第六讲 运动问题.docx

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第六讲运动问题

第六讲运动问题、相遇问题

（1）

1、环形跑道周长400米,甲乙两名运动员同时顺时针自起点出发,甲速度是400米/分,乙速度是375米/分，几分钟后甲乙再次相遇？

2、一列快车和一列慢车，同时从甲、乙两站出发，相向而行，经过6小时相遇，相遇后快车继续行驶3小时后到达乙站。

已知慢车每小时行45千米，甲、乙两站相距多少千米？

5填空题（本题2分）

两车从甲乙两地同时迎面出发，快车时速60公里每小时，慢车时速55公里每小时。

当两车相遇时，快车比慢车多走30公里，问甲乙两地距离（）公里？

解：

甲乙两地距离

6填空题（本题5分）甲乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/小时，中间三分之一路程的行走速度是4.5千米/小时，最后三分之一的路程的行走速度是4千米/小时；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/小时，后二分之一路程的行走速度是4千米/小时。

已知甲比乙早到30秒，A地到B地的路程是（      ）千米。

解：

设A地到B地的路程是x千米。

甲用的时间是1200x/5+1200x/4.5+1200x/4=2420x/3

乙用的时间是1800x/5+1800x/4=810x

810x-2420x/3=30则x=9千米

7填空题（本题5分）乘火车从甲城到乙城，1998年初需要19.5小时，1998年火车第一次提速30％，1999年第二次提速25％，2000年第三次提速20％。

经过这三次提速后，从甲城到乙城乘火车只需（     ）小时。

解：

三次提速后速度为原来的1.3*1.25*1.2=1.95倍，

1998年初需要19.5小时，则次提速后需要时间是19.5/1.95=10小时。

8填空题（本题5分）已知小明和小强步行的速度比是2：

3，小强与小刚步行的速度比是4：

3。

已知小刚10分钟比小明多走420米，那幺，小明在20分钟里比小强少走（）米。

解：

设小明的速度为x米/分钟,则小强的速度为1.5x米/分钟,小刚的速度为9x/8米/分钟。

x/8*10=420，则x=336米/分钟,

则小强速度是1.5x=504米/分钟,

（504-336）*20=3360米，小明在20分钟里比小强少走3360米。

9填空题（本题5分）甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12时甲到达西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。

问东西两村相距（）千米。

解：

设乙速度为x千米/小时，东西两村相距y千米，则甲速度x+6千米/小时，

y=4（x+6）

（1）

（y-15）/x=15/（x+6）+4

（2）

（1）式代入

（2）解得x=9则y=60

故东西两村相距60千米。

10选择题（本题10分）（思考题）

解：

设骑车速度是a千米/小时，步行速度是b千米/小时，设学校到公园的距离是x千米。

可以看出a>b

（35-x）/a+x/b=14/3

（1）

（25-x）/b+x/a=10/3

（2）

（1）+

（2）得35/a+25/b=8（3）

（1）-

（2）得（35-2x）/a+（25-2x）/b=4/3

35/a-2x/a+25/b-2x/b=4/3

8-2x（1/a+1/b）=4/3

得x（1/a+1/b）=10/3（4）

由（3）式得1/a=（8-25/b）/35=8/35-5/（7b）

1/a+1/b=8/35-5/（7b）+1/b=8/35+2/（7b）

代入（4）得x=10/（24/35+6/（7b））=350/（24+30/b）虽然不是具体答案，但可以看出题目答案接近的（A）。

故选（A）。

11简答题（本题3分）

一列快车从甲城开往乙城，每小时行65千米，一列客车同时从乙城开往甲城，每小时行60千米，两列火车在距中点20千米处相遇，相遇时两车各行了多少千米？

解：

20×2÷（65-60）=8（小时）

65×8=520（千米）

60×8=480（千米）

12简答题（本题5分）

某人由甲地去乙地。

如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车9小时，恰好到达乙地。

如果他从甲地先骑自行车行21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达乙地。

问：

全程骑摩托车需要几小时到达乙地？

解：

设摩托车速度是x,自行车速度是y,则

12x+9y=8x+21yx=3y

甲地去乙地的距离为12x+9y=12x+3x=15x。

甲地去乙地的距离/x=15小时。

故全程骑摩托车需要15小时到达乙地。

13简答题（本题5分）

有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。

每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。

有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。

他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。

在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。

这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。

问他从乙站到甲站用了多少分钟?

