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关于期权定价的理论综述

金融数学方法课程论文

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关于期权定价的理论综述

XX：

苏晓雅

学号：

5

专业：

金融学

摘要：

近20年来，金融衍生证券获得迅猛发展，期权问题引起国内外数学家、金融学家的广泛重视，要对风险进行有效的管理，就必须对金融衍生证券进行正确的估价，如何确定金融衍生证券的公平价格是他们合理存在与健康发展的关键。

而期权定价理论的产生和完善对于推动期权市场的发展起到了巨大的作用。

本文对有关期权基本知识和定价理论进行了综述，以期对期权定价问题有更清晰明了的认识。

关键词：

期权定价；Black-Scholes模型；随机波动率；随机分红；美式期权

一、引言

现代金融衍生证券诞生于70年代，衍生证券随着金融衍生证券市场的蓬勃发展，给现代金融学提出了极其复杂的数学问题，包括金融变量的数学描述、各种金融变量之间的关系分析、市场风险的计算与控制等等。

研究衍生证券要解决的主要问题就是如何确定衍生证券的价格即衍生证券的定价（Valuation）;其次是如何构造投资策略，以达到尽可能地化解因出卖衍生证券而带来的风险（购买衍生证券实质上等于购买保险），即如何构造套期保值策略（Hedging）。

在所有的衍生证券中，期权的研究最为广泛。

这是因为:

（l）与其他衍生证券相比期权易于定价;

（2）许多衍生证券可表为若干期权合约的组合形式;（3）各种衍生证券的定价原理是一样的，有可能通过期权定价方法找到一般衍生证券的定价理论。

期权作为衍生证券的一种有着重要的作用，它是70年代中期首先在美国出现的一种金融创新工具，30多年来它作为一种防X风险和投机的有效手段而得到迅猛发展。

近20年来，期权理论的发展日新月异，期权应用研究也紧随其后，从金融期权研究得出的基本原理和方法被广泛应用于宏观、微观的经济和管理问题的分析和决策，如文献远远不止于证券投资领域，其中在财务方面的应用最为集中，以及在投资决策等中的应用，耶鲁大学的著名教授斯蒂芬。

罗斯曾说过:

“期权定价理论不仅在金融领域，而且是在整个经济学中最成功的理论”。

而且在金融证券市场中，期权定价理论为投资者提供了合理的期权价格以及最佳实施期，从而达到以最少的投资得到最多的利润。

众多学者对期权定价问题进行了深入研究，本文综述了主要学者对期权定价问题的理论研究，以期对期权定价问题有更清晰明了的认识。

二、期权的基本知识

1、期权定义

期权（OPtion）就是指是一种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出一定数量的某种特定商品的权利，期权实际上是一种权利，是一种选择权，期权的持有者（多头）可以在该项期权规定的时间内选择买或不买、卖或不卖的权利，他可以实施该权利，也可以放弃该权利。

而期权的出卖者（空头）则只负有期权合约规定的义务。

期权合约中的价格被称为执行价格或敲定价格（exereiseprieeorstrikepriee），合约中的日期为到期日、执行日或期满日。

在期权交易中，买入期权，就是期权多头。

买入看涨期权，就是看涨期权的多头;买入看跌期权，就是看跌期权的多头。

卖出期权，就是期权空头。

卖出看涨期权则是看涨期权的空头;卖出看跌期权就是看跌期权的空头。

2、期权的分类

按期权的权利划分，期权可以分为看涨期权（call叩tion）和看跌期权（Putoption）两种类型。

看涨期权是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方买入一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须买进的义务。

而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格卖出期权合约规定的特定商品。

看跌期权是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方卖出一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须卖出的义务。

而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格买入期权合约规定的特定商品。

按期权的交割时间划分，有美式期权和欧式期权等类型。

美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利。

欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利，期权的买方在合约到期日之前不能行使权利，过了期限，合约则自动作废。

