普通高中课程标准实验教科书数学3人教A版.docx

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普通高中课程标准实验教科书数学3人教A版

《普通高中课程标准实验教科书·数学3》（人教A版）

算法初步简介

算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础．随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想也正在成为普通公民的常识，成为现代人应具备的一种基本数学素养．

一、课程目标与内容安排

1．课程目标

算法是高中数学课程中的新增内容，其思想是非常重要的，但并不神秘．例如，运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就体现着算法．在算法教学中，学生将学习算法的初步知识，并通过对具体算法案例的分析，体验算法在解决问题中的重要作用，培养算法基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理的思考与数学表达的能力．

具体来说，通过算法的学教，应当使学生达到以下目标：

（1）通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），了解算法的含义，体会算法的思想．

通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达算法并解决问题的过程．在具体问题的解决过程中（如质数的判定、用“二分法”求方程的近似解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：

顺序、条件分支、循环．

（2）理解输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句等基本算法语句，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，进一步体会算法的基本思想．

（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例（如求最大公因数的“更相减损术”、求多项式的值的秦九韶算法、求圆周率的“割圆术”等），体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感．

2.知识结构

（1）知识框图：

（2）课时分配

本章包括3节，约需12课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：

1.1算法与程序框图　约4课时

1.2基本算法语句　约3课时

1.3算法案例　约4课时

阅读与思考——割圆术

小结　约1课时

3.内容安排

（1）尽管目前对算法的表述多种多样，但在对各种表述进行比较后我们能发现算法的基本特征以及由这些基本特征所表达的算法内涵。

因此，教科书通过概括解二元一次方程组的步骤，以“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤”来介绍算法的含义．在此基础上，又通过质数的判定、用二分法求方程的近似解这些学生熟悉的问题，分析其算法步骤以帮助学生进一步理解算法的基本含义并渗透算法思想．

（2）在“算法的含义”中，是通过解决具体问题的算法步骤来表达算法的．这种形式所呈现的算法通俗易懂，但是不够准确，算法的基本结构也不清晰．因此，教科书通过以框图形式表示“质数的判定”的算法，介绍了算法的基本逻辑结构（顺序结构、条件结构、循环结构），以及用程序框图表示算法的方法，使学生认识到程序框图表示的算法步骤更直观，也更准确．

（3）顺序结构、条件结构、循环结构是算法的三种基本逻辑结构，理论上任何复杂的算法都可以用这三种基本逻辑结构来实现．框图是理解和表达这三种基本逻辑结构的最好方式，同时，这三种基本逻辑结构也是程序框图的构成要素．因此，教科书将这三种基本逻辑结构的教学与程序框图的教学结合起来，这不仅降低了这三种基本逻辑结构的学习难度，也为学习程序框图的画法提供了前提条件．所以，三种基本逻辑结构与程序框图也就成了算法内容的教学重点．

（4）为了在教学中突破程序框图的画法这一算法教学难点，教科书结合“用二分法求方程的近似解”这一算法，详细介绍了程序框图的画法，并总结了画程序框图的以下步骤：

第一步：

用自然语言将算法步骤表达出来．

第二步：

将每一个算法步骤所包含的逻辑结构找出来并用框图表示，得到该步骤的程序框图．

第三步：

将所有步骤的程序框图用流程线连接起来并加上终端框，得到表示算法的程序框图．

（5）当今世界，越来越多的事情交付计算机完成，而计算机完成任何一项任务都需要算法，因此算法是计算机科学的基础．但是，用自然语言或程序框图描述的算法计算机是无法“理解”的，因此我们还需要将算法用计算机能够理解的语言表达出来，这就是通常所说的程序与程序设计，所用的语言称为程序设计语言（programminglanguage）．程序设计语言是由一些有特定涵义的程序语句构成，与程序框图中介绍的算法三种基本逻辑结构相对应．教科书介绍了输入输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句，尽管不同的程序设计语言有不同的语句形式和语法规则，但基本结构是相同的．基于这样的原因，教科书所介绍的语句形式及程序稍加修改就可以变为某些具体的程序设计语言形式的程序而在计算机上加以执行．

（6）与其它数学内容的学习相比较，算法学习的一个最大的特点就是操作实践性强．因此，教科书在安排教学内容时，不仅在1.3节专门安排了“辗转相除法”、“秦九韶算法”与“进位制”三个算法案例，而且大多数算法知识的安排都是结合具体例子进行的．例如用“二元一次方程组的解法”介绍算法的含义；用“质数的判定”的程序框图介绍程序框、流程线与基本逻辑结构；以“用二分法求方程的近似解”介绍程序框图的画法；用“计算1＋2＋…＋100的值”介绍直到型与当型两种不同的循环结构与循环语句，等等．

