福建省福州教育学院附属中学届高三月考数学文试题+Word版含答案.docx
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福建省福州教育学院附属中学届高三月考数学文试题+Word版含答案
2017年福州教院附中高三第三次月考数学（文科）试题
班级：
座号：
姓名：
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.若集合，则
A.
B.
C.
D.
2.在中，角所对的边分别为，那么是的条件．
A.充分且必要
B.充分不必要
C.必要不充分
D.不充分且不必要
3.若复数在复平面内对应的点关于x轴对称，且，则
A.
B.
C.
D.
4.函数图象的一个对称中心为
A.
B.
C.
D.
5.双曲线的两条渐近线夹角是
A.
B.
C.
D.
6.设是等差数列，，则这个数列的前8项和等于
A.12
B.24
C.36
D.48
7.设，则的大小关系是
A.
B.
C.
D.
8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A.B.
C.D.2
9.函数的大致图象是
A.
B.
C.
D.
10.在中，分别为三个内角A、B、C所对的，若，则的面积为
A.
B.
C.
D.
11.椭圆的中心在原点，分别为左、右焦点，分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率等于
A.
B.
C.
D.
12.已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量与的夹角为，且，则______．
14.设变量满足条件，则目标函数的最小值为______．
15.已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C被直线所截得的弦长为4，则圆C的标准方程为__________________．
16.底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为__________．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17.设三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且其中角B为锐角．
求B的大小；
求的取值范围．
18.已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且
求数列和的通项公式
求前n项和
19.
在四棱锥中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点底面为BE的中点．
Ⅰ求证：
平面ACF；
Ⅱ求证：
；
Ⅲ若，求三棱锥的体积．
20.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线的准线上，且椭圆C过点，直线与椭圆C交于两个不同点．
求椭圆C的方程；
若直线的斜率为，且不过点P，设直线的斜率分别为，求证：
为定值．
21.已知函数．
Ⅰ若函数的最小值为0，求a的值；
Ⅱ设，求函数的单调区间；
Ⅲ设函数与函数的图象的一个公共点为P，若过点P有且仅有一条公切线，求点P的坐标及实数a的值．
请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：
只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为与C交于A、B两点．Ⅰ求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
Ⅱ设点，求的值．
23.已知函数
Ⅰ当时，解关于x的不等式
Ⅱ若函数存在零点，求实数a的取值范围．
（稿纸）
【答案】
1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.B 11.D 12.A
13.
14.
15.
16.
17.解：
由根据正弦定理，得，故．
因为角B为锐角，故分
分
，
故．
故的取值范围是分
18.解：
，
，
，
又，
；分
，
，
；分
19.证明：
Ⅰ连接由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．
又F为BE的中点，
．
又面面ACF，
平面分
由底面底面ABCD，
，
由ABCD是正方形可知，，
又、平面ACE，
平面ACE，
又平面ACE，
分
解：
取BC中G，连结FG，
在四棱锥中，底面ABCD，
是的中位线，底面ABCD，
，
三棱锥的体积．分
20.解：
抛物线的准线方程为，由题意知．
故设椭圆C的方程为．
则由题意可得，解得．
故椭圆C的方程为．分
证明：
直线的斜率为，且不过点，可设直线．
联立方程组，消y得又设，
故有，
所以
，所以为定值0．分
21.解：
Ⅰ，
，
时，，函数在递增，无最小值，
时，，令，解得：
，令，解得：
，
函数在递减，在递增，
故函数在处取得最小值，
，解得：
；分
Ⅱ
，
，
当时，，定义域内递增；
当时，
令或，
当时，定义域内递增；
当时，当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，定义域内递增．分
Ⅲ符合题意，理由如下：
此时
设函数与上公共点，
依题意有，
即得到，构造函数
，可得函数在递增，在递减，而
方程有唯一解，即分
22.解：
Ⅰ曲线C的参数方程为为参数，普通方程为C：
；
直线l的极坐标方程为，即：
分
Ⅱ点在l上，l的参数方程为为参数
代入整理得，，
由题意可得 分
23.解：
Ⅰ当时，不等式可化为
或或分
解得或，
不等式的解集为或分
Ⅱ若函数存在零点，则
，
，解得．分
【解析】
1.解：
由A中不等式变形得：
，
解得：
，即，
，
，
故选：
C．
求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的并集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.解：
在三角形中，若，由正弦定理，得．
若，则正弦定理，得，
所以，是的充要条件．
故选：
A
在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．
3.解：
，又复数在复平面内对应的点关于x轴对称，
，
则．
故选：
B．
由已知求得，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