解：

他从乙站到甲站期间，刚好遇到了12辆车，而每隔5分钟有一辆电车从甲站出发，故他用的时间为11*5=55分钟。

14简答题（本题5分）

甲、乙两人从周长为250米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑。

甲每秒跑

米，乙每秒跑

米。

那幺从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是多少分钟？

解：

设t分钟在P点相遇。

t分钟=60t秒,设此时乙走了x圈

19/6*60t=250x

11/3*60t=250（1+x）

于是1/2*60t=250,t=25/3分钟

15简答题（本题5分）

甲、乙两人以匀速绕圆形跑道按相反方向跑步，出发点在直径的两个端点。

如果他们同时出发，并在乙跑完100米时第一次相遇，甲跑一圈还差60米时第二次相遇，那幺跑道的长是多少米。

（9分）

解：

设甲、已速度分别为x、y，跑道长度为a米

100/x=（a/2-100）/y

（a-60）/x=（a/2+60）/y

于是100/（a/2-100）=（a-60）/（a/2+60）、

解得a=360米

16简答题（本题5分）

A、B两地相距38千米，甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，甲每小时行8千米，乙每小时行11千米，甲到达B地后立即返回A地，乙到达A地后立即返回B地，几小时后两人在途中相遇？

相遇时距A地多远？

解：

38×3÷（8＋11）=6（小时）

11×6-38=28（千米）

故6小时后两人在途中相遇，相遇时距A地28千米。

17简答题（本题5分）

在周长为200米的圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒6米、5米的骑车速度同时同向出发，沿跑道行驶。

问：

16分钟内，甲追上乙多少次？

解：

甲追上乙一次的时间是200÷（6-5）=200秒。

16分钟=960秒，

960÷200=4……160

故甲追上乙4次。

18简答题（本题7分）

甲、乙二人同时从A出发向B行进，

甲速度始终不变，乙在走前面

路程时，速度为

甲的二倍，而走后面

路程时，速度是甲的

，

问甲、乙二人谁先到达B？

请你说明理由。

解：

设甲用时为1.则乙用时为（1/3）/2+（2/3）/（9/7）=1/6+6/7=43/42>1,可见甲先到B.

19应用题（本题7分）

甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向面行。

已知甲的速度比乙快，8小时两人在途中C点相遇。

如果两人的速度各增加2千米，那幺相遇时间可缩短2小时，且相遇点D距C点3千米。

求甲原来的速度?

（9分）

解：

设甲、已速度分别为x、y，则距离为8（x+y）

6（x+2）+6（y+2）=8（x+y）,则x+y=12

相遇点D距C点3千米,是甲比第一次相遇少跑了3千米（因为甲的速度快，而增加的速度是一样的），则8x-6（x+2）=3,x=7.5甲原来的速度是7.5千米/小时。

20应用题（本题7分）

甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发一辆电车。

小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行。

每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。

已知电车行驶全程是56分钟，那幺小张与小王在途中相遇时他们已行走了多少分钟？

解：

设电车的速度为x米/分钟。

根据题意电车的速度是一样的，而每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车，则电车是每8分钟发一班，相邻同向两班车的距离是8x米。

设小张骑车速度是y米/分钟,小王骑车速度是z米/分钟,

5（x+y）=8x,得y=3x/5

6（x+z）=8x,得z=x/3

已知电车行驶全程是56分钟,则甲、乙两地的距离是56x米

小张与小王在途中相遇时他们已行走的时间是56x/（3x/5+x/3）=60分钟

21应用题（本题10分）

一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行驶速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车时间隔不变，那幺多少分钟发一辆公共汽车？

解：

两辆公共汽车之间的距离是固定：

设公共汽车速为x,步行的速度是y，骑车的速度是3y。

两辆公共汽车之间的距离是：

6（x-y）=10（x-3y）

解得x=6y则两辆公共汽车之间的距离是6（x-y）=30y，而速度是6y

30y/（6y）=5分钟故5分钟发一辆公共汽车。

22应用题（本题10分）

甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：

他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的

，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了

，乙跑第二圈时速度提高了

。

已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：

这条椭圆形跑道长多少米？

解：

设跑第一圈时甲的速度是x,乙的速度是2x/3，甲跑第二圈时速度的速度是4x/3，乙跑第二圈时速度是4x/5。

设这条椭圆形跑道长y米。

第一次相遇时，甲跑了3y/5,乙跑了2y/5。

甲跑完一圈时，乙跑了2y/3；乙按2x/3速度跑完y/3,甲按4x/3速度跑了2y/3；剩余y/3由甲按4x/3速度、乙按4x/5速度相向跑，相遇甲跑了y/3/（4x/3+4x/5）*4x/3=5y/24，则第二次相遇时甲从起点跑了2y/3+5y/24=21y/24.

