勾股定理教学设计.docx

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勾股定理教学设计

义务教育教科书数学八年级下册（人民教育出版社）

17.1勾股定理（第1课时）教学设计

一、内容和内容解析

1．内容

勾股定理的探究、证明及简单应用．

2．内容解析

勾股定理的内容是：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么．勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征（三角形中有一个角是直角）转化成数量关系：

三边之间满足等式：

，它搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用．勾股定理体现了数形结合的思想方法，具有科学创新的重大意义．勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了在三角学、解析几何学、微积分学的建立，使数学的几何学和代数学两大门类结合起来，对数学进一步的发展拓宽了道路．没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦．因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一．

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，体现了从特殊到一般的探索的过程，由具体的关系归纳出抽象的猜想，学生亲手实践赵爽的面积证法，证明猜想、发现定理，并以此引导学生探索、发现、证明定理的思路．通过对勾股定理的探究和发现，培养学生学习数学的热情和自信心．

我国对勾股定理的研究和其他国家相比是比较早的，在国际上得到肯定．通过对勾股定理历史和我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养学生的民族自豪感，品味数学文化．学生欣赏勾股树的神奇，感受数学美，激发学生的兴趣和热情．

在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长．勾股定理常用来求解线段长度或距离问题，这是勾股定理最基础的应用．

基于以上分析，确定本节课的教学重点：

探索并证明勾股定理．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）经历勾股定理的探究、证明过程．了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．

（2）能用勾股定理解决一些简单问题．

2．目标解析

目标

（1）要求学生通过观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论．理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过面积不变的关系和对图形面积的不同算法证明勾股定理．了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就．

（2）学生能运用勾股定理进行简单的计算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度．

三、教学问题诊断分析

勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论．在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系．但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难．因此，在教学中先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考正方形的面积和直角三角形边的关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，归纳出结论．学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，小组合作在此发挥了很大的优势，学生间的互助、交流有利于学生自然、合理地发现和证明勾股定理．

本节课的教学难点是：

勾股定理的探究和证明．

四、教学支持条件分析

借助《几何画板》软件，动态地演示从网格中的等腰直角三角形，到网格中的一般直角三角形的变化过程，启发学生考虑用割补法求正方形的面积．在学生拼图后，再现赵爽弦图的剪拼过程，形象、直观．利用软件的迭代功能，制作出漂亮的勾股树，品味数学之美．

五、教学过程设计

1．温故导入，提出问题

我们曾学习了三角形的相关知识，从角的关系看，三角形三个内角和为180°，从边的关系看，三角形两边之和大于第三边.

若三角形中两边相等，就得到了等腰三角形.等腰三角形有两底角相等和“三线合一”的性质.

若三角形中有一个直角，也就是一边垂直于另一边，那么就得到了直角三角形.直角三角形中有两个锐角和为90°的数量关系，三条边是否也存在特殊的等量关系呢？

设计意图：

将本节课研究的直角三角形置于三角形的背景中.等腰三角形是边的大小数量关系特殊化，直角三角形是边的位置关系特殊化.梳理三角形和等腰三角形、直角三角形之间的关系，明确共性和特殊性，提出直角三角形的边是要研究的对象.教材的知识结构是三角形→等腰三角形→直角三角形，体现了从整体到局部，从一般到特殊，从课程的整体结构上、知识的内在逻辑上提出问题，引导学生面对一个几何对象，从构成的主要元素和相关元素进行探索，体验研究几何图形的基本思路．

2．观察思考，探究定理

看似平淡无奇的现象却隐含着深刻的数学道理．相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系．

问题1 三个正方形A，B，C的面积有什么关系？

图

（1）图

（2）图（3）

师生活动：

学生独立观察图形，分析、思考其中隐含的规律．通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：

小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积，每个正方形的面积都是中间围成的直角三角形一边的平方．

教师将地砖图案顺时针旋转，隐去倾斜线段，可发现这个图案就存在于正方形网格中（如图4），正方形A，B的面积都是1，正方形C的面积是2.

追问：

如果正方形A，B的边长变为2，三个正方形A，B，C是否也有类似的面积关系？

图（5）图（4）

师生活动：

在网格中学生观察、分析、思考，得到正方形A，B的面积都是4，正方形C的面积是8，正方形A，B的面积之和等于正方形C的面积.