我国的期权按期权的交割时间划分主要有欧式期权、百慕大混合式期权。

其中百慕大混合式期权是介于美式与欧式之间的一种期权，持有人有权在到期日之前的一个或者多个日期行权（即行权起始日‘行权截至日‘期权到期日）。

在我国，百慕大混合式期权的行权日一般在到期日前的一个周内。

按期权合约上的标的划分，有股票期权、股指期权、利率期权、商品期权以及货币（外汇）期权等种类。

3、期权的价值

期权可以作为其基础资产对冲风险，因而期权是有价值的，期权价值与其基础资产价格的不确定性（风险）成正比。

正是这个意义上说，风险是有价值的，其价值就是为规避风险所要付出的成本。

期权价值即期权权利金价值，期权价格是期权权利金的货币表现，它是期权购买者付给期权出卖者用以换取期权所赋予权利的代价。

期权价值有两部分组成，包含内涵价值和时间价值。

三、期权模型的发展历史

现代期权出现在20世纪70年代。

但是，期权有着很久远的历史。

据记载，亚里士多德描述有关泰利斯的故事，和他发明的金融工具，是历史上第一笔关于选择权契约的相关纪录。

历史上，期权定价模型分成两类：

特定模型和均衡模型。

特定模型一般只依靠经验观察和曲线配合，因此不需要反映任何被经济均衡强加的价格限制。

特定模型本质上使期权价值与期权期望收益贴现值相等，而期权的期望收益明显依赖于将来股价的假定概率分布。

另外，用期望收益率作为贴现成现值的贴现率必须也是指定的。

而均衡模型则是按照一般均衡理论的公理化研究方法，根据市场参与者最大化的结果来推断期权价格。

建立期权定价的均衡模型的努力，可追溯至法国数学家巴舍利耶（Bachelier,1900）发表的一本著作《投机理论》（TheTheoryofSpeculation）。

在他的这本著作中建立了一种期权定价模型，类似于后来推导出的一个物理学上的热方程。

但是，这一期权定价模型在经济学和数学方面存在缺陷，尽管如此，它却指明了用来研究期权定价的均衡原理的各种途径。

期权定价均衡模型的最重要突破来自费雪·布莱克和迈伦·斯科尔斯在1973年撰写的论文。

布莱克——斯科尔斯期权定价均衡模型的诞生，标志着现代期权理论的建立。

这个模型回避了关于个人风险偏好和市场均衡价格结构的限定性假设，发展了期权定价的均衡模型。

布莱克和斯科尔斯证明有可能组建一个包含股票和无风险资产头寸的投资组合，使其在短时期内的盈利与期权完全一致。

另外，布莱克和斯科尔斯还精确的表明投资组合的组成如何随着股价的波动和时间的流逝而不断变化，以使其盈利与期权盈利继续保持一致。

这个模型既美观又可观的刻画了风险和价值之间的关系。

投资人知道股票和期权的目前价格、期权的履约价、到期日及现行利率。

有了这些资料，这个模型就能够预测隐含在期权价格内的股价波动性。

然后，则是靠投资人来判断市场对于股票波动性的预测是太低、太高还是适中。

四、期权定价模型的发展

1、上世纪70一80年代的重要研究成果有:

①索普《Thorpe）检验了卖空限制条件;

②默顿（1973年）推广了考虑股利和随机利率的模型;

③考克斯、罗斯（1976年）和默顿（1973年）采用了交错随机过程（altemativestoehastieProeess）;

④布莱克和斯克尔斯（1973年）研究了欧式看跌期权;

⑤考克斯、罗斯（1976年）以及默顿（1976年）考虑了股票价格公式展开中不具有连续样本路径时的期权问题;

⑥英格索尔（Ingersofl，1976年）和斯科尔斯（1976年）考虑到资本收益和股利的不同税率效果;

⑦鲁宾斯坦（1976年）和布伦南《Brennan，1979年）引入了有代表性的投资者效用函数，得到了关于离散时间交易的布莱克一斯克尔斯方程解;

⑧布莱克（1976年）研究了商品期权;

⑨考克斯、英格索尔及罗斯（1985年）考察了利率期权;

⑩利兰（Leland，1985年）考虑了交易成本。

上世纪90年代以来特别是近几年，很多金融经济学家对不完善市场、标的资产的价格存在异常变动跳跃或者标的资产报酬率的方差（即标的资产价格波动率的平方）不为常数等情况下的期权定价进行了广泛研究，取得了许多重要研究成果。

不完善市场主要是指对贷款及卖空股票进行限制，或者存在交易成本，或市场本身不完备等。

不完善市场假设显然比完善市场假设更接近真实的金融市场，但在这时的期权定价问题就复杂多了。

在不完善市场情况下，通常难以得到布莱克一斯科尔斯模型那种期权的公平价格，己有的定价方法也将失去其作用。

关于不完善市场的期权定价问题，目前金融经济学家采用的主要方法有方差最优套期保值（variance一oPtimalhedging）、均值方差套期保值（mean一variancehedging），超套期保值（super-hedging）、有限风险套期保值（limited一riskhedging）等方法。

2、期权模型介绍

90年代以来特别是近几年，很多经济学家对不完善市场、标的资产的价格存在异常变动跳跃或者标的资产收益率的方差不为常数等情况下的期权定价问题进行了广泛研究，取得了许多重要研究成果。