两次相遇地点的距离=甲第二圈跑的距离-乙第一圈跑的距离=21y/24-2y/5=57y/120

57y/120=190，得y=400米。

故这条椭圆形跑道长400米。

23应用题（本题10分）（思考题）

甲、乙两地之间的公路长为600千米，其中平路占1/5，从甲地到乙地，上山路的千米数是下山路千米数的2/3，有一辆汽车从甲地到乙地共行10小时，已知汽车上山的速度是平路的80%，下山的速度是平路的120%，则汽车从乙地到甲地要行多少小时？

解：

甲、乙两地之间的公路长为600千米.设平路的速度是x千米/小时，则上山速度是0.8x千米/小时,下山速度是1.2x千米/小时。

平路长度为600/5=120千米。

上山路的千米数是下山路千米数的2/3，则上山路为192千米，下山路288千米。

120/x+192/（0.8x）+288/（1.2x）=10，解之得x=60千米/小时

汽车从乙地到甲地的时间为120/x+192/（1.2x）+288/（0.8x）

=120/x+160/x+360/x=640/x=32/3小时

故汽车从乙地到甲地要行32/3小时

24应用题（本题10分）（思考题）

如图，从A至B，步行走粗线道ADB需要35分钟，坐车

走细道A→C→D→E→B需要22.5分钟，D→E→B车行驶的距离

是D至B步行距离的3倍，A→C→D车行驶的距离是A至D步行

距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那幺先从A至D步行，

再从D→E→B坐车所需要的总时间是多少分钟？

解：

设步行的速度为x米/分钟，则坐车的速度为6x米/分钟。

根据题意，粗线道ADB的长度为35x米，走细道A→C→D→E→B的长度为135x米。

设AD的距离为t米，则BD的距离为35x-t米。

而ACD的距离是AD的5倍，则为5t米；于是DEB的距离为135x-5t米。

135x-5t=3（35x-t），解之得t=15x米,DEB的距离为135x-5t=60x米

从A至D步行的时间为15x/x=15分钟；

再从D→E→B坐车所需要的时间是60x/（6x）=10分钟。

15+10=25分钟。

故先从A至D步行，再从D→E→B坐车所需要的总时间是25分钟。

25应用题（本题10分）（思考题）

AB两地相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人。

问有三人并配备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少小时？

（保留一位小数）

解：

依题意，最快的速度是摩托车带两人走到离B点很近的地方，让该人行走，回去再来接另外一个人，三人同时到达B点的情况下是需要时间最少的。

设摩托车带两人走了x千米让一人行走，此时后面的人走了0.1x千米，时间用了x/50小时。

摩托车和后面人相遇的时间是0.9x/55,此时后面那人走了0.9x/11千米，离B点近的人走了0.9x/11千米

相遇后，摩托车离B点距离是120-2x/11,离B点近的人离B点距离是120-x-0.9x/11=120-119x/110千米

令（120-2x/11）/50=（120-119x/110）/5

X=11880/117

故合计用的时间是x/50+0.9x/55+（120-119x/110）/5=24-9x/50

=24-18.277=5.7小时

26应用题（本题10分）（思考题）

有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。

第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫。

学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车每小时50公里。

问：

要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生步行了全程的几分之几？

（学生上下车时间不计）

解：

设第一班的学生坐车里程是x公里，步行里程是y公里。

则学校到少年宫的全程是x+y公里。

第一班坐车和走路的时间是x/40+y/4小时。

第一班学生下车的时间是x/40小时，此时第二班走路了x/40小时走了x/10公里。

车与第二班相遇前的总距离是9x/10公里，车返回到与第二班相遇的时间是9x/10÷（50+4）=x/60小时，则第二班又走了x/60×4=x/15公里

故第二班坐车的里程是x+y-x/10-x/15=y+5x/6,坐车时间是（y+5x/6）/40=y/40+x/48

故第二班走路和坐车时间是x/40+x/60+y/40+x/48

于是x/40+x/60+y/40+x/48=x/40+y/4

解之得x=6y

y÷（x+y）=y÷（7y）=1/7，故要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生步行了全程的1/7。