追问：

由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？

师生活动：

教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：

等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．这是从图形面积的关系得到等腰直角三角形三边的数量关系，体会从形到数的过程．

设计意图：

从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰三角形边长的一般化）．

问题2在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A，B，C是否也有类似的面积关系？

师生活动：

分别求出A，B，C的面积并寻求它们之间的关系．

追问：

正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的关系？

师生活动：

学生独立思考后小组讨论，投影学生的求解过程，由学生讲解．图（6）

难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积．教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

设计意图：

网格中的直角三角形也是直角三角形一种特殊情况，为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割补法．

追问：

通过前面探究活动所得的结果，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？

师生活动：

教师引导学生，提出猜想：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

设计意图：

在网格背景下通过观察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三边关系，为形成猜想提供了典型特例，通过归纳，猜想变得水到渠成．

3．动手实践，证明定理

问题3　以上直角三角形的边长都是具体的数值，一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，刚刚提出的猜想仍然成立吗？

追问：

赵爽曾用拼图的方式证明了勾股定理，把边长a，b的两个正方形连在一起，它的面积是；经过剪两刀，拼成一个以c为边长的正方形．因此，．你能实现这个剪拼过程吗？

图（7）图（8）

师生活动：

学生观察、小组合作、商讨剪拼方法，教师引导因为图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，因此可用分割剪拼的方式来验证勾股定理．

这个图案是三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．

赵爽利用弦图证明的思路是：

把边长a，b的两个正方形连在一起，它的面积是；另一方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形和一个正方形．把左右两个三角形移到如图所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形．因为这两个图都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等．因此，．

板书：

勾股定理：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．

符号语言是在Rt△ABC中，∠C=90°∴a2+b2=c2

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”．

早在公元前1100年，《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话，当时就已经知道“勾三股四弦五”的关系，这个定理又叫商高定理．

追问：

赵爽弦图是用四个全等的直角三角形拼出一个大正方形，每个小组能否再用四个直角三角形拼出一个外轮廓为正方形的图案吗？

这个图案能否证明勾股定理？

，

图（9）

师生活动：

小组合作探究，教师引导学生由面积推导勾股定理的过程．这是弦图的另一种证法----面积恒等法．

追问：

利用手中的若干图形，能否再拼出等大的正方形？

结合这两个图，能证明勾股定理吗？

图（10）图（11）

师生活动：

学生小组合作拼图研究，证明勾股定理．这就是传说中毕达哥拉斯的证法．

设计意图：

通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合的思想．

课上学生亲手实践的三种证法都是面积证法．依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法得到等量关系．

通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自豪感．

4．初步应用，解决问题

练习1在RtΔABC中，∠C=90º

1已知a=1，b=2，求c．②已知b=2，c=4，求a．

练习2在RtΔABC中，∠B=90º，已知a=2，b=5，求c．

练习3在直角ΔABC中,两条边的长度分别是3和4，求另一边．

分析：

分两种情况，

两条直角边的长度分别是3和4，斜边为；

斜边是4，一条直角边是3，另一条直角边为

设计意图：

学生应掌握在直角三角形中，已知任意两边长，求出第三边长的方法．要注意确定所求线段是直角三角形中的直角边或斜边，如果没有明确，要进行分类讨论．

练习4如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的面积分别是3,4,1,3，求最大正方形E的面积．

最大正方形的面积等于四个小正方形A，B，C，D的面积，这个图案如果继续下去会有怎样神奇的变化呢？

学生观察勾股树运动变化的过程，感受数学美．

由于排列方式不同形成了两种形状的勾股树，课

后每个学习小组可试着去做一棵．

图（12）

图（13）图（14）

设计意图：

本题进一步体会以直角三角形三边为边长的正方形的面积关系．通过《几何画板》软件演示多层分层结构，体验形状虽变但面积不变，感受数学美．为学生设计了观赏勾股树,让学生在数学的美妙与神奇中充分享受,更进一步激发了学生的兴趣和热情．

5．感受文化，归纳小结

回顾过去，远在公元前约3000年，古巴比伦人就知道和应用勾股数组，如3,4,5．

大约公元前2500年，古埃及人在建筑金字塔和测量土地时，也应用过勾股定理．

大约公元前2000年，大禹在治水的实践中总结出了勾股术，用来确定水位差．他是世界上有史记载的第一位与勾股定理有关的人．

大约在公元前1100年，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”，记载在《周髀算经》中．

公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯公开发表了这一规律的证明．

公元前3世纪，古希腊数学