4.解：
令，可得对称中心为，
，对称中心为，
故选：
C．
由题意，令，可得对称中心为，即可得出结论．
本题考查正弦函数的对称中心，体现了转化的数学思想，比较基础．
5.解：
双曲线的两条渐近线的方程为：
，
所对应的直线的倾斜角分别为，
双曲线的两条渐近线的夹角为，
故选B．
由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．
本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．
6.解：
是等差数列，，
，解得，
又，
，
则这个数列的前8项和．
故选：
D．
利用等差数列的性质、求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.解：
由于，
故有，
故选B．
根据，从而得到的大小关系．
本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，属于基础题．
8.解：
由已知中的三视图可得：
该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，
也可以看成是一个半圆柱与三棱柱的组合体，
其底面面积，
高，
故几何体的体积，
故选：
C
由已知中的三视图可得：
该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体体积公式，可得答案．
本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题．
9.解：
由题意，，排除B，
，排除A，
，排除C，
故选D．
利用排除法，即可得出结论．
本题考查函数的图象，考查排除法的运用，比较基础．
10.解：
在中由正弦定理可知：
，
由，则，
，
由余弦定理可知：
，即，
解得，
的面积，
故选：
B．
由题意和正余弦定理可得的值，由同角三角函数的基本关系可得，代入三角形的面积公式计算可得．
本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题．
11.解：
如图所示，
把代入椭圆方程，可得，
又，
，
，化为：
．
，即．
故选：
D
由已知可得，又，由，得，化为，即可求解．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.解：
函数在上是增函数，
可得：
，解得：
．
故选：
A．
利用函数的单调性，列出不等式组，求解即可．
本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查计算能力．
13.解：
；
又；
．
故答案为：
．
可先求出，从而根据即可求出数量积的值．
考查根据向量坐标求向量长度的方法，以及数量积的计算公式．
14.
解：
由得
作出不等式组，对应的平面区域如图阴影部分：
平移直线，
由图象可知当直线，过点A时，直线的截距最大，此时z最小，
由，解得．
代入目标函数，
得，
目标函数的最小值是，
故答案为：
．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
15.解：
令得，所以直线，与x轴的交点为
所以圆心到直线的距离等于，
因为圆C被直线所截得的弦长为4，
所以
所以圆C的方程为；
故答案为：
．
欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆C的圆心是直线与x轴的交点，求出圆心；圆C被直线所截得的弦长为4，求出半径，即可求出圆C的方程．
本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．
16.
解：
正四棱锥的外接球的球心在它的高上，
记为，或此时O在的延长线上，
在中，得球的表面积
故答案为：
．
画出图形，正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为O，求出，解出球的半径，求出球的表面积．
本题考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题．
17.由根据正弦定理，得，进而得出．
利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．
本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.根据等差数列与等比数列的概念即可分别求出公差与公比，从而求出通项公式；
，利用错位相减即可求出前n项和；本题考察了等差数列与等比数列的概念，以及利用错位相减求特殊数列的前n项和，属于中档题．
19.Ⅰ利用线面平行的判定定理证明平面ACF；
Ⅱ利用线面垂直的判定定理先证明平面ACE，然后利用线面垂直的性质证明；
Ⅲ取BC中G，连结FG，推导出底面ABCD，由此能求出三棱锥的体积．
本题主要考查了空间直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用，要求熟练掌握相应的定理，是中档题．
20.求出抛物线的准线方程为，推出，故设椭圆C的方程为点在椭圆上，列出方程组求解可得椭圆C的方程．
直线的斜率为，且不过点，设直线联立方程组，消y，设，利用判别式以及韦达定理，表示，推出定值．
本题考查抛物线以及椭圆的位置关系的综合应用，直线与椭圆的位置关系的应用，定值问题的处理方法，考查计算能力．
21.Ⅰ函数整理为，求导，由题意可知，函数的最小值应在极值点处取得，令，代入求解即可；
Ⅱ函数整理为，求导得，对参数a进行分类讨论，逐一求出单调区间；
Ⅲ设出公共点坐标的坐标，求出坐标间的关系，得到，通过讨论函数的单调性解方程即可．
本题考查了利用导函数求函数的单调性问题，难点是对导函数中参数的讨论问题．
22.Ⅰ利用三种方程互化方法，曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
Ⅱ点在l上，l的参数方程为为为参数，代入整理得，，即可求的值．
本题考查三种方程互化，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．
23.Ⅰ当时，不等式等价变形，可得结论；
Ⅱ利用，即可求实数a的取值范围．
本题考查绝对值不等式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
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