∴B=
=(2,5),
则∁RB=(-∞,2]∪[5,+∞),故A∩(∁RB)=(0,2].
答案 A
14.已知集合A={x|y=
},B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-3]∪[2,+∞) B.[-1,2]
C.[-2,1] D.[2,+∞)
解析 集合A={x|y=
}={x|-2≤x≤2},因A∪B=A,则B⊆A,又B≠∅,所以有
所以-2≤a≤1.
答案 C
15.(2019·皖南八校联考改编)已知集合A={(x,y)|x2=4y},B={(x,y)|y=x},则A∩B的真子集个数是________.
解析 由
得
或
即A∩B={(0,0),(4,4)},∴A∩B的真子集个数为22-1=3.
答案 3
16.集合U=R,A={x|x2-x-2<0},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分所表示的集合是________.
解析 易知A=(-1,2),B=(-∞,1),∴∁UB=[1,+∞),A∩(∁UB)=[1,2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|1≤x<2}.
答案 [1,2)
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲 1.理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
知识梳理
1.命题
可以判断真题、用文字或符号表述的语句叫作命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
[微点提醒]
1.否命题与命题的否定:
否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B
A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A
B)两者的不同.
3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( )
(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( )
解析
(1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
2.(选修1-1P5练习引申)命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠
,则tanα≠1B.若α=
,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠
D.若tanα≠1,则α=
解析 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠
”.
答案 C
3.(选修1-1P21B2改编)“若a,b都是偶数,则ab必是偶数”的逆否命题为________.
解析 “a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数”,“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”,故其逆否命题为“若ab不是偶数,则a,b不都是偶数”.
答案 若ab不是偶数,则a,b不都是偶数
4.(2018·天津卷)设x∈R,则“
<
”是“x3<1”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由
<
,得0<
”是“x3<1”的充分而不必要条件.
答案 A
5.(2017·北京卷)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________.
解析 a>b>c,取a=-2,b=-4,c=-5,
则a+b=-6答案 -2,-4,-5(答案不唯一)
6.(2019·安徽江南十校联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx-
+a为奇函数”的________条件.
解析 显然a=0时,f(x)=sinx-
为奇函数;
当f(x)为奇函数时,
f(-x)+f(x)=sin(-x)-
+a+sinx-
+a=0.
因此2a=0,故a=0.
所以“a=0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.
答案 充要
考点一 命题及其关系
【例1】
(1)(2019·郑州模拟)下列说法正确的是( )
A.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”
B.“若am2C.存在x0∈(0,+∞),使3x0>4x0成立
D.“若sinα≠
,则α≠
”是真命题
(2)(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
解析
(1)对于选项A,“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a≤1,则a2≤1”,A错;
对于B项,若“am2对于C项,由指数函数的图像知,任意x∈(0,+∞),都有4x>3x,C错;
对于D项,原命题的逆否命题为“若α=
,则sinα=
”是真命题,故原命题是真命题.
(2)根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的最小值点,且f(x)min=f(0).
答案
(1)D
(2)f(x)=sinx,x∈[0,2](答案不唯一,再如f(x)=
)
规律