二、编写意图

1．重视算法的内涵与基本特征

（1）在算法概念的表述中，强调了在“数学中”，这就为教学时选取教学内容（特别是具体的算法案例）指定了范围，教科书也因此只针对数学上的算法案例来阐述算法的概念。

这样处理，就是为了避免将算法的概念泛化，以至于教学目标不落实。

（2）“步骤”是算法的最显著的特征，它蕴含着“有序性”。

同时，算法的步骤不能不明确，也就是说算法步骤具有“明确性”。

例如下列的内容中“……”就不具有算法步骤的“明确性”：

第一步，给定大于2的整数n．

第二步，用2去除n，得到余数t．若t=0，则2能够整除n，n不是质数，算法结束；否则，进入第三步．

第三步，用3去除n，得到余数t．若t=0，则3能够整除n，n不是质数，算法结束；否则，进入第四步．

……

第（n-1）步，用（n-1）去除n，得到余数t．若t=0，则（n-1）能够整除n，n不是质数，算法结束；否则，n是质数．

所以，算法的步骤每一步都应该是明确的，任何人（特别是计算机）都可以根据给定的步骤逐步执行步骤就可得出正确结论。

算法的第三个基本特征是步骤的“有限性”，也就是说任何一个算法都必须在有限步内完成。

因此，尽管算法还有其它一些特征，但“有序性”、“明确性”和“有限性”是算法的基本特征。

（3）在算法概念的表述中，“一定规则”指的是设计算法时的依据，例如“辗转相除法”和“更相减损术”是求两个正整数的最大公约数的不同依据，这些依据通常是不同的数学结论或数学方法，因而是不同的规则。

因此，根据不同的规则得到的算法就是不同的算法，这与算法是用算法步骤，还是用程序框图或程序来表示是无关的。

由此可知，在设计“求解二元一次方程组”的算法时，由于消元方法的不同也会对应不同的算法。

（4）一个算法通常有输入和输出，对于不同的输入就有不同的输出，因此，设计算法通常针对解决“某一类问题”，强调的是算法的通常态，但这不排斥把解决某一个具体问题的步骤也看成是算法。

因此，教科书在安排“求解二元一次方程组”、“质数的判定”和“用二分法求方程的近似解”三个案例时，都是先具体再一般，这不仅便于学生理解，更重要的是强调算法通常是用来解决“某一类问题”这一通常态。

（5）在算法的内涵中，最重要的是算法步骤之间的逻辑结构，它不仅是算法的基石，同是也是算法能在计算机上实现的基本保证。

虽然程序框图是表达算法逻辑结构的最直观的方法，教科书把算法的基本逻辑结构也安排在学生学习程序框图时介绍，但算法的基本逻辑结构是不依赖于程序框图而存在的。

因此，教科书在安排算法的内容时，始终重视算法的基本逻辑结构。

2．强调算法基本思想

中学阶段安排算法的学习，除学习必要的算法知识外，更重要的是使学生接受算法思想的熏陶，而不是以学习多少算法知识为目标．因此，在编写教科书时，选取最基本的算法知识作为教学内容，如算法的含义、三种基本逻辑结构（顺序结构、条件结构、循环结构）、程序框图及其画法、五种基本算法语句（输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句）和简单程序的编写，而像数组、函数、转向语句等等在程序设计中使用频率较高的知识均未作介绍，其目的就是不让学生把注意力放在更多的算法知识的学习上，而应该更多地关注算法基本知识与算法思想的提炼．

例如，在介绍循环语句时，教科书介绍了DO型与WHILE型两种不同的循环语句，但没有介绍FOR型循环语句，原因是用FOR型循环语句实现的循环结构，均可用DO型或WHILE型循环语句代替．比如设计“计算1＋2＋…＋100的值”的程序时，用DO型或WHILE型循环语句编写的程序分别是：

以上两个程序分别清楚地体现了算法中所包含的直到型循环结构与当型循环结构，并且均有控制循环的条件对应条件结构，这表明循环结构中一定包含条件结构，否则程序将进入“死循环”，这对于理解算法含义中算法步骤是“有限”的是很有帮助的．但如果用FOR型循环语句实现算法，尽管程序要简单，但不利于体会算法中的循环结构．而且，学会了前两种循环语句，对后一种循环语句的使用将是水到渠成的事情．