27应用题（本题10分）（思考题）

出租汽车站停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租车开出，在第一辆出租车开出2分钟后，有一辆出租车进场，以后每隔6分钟即有一辆出租汽车进场，进场的出租汽车在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆．问从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？

解：

依题意，出租车出站时间是4t，（t=1、2、3、…）,4t时间开出t辆车。

第一辆出租汽车出发后，原有的9辆出租汽车开出完的时间是36分钟。

出租车进站时间是6a-4，（a=1、2、3、…）,6a-4时间开进a辆车。

令6a-4=36,a=20/3,取a=6,则第一辆出租汽车出发后，开进6辆出租车。

在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，进来的6辆车开出需要24分钟。

36+24=60

故从第一辆出租汽车开出后，经过60分钟，停车场就没有出租汽车了。

28应用题（本题10分）（思考题）

某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：

“后面有骑自行车的人吗？

”司机回答：

“十分钟前我超过一个骑自行车的人。

”这人继续走了十分钟，遇到了这个骑自行车的人。

如果自行车的速度是人步行速度的三倍。

问：

汽车速度是人步行速度的多少倍？

解：

设人步行的速度是x,设汽车的速度是y,则自行车的速度是3x。

设汽车与自行车相遇时，人和自行车的距离是z

10分钟后汽车和步行人相遇时，则

（z-10x）/y=10

（1）

此时人和自行车的距离缩短了10（3x+x）=40x,距离为z-40x

再10分钟后人和步行人相遇，则

（z-40x）/（3x+x）=10

（2）

由

（2）式得z=80x代入

（1）得y=7x故汽车的速度是人步行的7倍。

29应用题（本题10分）（思考题）

三条环形跑道交于A点，每条跑道的周长

均为200米。

三名运动员的速度分别为

每小时5千米、7千米和9千米。

他们同时从A点出发分别沿三条跑道跑步。

三名运动员出发后第4次相遇时，已

跑了多少分钟？

解：

设第一次相遇的时间为t分钟，三人分别跑了a、b、c圈，a、b、c为自然数，则

t=200a/5000*60

t=200b/7000*60

t=200c/9000*60

t=12a/5=12b/7=12c/9

a=5t/12,b=7t/12,c=9t/12

由于a、b、c为自然数，t是12的倍数即可，故第一次相遇的时间是12分钟

第四次相遇时，三人跑了48分钟。

30应用题（本题10分）（思考题）

如图，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡。

小张和小王在上坡时步行速度是4千米/小时，平路步行速度是5千米/小时，下坡时步行速度是6千米/小时。

小张和小王分别从A和D出发，1小时后两人在E点相遇。

已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的

。

当

小王到达A后9分钟，小张到达D，那幺A至D全程长是多少千米？

解：

设AB=x千米，BC=y千米，CD=z千米，则BE=0.8y千米,EC=0.2y千米

依题意：

x/6+0.8y/5=1

（1）

z/6+0.2y/5=1

（2）

x/4+0.8y/5+9/60=z/4+0.2y/5（3）

由

（1）式得出x=6-24y/25

由

（2）式得出z=6-6y/25同时代入（3）式中

（6-24y/25）/4+0.8y/5+9/60=（z=6-6y/25）/4+0.2y/5

得出y=2.5千米

x=6-24y/25=3.6千米,z=6-6y/25=5.4千米

x+y+z=11.5千米

故A至D全程长是11.5千米

31应用题（本题10分）（思考题）

有男女运动员各一名在一个环形跑道上练长跑，跑步时速度都不变，男运动员比女运动员跑得稍快些。

如果他们从同一起跑点同时出发沿相反方向跑，那幺每隔25秒钟相遇一次。

现在，他们从同一起跑点同时出发沿相同方向跑，经过13分钟男运动员追上了女运动员，追上时，女运动员已经跑了多少圈？

（圈数取整数）

解：

设女的速度是x米/秒，男的速度是x米/秒，设跑道长度的t米。

从同一起跑点沿相反方向跑每隔25秒钟相遇一次,也就是25秒钟跑一圈的长度。

则

25（x+y）=t

（1）

从同一起跑点同时出发沿相同方向跑，经过13分钟男运动员追上了女运动员，女的跑了780x米，男的跑了780y，且男的比女的多跑一圈了。

即

