少人？
7、某公共汽车站有三条线路通往不同的地方．第一条线路，每隔5分钟发车一次，第二条
线路每隔6分钟发车一次，第三条线路每隔10分钟发车一次．三条线路同一时间发车后，再过多少分钟又同时发车？
8、有一筐苹果，4个4个数余1个，5个5个数也余1个，6个6个数还余1个，这筐苹果至少有多少个？
第四讲最大公因数和最小公倍数【答案】
课堂精讲：
例1、8
【搭配课堂训练题】
1、3115925
例2、75的因数有：
1、3、5、15、25、75
60的因数有：
1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60
75和60的公因数有：
1、3、5、15
∴有4种裁法
当边长最大即15厘米时，裁得的正方形面积最大
（75÷15）×（60÷15）=20（块）
答：
有44种裁法；要使裁得的正方形面积最大，可以裁20块。
【搭配课堂训练题】2、（135，105）=15
（135÷15）×（105÷15）=63（块）
答：
裁成同样大小的正方形，至少能裁63块。
例3、∵（270，18，15）=3
∴正方体的棱长最大是3厘米
答：
正方体的棱长最大是3厘米.
【搭配课堂训练题】
3、∵（45，36，24）=3
∴要使正方体的体积最大时，棱长3厘米3×3×3=27（立方厘米）
答：
正方体的体积最大是27立方厘米。
例4、∵（240，200，480）=40
∴每小段最长是40厘米
答：
如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是40厘米。
【搭配课堂训练题】
4、∵（60，40，24）=4
∴正方体的棱长最长是4厘米
答：
如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是4厘米。
例5、72
5、15901809060
例6、∵[3，4，5]=60
∴至少再过60天他们三人又在图书馆相会
答：
至少再过60天他们三人又在图书馆相会
【搭配课堂训练题】
6、∵[10，15，20]=60
∴至少要过60分钟又这三种路线的车同时发车
答：
当这三种路线的车同时发车后，至少要过60分钟又这三种路线的车同时发车。
例7、∵[20，12，6]=60
∴要堆成正方体砖头块数最少，正方体棱长为60厘米
（60÷20）×（60÷12）×（60÷6）=150（块）答：
要堆成正方体至少需要这样的砖头150块。
【搭配课堂训练题】7、∵[9，6，7]=126
∴要堆成正方体砖头块数最少，正方体棱长为126厘米
（126÷9）×（126÷6）×（126÷7）=5292（块）
答：
要堆成正方体至少需要这样的砖头5292块。
例8、[10，7，4]=140
140-3=137
答：
这个自然数最小是137。
【搭配课堂训练题】8、[3，7，11]=231
231+2=233（人）
答：
六年级最少233人。
例9、90÷15=6
∵6=1×6=2×3
∴这两个数是:
1×15=15和6×15=90或者是:
2×15=30和3×15=45
答：
这两个数分别是15和90或者30和45。
【搭配课堂训练题】9、90÷9=10
∵10=1×10=2×5
∴这两个数是:
1×9=9和10×9=90或者是:
2×9=18和5×9=45
答：
这两个数分别是9和90或者18和45。
课堂运用
一、填空题。
1、
1
它们的乘积
2、
10
60
3、
1
4、
1
mn
5、
1
110
6、
106
7、
6
420
二、选择题
1、④
④
2、②
3、②
4、③
5、③
6、③
7、③
8、①
9、②
三、判断题。
1、×2、×3、√4、×四、应用题。
1、40-4=36（支）
50-2=48（本）
∵（36,48）=12
∴四年级最多有12名三好学生36÷12=3（支）
48÷12=4（本）
答:
四年级最多有12名三好学生；他们各得到3支圆珠笔,4本练习本。
2、∵（8，12，6）=2
∴每段截成的木料最长是2米
答：
每段截成的木料最长是2米。
3、∵（45，30）=15
∴锯成的正方形的边长最长是15厘米。
答：
锯成的正方形的边长最长是15厘米。
4、∵（24，36，42）=6
∴最多每组6人24÷6=4（组）
36÷6=6（组）
42÷6=7（组）
答：
最多每组6人，三个班分别分为4组、6组和7组。
5、∵（336，252，210）=42
∴最多可以分成42份同样的礼物336÷42=8（支）
252÷42=6（块）
210÷42=5（个）
答：
最多可以分成42份同样的礼物，在每份礼物中，铅笔有8支，橡皮有6块，文具盒有
5个。
6、∵[22，10]=110
∴要堆成正方形砖块数最少，正方形的边长为110厘米
（110÷22）×（110÷10）=55（块）
答：
要铺成一个正方形地面至少要55块砖。
7、720÷60=12
180÷60=3
∵12=3×4
∴另一个数是：
4×60=240答：
另一个数是240。
8、[4，5]=20
20×3-2=58（人）
答：
五
（1）班有58位同学.
课后自测练习
一、选择题。
1、A2、A3、B4、B5、D6、C二、填空题。
1、18=2×3×3，6
2、120，90
3、a，b，1，ab4、b，a
5、
11和7
18和6
8和12
9和21
28和12
最大公因数
1
6
4
3
4
最小公倍数
77
18
24
63
84
三、解答题。
1、24=2×2×2×3，
9=3×3，
所以24和9的最大公因数是：
3；每人红花的朵数：
24÷3=8（朵）．
答：
最多可以分给3人，每人8朵红花．2、42=2×3×7，
48=2×2×2×2×3，
所以42与48最大公因数是：
2×3=6，
即每小段最长是6米，42÷6+48÷6，
=7+8，
=15（段）；
答：
每小段最长是6米，一共能剪成15段。
3、24=2×2×2×3，
16=2×2×2×2，
所以24和16的最大公因数是：
2×2×2=8，即小正方形布料的边长最大为：
8分米；
（24÷8）×（16÷8），
=3×2，
=6（块）；
答：
小正方形布料的边长最大为8分米，能剪下这样的布料6块．4、48=2×2×2×2×3，
36=2×2×3×3，
所以48和36的最大公因数是：
2×2×3=12，
即每排最多有12人，
男生分的排数：
48÷12=4（排），女生分得排数；36÷12=3（排）；
答：
每排最多有12人；这时男、女生分别有4排、3排5、∵（120，80）=40
∴裁成的正方形边长最大是40厘米120×80÷（40×40），
=9600÷1600，
=6（个）；
答：
裁成的正方形边长最大是40厘米，至少可以裁成6个这样的正方形．
6、先求6和8的最小公倍数：
6=2×3，8=2×2×2；
6和8的最小公倍数是：
2×2×2×3=24；
6和8的公倍数有：
24，48，72…不超过50的有：
24和48．
答：
这个班的学生可能有24或48人．
7、某公共汽车站有三条线路通往不同的地方．第一条线路，每隔5分钟发车一次，第二条
线路每隔6分钟发车一次，第三条线路每隔10分钟发车一次．三条线路同一时间发车后，再过多少分钟又同时发车？
∵[5，6,10]=30
∴再过30分钟又同时发车
答：
再过30分钟又同时发车。
8、[4，5,6]=60
60+1=61（个）
答：
这筐苹果至少有61个。
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