算法的学习让学生认识到“有计划按步骤”地完成一件事情的好处，同时也形成有条理地思考和数学化地表达思考的能力．因此，教科书在分析算法案例时，本身就遵循了“写出算法步骤、画出程序框图、编制程序”的步骤，这对于学生形成算法思想是很有帮助的．

例如，教科书给出的用“辗转相除法”求两个整数的最大公约数的算法案例的完整过程如下：

算法分析：

从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构构造算法．

算法步骤如下：

第一步，给定两个正整数m，n．

第二步，计算m除以n所得的余数r．

第三步，m=n，n=r．

第四步，若r=0,则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．

程序框图：

程序：

3．体现算法应用的广泛性

算法思想贯穿于整个高中数学课程．可以毫不夸张地讲，每一个数学问题的解决都对应着一个算法，研究数学问题的解法必然要研究算法（很多时候只是人们忽略了从算法的角度去观察、思考问题）．因此用以研究算法的内容十分丰富，同时算法在实际问题中也具有广泛的应用．所以，教科书在例题的选取中充分注意体现与已学内容联系的广泛性，比如二元一次方程组、一元二次方程的解法，用二分法求方程的近似解，数列、递推数列求和，函数值的计算，三条线段能否作成三角形等等，力求通过这样的联系使学生认识到算法思想的重要性，并逐步能够应用算法思想解决一些实际问题．

随着学生数学学习的不断深入，学生可以得到更多解决实际问题的算法．例如学习了空间向量后，对如何“求点P到平面

的距离为d”，可以写出下面的算法步骤：

第一步：

在平面

上确定一个已知点A，作出向量

；

第二步：

求出平面

的法向量n，进而得出平面

的单位法向量

；

第三步：

得出

.

又如，学习了定积分后，可以通过画出下面的程序框图表示用定积分的定义计算定积分

的近似值的算法：

在上面特例的基础上，还可以让学生画出求定积分

的近似值的一般步骤，并由此使学生更深刻地体会定积分的基本思想。

4．重视数学文化

中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就，是数学文化的重要组成部分．比如，中国古代数学著作《九章算术》中介绍了下述“约分术”：

“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”

意思是说：

若分子、分母全是偶数，则把分子、分母分别置于两边，然后由较大的数减去较小的数，并辗转相减，直到两边所得的数相等，就用这个数（等数）来约分．这个数就是分子和分母的最大公约数．

“约分术”实际上给出了求任意两个数的最大公约数的一种算法，被后人称为“更相减损术”．教科书在介绍“辗转相除法”的同时介绍了上述算法，这种方法与欧氏算法异曲同工，本质上是相同的．

除此处，还介绍了中学生容易理解的中国古代数学中的割圆术、多项式求值的秦九韶算法等等．教科书安排这些内容，不仅丰富了算法案例，同时还让学生体会到中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感．

三、教学建议

1．通过案例引导学生体会算法的含义

算法在中学数学课程中是一个全新的内容，教科书只是对它的含义作了描述，而没有给出明确的定义．因此，理解算法的含义一定要从具体实例出发，使学生明确算法实际上就是解决问题的一种程序性方法，它通常指向某一个或一类问题．在教学过程中，力求使学生学会用自然语言叙述算法，用程序框图表示算法，尽可能通过算法语句编写程序使计算机执行算法．

2．突出教学重点，突破教学难点，体会算法思想

尽管自然语言描述的算法步骤、程序框图和程序都可以表示算法，但是它们在中学算法课程中的地位是不一样的．教学时，切忌将算法课变成程序设计课，应该抓住构成算法的三种基本逻辑结构这个核心，突出用程序框图表示算法这个教学重点，突破程序框图的画法这个难点，理解算法的三种基本逻辑结构和基本算法语句的对应关系，通过具体算法案例所蕴涵的算法思想，重点培养学生利用算法解决问题的意识．并明确自然语言描述的算法步骤、程序框图和程序是算法的不同表现形式，它们体现了算法逐渐“精确”的过程．

3．充分关注算法思想在其它数学知识中的渗透

不仅在算法教学时注意将算法与其它数学内容联系，而且还应充分关注将算法思想渗透到后续的高中数学课程的学习中去，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题．

例如，在编写概率的教学内容时，教科书安排了以下例子：

“天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40％.这三天恰有两天下雨的概率是多少？

”