其中最值得一提的就是极大地丰富了期权定价模型方面的相关理论，在经典的Black-Scholes模型的基础上，提出了许多新的模型。

下面将对其中一些期权定价模型给予介绍。

首先对一些符号给出说明，在下述的模型中，V为期权价格，K为敲定价格，q为红利率。

这些模型有：

（1）经典Black-Scholes期权定价模型

根据此模型中的边界条件不同，而有不同的模型，如巴黎期权、巴拉期权等。

（2）Black-Scholes期权定价模型的推广之一——支付红利

其中，r（t）、σ（t）、q（t）是与时间有关的函数（也包含为常数的情形）。

（3）Black-Scholes期权定价模型的其它推广形式

根据边界条件的不同，可以分为两值期权、复合期权、选择期权、永久美式期权、移动关卡期权、部分关卡期权等。

（4）路径有关期权

算术平均亚式期权的定价模型：

几何平均亚式期权的定价模型：

（5）多维Black-Scholes期权定价模型

当然，除了上述模型之外，还有跳-扩散模型、关卡期权、重置期权、回望期权等等一些非常重要的期权定价模型。

不完善市场假设显然要比完善市场假设更接近真实的金融市场，但这时的期权定价问题就复杂多了。

在不完善市场情况下，通常难以得到布莱克—斯科尔斯模型那种期权的公平价格，已有的定价方法也将失去其作用。

关于不完善市场的期权定价问题[5]，目前经济学家采用的主要方法有方差最优套期保值（variance-optimalhedging），均值方差套期保值（mean-variancehedging），超套期保值（super-hedging）和有限风险套期保值（limited-riskhedging）等方法，在这方面做出过重要贡献的经济学家主要有Barron&Jensen（1990），Follmer&Schweizer（1989，1991，1993），Schweizer（1990，1991，1992），Hofmann等（1992），Davis（1993），Karatzas&Kou（1998），Karatzas（1987，1991），EIKaroui&Quenez（1995）。

3、期权模型定价方法

B-S模型诞生后，许多学者由此得到启发，相继推出了许多期权定价模型并发展了许多期权定价的方法，我们大致了解一下如今比较流行的定价方法：

（1）、偏微分方程：

构造期权定价模型，使得期权价格满足某个偏微分方程，通过求解方程导出其解析定价公式。

但是有些期权定价模型不一定存在显式解析定价公式。

（2）、解析近似方法：

对一些不存在显式解析定价公式的期权如美式标准期权，算术平均期权等，采用偏微分方程技术或概率方法以及阶矩等方法求得其近似解析定价公式。

当然，其所能求解的只是极其有限的一部分定价模型。

（3）、二叉树方法：

这是B-S模型的一个离散版本。

不过，这只是一种离散情形，对于某些连续情形（如连续支付红利），只能看作是它的一个近似。

其次，二叉树方法的精度也不高。

（4）、有限差分方法：

这是偏微分方程数值解的一种常用技术，它利用差分逼近将B-S模型转化为一组差分方程来求解。

在当今计算机相当普及的情形下，人们还是乐于使用数值方法，特别对于一些复杂的期权定价问题，其显示出很多优越性。

但是，其一，差分方程的解是否收敛到偏微分方程定解问题的解？

即收敛性问题。

其二，应用计算机进行差分方程的求解时，难免在每次运行中引入舍入误差，这些舍入误差能否得到控制，有没有可能由于微小的舍入误差而引起解的完全失真？

即所谓的稳定性问题。

（5）、Monte-Carlo模拟：

该方法利用计算机模拟标的资产价格的随机运动和对应的期权收益，并将这一收益按无风险利率进行贴现，由大量的随机样本得到的贴现后收益的算术平均值就是这一期权的估计值。

但这种方法速度较慢，而且不能处理具有提前执行特征的期权。

五、结束语

期权定价是一个古老而又新潮的问题。

说它古老，是因为这一思想早在公元前1800年就已经产生。

说它新潮，是因为它的快速发展到上世纪50年代以后才开始，真正标准化的场内期权交易还不到30年历史。

由于期权具有良好的规避风险、风险投资、价值发现的功能，且表现出灵活性和多样性的特点，故近20年来，特别是90年代以来，期权成为最具活力的金融衍生性产品，得到了迅速的发展和广泛的应用。

目前期权理论研究的重点在于两个方向：

一个是如何构造出新的期权，以满足不断变化的市场投资需要；另一个是如何确定这些日趋复杂的期权的价值，即给期权定价的问题。

本文总结了前人关于期权定价的研究成果，而在期权定价领域还有很多问题有待后继研究者解决。

参考文献：

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