高中数学正态分布测试题及答案.docx
《高中数学正态分布测试题及答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学正态分布测试题及答案.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学正态分布测试题及答案
高中数学正态分布测试题及答案
高二数学随机变量的数字特征;正态分布人教实验版(B)
【本讲教育信息】
一.教学内容:
2.3随机变量的数字特征
2.4正态分布
二.教学目的
1、能够求出随机变量的分||布列,并利用分布列求出随机变量的均值和方差,能解决简单实际问题。
2、掌握正||态分布的性质,能够计算有关概率值;了解假设检验的思想。
||
三.教学重点、难点
利用分布列求出随机变量的均值和方差;正态分布的性质。
四.知识分析
1、离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
Xx1x2…xi…xn
Pp1p2…pi…pn
则称为随机变量X的均值或数学||期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
①若X为随||机变量,Y=aX+b(其中a,b为常数),则||Y也是随机变量,且有E(aX+b)=aE(X)+b
②若X~B(n,p),则E(X)=np
③期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均。
④E(X)是一个实||数,由X的分布列惟一确定.即作为随机变量X是可变的,可取||不同值,而E(X)是不变的,它描述X取值的平均||状态.
⑤+…直接给出了E(X)的求法,即随机变量取值与相应概率||值分别相乘后相加.
2、离散型随机变量的方差
设离散型随机变量X的分布列为
Xx1x2…xi…xn
Pp1p2…pi…pn
则[xi-E(X)]2描述了xi||(i=1,2,…,n)相对于均值E(||X)的偏离程度.而
为这些偏离程度的加权平均,刻画了||随机变量X与其均值E(X)的偏离程度,我们称||D(X)为随机变量X的方差,其算术平均根为随机变量X的标||准差。
记作.
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均||程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离均值的平均程度||越小。
设X为离散型随机变量,则
(1)D(aX+b)=a2D(X)
(2)若X服从二点分布,则D(X)=p(1-p)
(3)若X~B(n,p),则D(X)=np(1||-p)
3、正态分布
我们称,xR(其中||是参数,且)为正态变量X的概率密度函数,其图象叫||做正态分布密度曲线,简称正态曲线。
期望为、标准差为的正态分布常||记为。
若X~,则X的均值与方差分别为:
。
参数是反映随机变量取值的平均水平||的特征数。
是衡量随机变量总体波动大小的特征数.可以用样本||标准差去估计.
正态曲线的性质:
(1)曲线在x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线对称;
(3)曲线在处达到峰值;
(4)当一定时,曲线随着的变化沿x轴平移;
(5)当一定时,曲线形状由确定,越小,曲线越瘦高。
当时的正态分布叫做标准正态分布。
一般来说,||正态变量的取值在内的概率是68.3%,在内的概率是95.||4%,在内的概率是99.7%。
【典型例题】
例1、某运动员投篮命中率p=0.6
(1)求投篮一次时命中次数X的均值和方差;
(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值与方差。
分析:
(1)为两点分布||的均值和方差
(2)为二项分布的均值和方差。
可利用公式求解。
解析:
(1)投篮一次时命中次数X的分布列为:
X01
P0.40.6
则
(2)由题意,重复5次投篮时,命中次数Y服从二项分布,即Y~||B(5,0.6)
于是,有
点评:
(1)投篮一次有两||个结果:
命中与未命中,因此X服从两点分布,用两点分布的均值及方差公||式;
(2)投篮、射击、抽样(大量)等问题,都是n次独立重复试验,其||随机变量Y~B(n,p),利用二项分布的均值、方差||公式即可。
例2、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的||种类和数量也大致相等.而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数||的分布列分别为:
甲保护区:
X0123
P0.30.30.20.2
乙保护区:
Y012
P0.10.50.4
试评定两个保护区的管理水平。
解析:
甲保护区的违规次数X的数学期望和方差为
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为
因为,所以两个保护区内每季度发生||的违规事件的平均次数是相同的,但乙保护区内的违规事件||次数更集中和稳定,而甲保护区的违规事件次数相对分散.
点评:
解决实际||问题,要充分理解随机变量在实际问题中表示的意义,||然后利用均值和方差的实际意义解决.
例3、若随机事件A在1次试验中||发生的概率为P(01),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数.
(l)求方差D(X)的最大值;
(2)求的最大值。
分析:
本题是最值问题,需要先将D(X),及表示出来,利用函数知||识解决.
解析:
随机变量X的所有可能取值为0,1,并且有P||(X=l)=p,P(X=0)=l-p.
从而
(i)
当时,D(X)取得最大值,最大值为。
(2)
当且仅当,即时,取“=”。
因此,当时,取得最大值。
点评:
本题||将方差知识与函数联系起来,因此在求解过程中可||以利用函数的性质及使用研究函数的方法.