我们可以利用整数型随机数设计算法估计所需的概率，以下是算法步骤：

第1步，确定随机模拟试验的次数n，并令m=0，i＝1．

第2步，利用计算器或计算机上的随机函数RAND（）产生一个0～9的随机数并赋值给x．若x∈｛1,2,3,4｝,则将1赋值给a，否则0赋值给a．

第3步，用RAND（）产生一个0～9的随机数赋值给y，若y∈｛1,2,3,4｝,则将1赋值给b，否则0赋值给b．

第4步，用RAND（）产生一个0～9的随机数赋值给z，若z∈｛1,2,3,4｝,则将1赋值给c，否则0赋值给c．这样就产生一个随机三位数xyz．

第5步，判断a+b+c=2是否成立,若是则将m的值增加1．

第6步，将i的值增加1，判断“i>n”是否成立。

若是，得出三天恰有两天下雨的概率的近似值为m/n；否则返回第2步．

以上算法步骤表示的算法若用程序框图或程序表示出来，则可以发现算法中包含了算法的三种基本逻辑结构，这样做对于后续新知识、新方法的学习及巩固算法思想均有好处．

4．算法教学应尽量使用信息技术

算法是实践性很强的内容，只有通过学生自己的亲身实践，让学生亲自去解决几个算法设计的问题，才能使学生体会算法的基本思想，理解基本的逻辑结构和对应的算法语句．因此，在教科书编写过程中，提倡通过实例让学生体会和理解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经历“写出算法步骤、画出程序框图、编制程序、上机验证”的全过程，并由此落实算法的教学内容．

在教学中，如果没有“上机验证”这个环节，学生对算法就不会有真切感，就很难体会算法设计的全过程，他们自己也很难知道自己设计的算法正确与否．因此，有条件的学校应鼓励学生尽可能上机尝试．当然，上机操作只是教学的一个环节，切忌将每一堂算法课都变为上机操作课，既没有这个必要也不能因此而忽略了算法教学的真正目的．

现在计算机程序设计的语言种类很多，较为通用的有BASIC，C，COBOL，Delphi等等．由于BASIC语言具有简单、易学等特点，教科书使用了类似BASIC的语句形式和语法规则来介绍算法语句．在实际教学中，教师可以根据学校的教学条件，选择恰当的程序语言并参考有关介绍BASIC或QBASIC（BASIC语言的一种）的书籍进行编写程序的教学．同时，教师还应使学生认识到，利用某种程序设计语言写出表示算法的程序，只是为了让计算机可以执行算法．算法学习中最本质的东西不是编写程序，而是用算法步骤、程序框图、程序所表示的算法，以及用算法解决问题的基本思想．

第二章统计简介

统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据．在客观世界中，需要认识的现象无穷无尽．要认识某个现象，首先要通过观察或试验取得观测资料，然后对这些资料加以分析．如何取得有代表性的观测资料、如何正确地分析资料，是正确地认识未知现象的基础，也是统计学研究的基本问题．现代社会是信息化的社会，数字信息随处可见，因此统计学也备受重视．《标准》中指出，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识．

从义务教育阶段来看，统计知识的教学从小学到初中分为三个阶段，学生在每个阶段都要学习收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法，教学要求随着学段的升高逐渐提高．在义务教育阶段的统计与概率知识的基础上，本章将通过实际问题和情景，介绍最基本的获取样本数据的方法，以及几种从样本数据中提取信息的统计方法，其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容．