780（y-x）=t

（2）

（1）-

（2）得755y=805x即y=161x/151代入

（2）

780*10x/151=t

780x/t=151/10=15.1取15

故追上时，女运动员已经跑了15圈。

32应用题（本题10分）（思考题）

下图的二个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。

二只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿二个圆爬行。

问：

当小圆上的甲虫爬了几圈时，二只甲虫相距最远？

解：

两只甲相距最远，也就是大圆的甲虫达到B点，小圆的甲虫达到B点。

设小圆的甲虫跑了x圈，则长度是30xπ,同样大圆的甲虫跑了30xπ，大圆半圈的长度是24π，整圈的长度是48π。

假如大圆的甲虫跑的整圈是y圈，则48y+24=30x。

x、y都是整数。

8y+4=5x,可以看出，y最小是2，x最小是4。

故当小圆上的甲虫爬了4圈时，二只甲虫相距最远。

33应用题（本题15分）（思考题）

一条环形道路，周长2千米。

甲、乙、丙三人从同一点同时出发，每人环行两周。

现有自行车两辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。

已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，三人骑车的速度都是每小时20千米。

请你设计一种走法，使三个人两辆车同时到达终点。

问环行两周最少要用多少分钟？

解：

根据题意甲每分钟步行5/60千米，乙和丙每分钟步行4/60千米，三人骑车每分钟速度是1/3千米。

设甲先步行x分钟，乙丙骑车x分钟，则乙丙行程是x/3千米，甲行程是5x/60千米；

然后乙开始步行y分钟，留车给甲,丙骑车x分钟。

甲到达乙车位置的步行时间是3x分钟，则骑车时间为y-3x分钟，甲的最终行程是x/3+（y-3x）/3=（y-2x）/3千米。

乙的行程是x/3+4y/60千米。

丙的行程是x/3+y/3千米。

最后一次是丙步行z分钟，留车给乙，甲骑车z分钟。

乙到达丙车位置的步行时间是4y分钟，则骑车时间为z-4y分钟，乙的最终行程是x/3+y/3+（z-4y）/3千米。

甲的行程是（y-2x）/3+z/3千米。

丙的行程是x/3+y/3+4z/60千米。

由于三人是同时到达，且环行两周，则

x/3+y/3+（z-4y）/3=x/3+y/3+4z/60

（1）

x/3+y/3+（z-4y）/3=（y-2x）/3+z/3

（2）

x/3+y/3+4z/60=4（3）

由

（1）式得z=5y代入

（2）式得x=4y/3

将x=4y/3z=5y代入（3）式得y=3.6分钟

于是x=4.8分钟z=18分钟

X+y+z=26.4分钟。

故环行两周最少要用26.4分钟

34应用题（本题15分）（思考题）

图54大圈是400米跑道，由A到B的跑道长是200米，直线距离是50米。

父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿于跑大圈，父亲每跑到B点便沿各直线跑。

父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。

如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲再相遇？

解：

爸爸跑到B点的时间是40秒，到达A点时间是10秒，返回B的时间又是10秒，于是爸爸到A点时间是30+20a（a是自然数），爸爸到B点时间是40+20a（a是自然数），

儿子跑一圈的时间是76秒钟。

第一次到B点的时间是38秒，第一次到A点的时间是76秒，可以看出规律儿子到B点时间是-38+76b（b是自然数，也就是圈数），爸爸到A点时间是76b（b是自然数，也就是圈数），

要是能够做到30+20a=-38+76b（相遇A点）

（1）

或者40+20a=76b（相遇B点）

（2）

从

（2）式可以看出第一次相遇B时，b=10，76b=760，a=36

从

（1）式可以看出第一次相遇A时，b=3，-38+76b=190，a=8

故如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第3圈时，第一次与父亲再相遇。

35应用题（本题15分）（思考题）

一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7公里。

从早晨7点开始，有18列货车由第十一站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都是每小时60公里。

早晨8点，由第一站发出一列客车，向第十一站驶去，时速是100公里