例4、||(2019年辽宁20,天津理20)A、B两个代表队进行乒乓球对||抗赛,每队三名队员,A队队员是A1||、A2、A3,B队队员是B1、B2、B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员||之间胜负概率如下:
对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式||出场,每场胜队得1分,负队得0分.设A队、B队最||后所得总分分别为、
(I)求的概率分布列。
(II)求。
分析:
此题中的、不服从特殊分布,用定义求均值。
解析:
(I)、的可能取值分别为3,2,1,0
P(=3)
P(=2),
P(=1)
P(=0)
根据题意知,所以
(II)
因为,所以
点评:
本题中第(I||)问是第(Ⅱ)问的基础,在利用定义求均值时,必先求分布||列。
例5、已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N(27.||45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件,测量得到它们的尺寸如下:
||
27.34,27.49,27.55,27.23,2||7.40,27.46,27.38,27.58,27.||54,27.68
请你根据正态分布的小概率事件,帮||助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的。
||分析:
利用正态变量在区间内的取值的概率为99.7%来判断。
解析:
根据小概||率事件在一次试验中几乎不可能发生的思想,我||们对落在区间(27.45-30.05,27.45+3||0.05)之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假设,有两个尺寸为2||7.23和27.68的零件,不符合落在区间(27.45-30.05,27||.45+30.05)内这一条件,判断它们就是非正常状态下||生产的。
点评:
本题是正态分布应用中假设检验的一个实例,依据的||准则是正态总体在区间外的取值的概率仅有0.3%来判断个别零件是在非正常状态下||生产的。
【模拟试题】
一、选择题(每小题5分,共60分)
1、甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是,||乙解决这个问题的概率是,那么其中至少有1人解决这个问题的概率||是()
A、B、
C、D、
2、如图所示,1、2、3表示3种开关||,若在某段时间内它们正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.7||,那么此系统的可靠性是()
A、0.504B、0.99||4C、0.496D、0.06
3、甲、乙两人同时独||立解答一道数学题,甲解出的概率为0.4,乙解||出的概率为0.5,则该题能被解出的概率为(||)
A、0.9B、0.2C、0.7D、0.1
4、两射||手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中的概率P(A||)=0.8,乙射中的概率P(B)=0.9,则目标被击中的概率为()
A、1.7B、1C、0.72D、0.98
5、||一整数等可能在1,2,…,10中取值,以X记除得尽这||一整数的正整数的个数,那么E(X)等于()
A、2.6B、2.5C、2.7D、2.8
6、从5个数||1,2,3,4,5中任取3个数,X表示中最大的一个,则X的分布列为||()
A、
X12345
P
B、
X345
P
C、
X12345
P00
D、
X345
P
7、设随机变量X~B(n,P),且E(X)=1||.6,D(X)=1.28,则()
A、n=8,P=0.2B、n=4,P=0.4
C、n=5,P=0.32D、n=7,P=0.45
8、口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以X表||示取出的球的最大号码,则E(X)的值是()
A、4B、4.5C、4.75D、5
9、设两个独立事件||A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概||率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是(||)
A、B、C、D、
10、一次测||验中共有4个选择题,每个选择题均有4个备选答案,其中只有一个||答案是正确的,某生随机地就每小题各选一个答案,则其恰好选中||3个正确答案的概率为()
A、B、C、D、
11、先后抛掷两枚||均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰||子朝上的面的点数分别为X、Y,则的概率为()
A、B、C、D、
12、设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数的图象,且,则这个||正态总体的平均数与标准差分别是()
A、10与8B、10与2C、8与10D、2与10
二、填空题(每小题4分,共16分)
13、若10把钥匙||中只有2把能打开某锁,则从中任取2把能将该锁打开的概率为__________。
||
14、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球||,从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学期望是__________(用||数字作答)
15、抛掷两枚骰子,当至少有一个1点或一个2点出现时,就说这次||试验成功,否则称试验失败,则在20次试验中成功次数X的期望是______||____。
16、四个人打桥牌,则你手中有5张黑桃,||而另8张黑桃全在你的同伴手中的概率__________。
||
三、解答题(共74分)
17、(12分)一副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、||方块4种花色,每种13张,共52张,从这一副洗好的牌中任取4张,求4||张中至少有3张黑桃的概率。
18、(12分)从1,2,…,n这n||个数中任取两个,求其中一个小于k,另一个大于k的概率()。
19、(12||分)对某种药物的疗效进行研究,假定药物对某种疾病的治愈率,现||在10个患此病的病人中同时服用此药,求其中至少||有6个病人治愈的概率。
20、(12分)某射手在一次射击训练中,射中10环、9||环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25||,0.28,计算这个射手在一次射击中:
(1)射中10环或7环的概率;
(2)不够7环的概率。
21、(13分)甲、乙两人||在罚球线投球命中的概率分别为与,投中得1分,投不中得0分。
(1||)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和X的数学期望;
(2||)甲、乙两人在罚球线各投球两次,求这四次投球中至少一次命中的概率。
22、(1||3分)9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内,每坑3粒,每||粒种子发芽的概率为0.5。
若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需||要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种。
(1)求甲坑不需要补种的概率;
(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率;
(3)求有坑需要补种的概率。
(精确到0.001)
【试题答案】
一、选择题
1、D2、B3、C4、D5、C6、B
7、A8、B9、D10、C11、C12、B
二、填空题
13、14、1.215、16、
三、解答题
17、解析:
至少有3张黑桃包括两种情况:
||“恰好有3张黑桃”与“4张全是黑桃”,用这两种情况的取法总数除以||52张牌中任取4张牌的取法总数即可。
从52张牌中任取4张,有种||取法,即,4张牌中至少有3张黑桃的取法有。
因此,取4张牌中至少有3张黑||桃的概率是。
18、解:
19、解:
假定病人服用该药或者治愈(事||件A)或者没有治愈(事件),
由题意,
至少有6人治愈可分为||10人中6人愈,10人中7人愈,10人中8人愈,||10人中9人愈,10人全愈五种情况:
0.97
答:
至少有6人治愈的概率为0.97。
20、解析:
(1)设“||射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一||次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是||互斥事件。
“射中10环或7环”的事件为A+B,故P(A+B)=P(A)+P||(B)=0.21+0.28=0.49。
射中10环或7环的概率为0.49。
(2)不够7环从正面考虑有以下几种情||况:
射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环,但由于这些||概率都未知,故不能直接入手,可考虑从反面入手,不够7环的反面是大||于等于7环,即7环、8环、9环、10环,由于此两事件必有一个发生||,另一个不发生,故是对立事件,可用对立事件的方法处理。
设“不够7环”||为事件E,则事件为“射中7环或8环或9环或10环”,由
(1)可知“射||中7环”、“射中8环”等是彼此互斥的事件。
从而
射不够7环的概率为0.03。
21、解:
(1)依题意,记“||甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则
甲、乙两人得分之和X的可能取值为0、1、2,
则X的概率分布为:
X012
P
答:
每人在罚球线各投球一次,两人得分之和X的数学期望为
(2)∵事件“甲、乙||两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为
甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率
答:
甲、乙两人在罚球线各投球两次,至少有一次||命中的概率为。
22、解:
(1)因为甲坑内||的3粒种子都不发芽的概率为,所以甲坑不需要补种的概率||为。
(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为。
(3)解法一:
因为3个坑都不需要补种的概率为
所以有坑需要补种的概率为
解法二:
3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为
恰有2个坑需要补种的概率为
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍||,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字||斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
为什||么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头||疼,写不出像样的文章呢?
吕叔湘先生早在19||78年就尖锐地提出:
“中小学语文教学效果差,中学语文毕||业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好||是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄||怪事!
”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文,初中水平||以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也||通晓议论文的基本结构:
提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来||就犯难了。
知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”||。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人||家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以,词汇贫乏、内容空洞||、千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题,不能单在布局谋篇等||写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的||“米”。
3个坑都需要补种的概率为
我国古代的读书||人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就||能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,||琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天,我们念了十几||年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?
吕叔湘||先生早在1978年就尖锐地提出:
“中小学语||文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,||……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课||时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是||大多数不过关,岂非咄咄怪事!
”寻根究底,其||主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三||要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:
提出问题――分析问||题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”,就是讲不出“为什||么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开||作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家||的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以,词汇贫乏、内容空洞、||千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个||问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背||”的重要性,让学生积累足够的“米”。
所以有坑需要补种的概率为。
观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的||先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。
随机观察也||是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观||察,一边提问,兴趣很浓。
我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中||,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼||儿看得到,看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过||程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺||序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结||合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观||察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问||幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:
乌云像大海的波浪。
有的孩子说||“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
||”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着||幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:
“这就是雷声隆隆。
”一会||儿下起了大雨,我问:
“雨下得怎样?
”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一||倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
||雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编||的一首儿歌:
“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。
”这样抓||住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后||气象变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。
我还在观察的基础上,引导幼||儿联想,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展||想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的,尖尖的,硬硬的,像医生用的手||术刀―样,给大树开刀治病。
通过联想,幼儿能够生动形象地描述观察对象。