一、内容与要求

1.随机抽样

⑴能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题．

⑵结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．

⑶在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法．

⑷能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据．

2.用样本估计总体

⑴通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．

⑵通过实例理解样本标准差的意义和作用，学会计算样本标准差．

⑶能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、样本标准差），并作出合理的解释．

⑷在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性．

⑸会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异．

⑹形成对数据处理过程进行初步评价的意识．

3.变量的相关性

⑴通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．

⑵经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

二、内容安排及说明

全章共有3个小节，教学约需16课时，具体内容和课时分配如下：

（仅供参考）

2.1随机抽样约5课时

阅读与思考一个著名的案例

阅读与思考广告中数据的可靠性

阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应

2.2用样本估计总体约5课时

阅读与思考生产过程中的质量控制图

2.3变量间的相关关系约4课时

阅读与思考相关关系的强与弱

实习作业约1课时

小结约1课时

2．知识结构框图

3．对内容安排的说明

与《大纲》相比，《标准》对于本部分内容的要求发生了一些变化，主要体现在：

1.在内容编排顺序上，统计和概率由理科选修内容变成了必修内容；由先学概率后学统计变成了先学统计后学概率，原因是：

⑴考虑到统计与概率学科发展的历史是先有统计，为了研究统计结论的可靠性问题，概率得到了发展；

⑵考虑到学生的学习心理，统计在前，使得学生在学习过程中可以接触到大量统计案例，学习过程中的实践性可以大大增强．

2.在教学要求上，由强调图表、数据的计算，变为强调统计思想与运用统计思想解决实际问题的能力．

本章内容安排遵循的主线是：

提出问题→收集数据→分析和整理数据→预测和决策．具体内容的编排顺序是：

首先通过实例引出抽样的必要性，抽样时所应考虑的问题，样本的质量（代表性）和所推断的结论之间的关系；然后介绍了几种常用的随机抽样方法：

简单随机抽样、系统抽样和分层抽样．抽样的目的是为了获得总体分布信息，教科书接下来介绍了几种获得总体分布信息的方法，包括：

用样本频率分布估计总体分布、用样本数字特征估计总体数字特征，教科书还介绍了用线性回归分析的方法研究变量的相关关系．

通过对这些统计方法的学习，学生将了解用样本估计总体及其特征的思想，体会统计思维与确定性思维的差异；通过实习作业的学习，学生将较为系统地经历数据收集与处理的全过程．

三、主要内容的编写意图与教学建议

由于本章在内容编排、结构设置等方面与传统教科书相比都发生了较大的变化，下面针对一些重点内容和新内容的编写意图作一些说明，以有利于老师们了解这些内容的教学要求．

1.随机抽样

在义务教育阶段学生已经学习了一些有关抽样调查的知识，本章的侧重点在于如何能够获得高质量的样本，了解方便样本的缺点以及随机样本的简单性质．下面是这部分的主要内容和需要说明的问题．

⑴本章首先通过大量的日常生活中事实，引导学生认识抽样的必要性和重要性，即：

1获取数据的过程具有破坏性不容许普查；

2人力、物力、财力、时间的限制；

3普查组织过程中的失误导致误差；

4有代表性的样本可以得到可靠的推断．

⑵随机抽样关注的核心问题——样本的代表性的好坏．教科书用一勺汤来“判断一锅汤的味道”的浅显道理，使学生认识到把总体“搅拌均匀”是取得有代表性总体的关键所在，“搅拌均匀”的本质是使总体中的每个个体入选到样本的可能性相等．教科书还用了3个案例来进一步说明这个问题，它们分别是：

“一个著名的案例”说明了样本代表性的重要性，使学生体会抽样不是简单的从总体中取出几个个体的问题，它关系到最后的统计分析结果是否可靠．这个案例还隐含着方便样本代表性差的问题．

“广告中数据的可靠性”使学生能从样本代表性的角度思考日常生活中的数字统计结果的科学性问题．

“考察800袋牛奶的质量”在学生体会到样本的重要性之后，探讨获取能够代表总体样本的方法．

⑶如何获得具有好的代表性的随机样本呢？

本章介绍了三种简单随机抽样方法——简单随机抽样、系统抽样和分层抽样．教学时可结合教科书中的例子引导学生理解这三种抽样方法的特点．其中，简单随机抽样包括抽签法（抓阄法）和随机数表法，它最能体现“搅拌均匀”“机会均等”的原则，但操作较困难．系统抽样的特点是：

①系统抽样比其他随机抽样方法更容易施行，可节约抽样成本；

②系统抽样所得样本的代表性和具体的编号有关，如果编号的个体特征随编号有一定的周期性，可能会使系统抽样的代表性很差；

③系统抽样可以应用到个体有自然编号，但是总体中个体的数目却在抽样时无法确定的情况（如生产线的产品的质量检验）．

因此，系统抽样比简单随机抽样的应用范围广．分层抽样充分利用了已知的总体信息，得到的样本比前两种方法有更好的代表性，并且可得到各层的子样本以估计各层的信息．

在比较三种抽样方法的优缺点的基础上，让学生了解选择合适的抽样方法，以保证样本的好的代表性，以便得到对总体的较准确的推断，这也是学习抽样方法的目的．

2.用样本估计总体

⑴这部分内容关注的核心问题是“用样本的信息估计总体信息”，包括用样本频率分布估计总体分布和用样本的数字特征估计总体数字特征．在实际应用中，总体分布可以为合理决策提供依据（总体分布描述了总体在各个范围内个体的百分比），因此很多实际问题的解答都转化为求总体分布的问题，其求解途径就是通过样本来估计总体分布．在很多情况下，总体分布是由几个总体数字特征所唯