北师大版高中数学选修21《圆锥曲线与方程》课时练习附答案.docx

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北师大版高中数学选修21《圆锥曲线与方程》课时练习附答案

北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》同步课时作业

3.1.1　椭圆及其标准方程

A组

1.F1,F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则点M的轨迹是（　　）

A.椭圆B.直线C.线段D.圆

2.已知椭圆C上任意一点P（x,y）都满足关系式=4,则椭圆C的标准方程为（　　）

A.=1B.=1

C.=1D.+y2=1

3.椭圆的两个焦点的坐标分别为（0,-4）,（0,4）,并且经过点（,-）,则椭圆的标准方程是（　　）

A.=1B.=1

C.=1D.=1

4.椭圆=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于（　　）

A.2B.4C.6D.

5.已知F1,F2是椭圆C:

=1（a>b>0）的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=（　　）

A.3B.9C.D.12

6.经过点（2,-3）且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆的标准方程为　　　　　　　. 

7.=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=　　　　,∠F1PF2的大小为　　　　. 

8.已知动圆M过定点A（-3,0）,并且在定圆B:

（x-3）2+y2=64的内部与其相内切,则动圆圆心M的轨迹方程是　　　　. 

9.求符合下列条件的椭圆的标准方程:

（1）两个焦点的坐标分别为（-3,0）和（3,0）,且椭圆经过点（5,0）;

（2）过点（-3,2）且与=1有公共焦点.

10.如图,F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,点P在椭圆上,若△POF2为面积是的正三角形,试求椭圆的标准方程.

B组

1.设0≤α<2π,若方程x2sinα-y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

2.设P为椭圆=1上的任意一点,F1,F2为其上、下焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是　　　　　. 

3.已知A点的坐标为,B是圆F:

+y2=4（F为圆心）上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为　　　　　. 

4.已知椭圆的焦距是2,且过点P（-,0）,求其标准方程.

5.如图,已知椭圆的方程为=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积.

6.给出如下定义:

把由半椭圆=1（x≥0）与半椭圆=1（x≤0）合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0,如图,点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2分别是“果圆”与x,y轴的交点.

（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;

（2）当|A1A2|>|B1B2|时,求的取值范围.

参考答案

A组

1C2B3A4B5A

6.答案:

=1

7.答案:

2　120°

8.答案:

=1

9.解

（1）∵椭圆的焦点在x轴上,

∴设它的标准方程为=1（a>b>0）.

∴2a==10.

∴a=5.

又c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.

故所求椭圆的方程为=1.

（2）由已知得c=,设所求方程为=1（a>）,

把x=-3,y=2代入得=1,

∴a4-18a2+45=0,

∴a2=15或a2=3（舍去）,

∴所求方程为=1.

10.解由△POF2为面积是的正三角形,得|PO|=|PF2|=|OF2|=2,∴c=2.连接PF1,在△POF1中,|PO|=|OF1|=2,∠POF1=120°,

∴|PF1|=2.

∴2a=|PF1|+|PF2|=2+2,

∴a=1+,∴b2=a2-c2=4+2-4=2.

∴所求椭圆的标准方程为=1.

B组

1.C

2答案:

9

3.答案:

x2+y2=1

4.解

（1）若椭圆的焦点在x轴上,设其标准方程为=1（a>b>0）,由已知得c=1,且椭圆过点P（-,0）,

∴解得

∴椭圆的标准方程为=1.

（2）若椭圆的焦点在y轴上,设其标准方程为=1（a>b>0）,则有解得

∴椭圆的标准方程为=1.

综上所述,椭圆的标准方程为=1或=1.

5.解由已知,得a=2,b=,

所以c==1.

所以|F1F2|=2c=2.

在△PF1F2中,由余弦定理,得

|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos120°,

即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①

由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,

即|PF2|=4-|PF1|.②

②代入①,解得|PF1|=.

所以|PF1|·|F1F2|·sin120°=×2×,即△PF1F2的面积是.

6.解

（1）由

∴“果圆”的方程为

（2）∵a+c>2b,

∴>2b-a,

∴a2-b2>（2b-a）2,∴.

又b2>c2=a2-b2,

∴,

∴.

3.1.2　椭圆的简单性质

A组

1.设椭圆=1（a>b>0）的离心率为e=,右焦点为F（c,0）,方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P（x1,x2）（　　）

A.必在圆x2+y2=2内

B.必在圆x2+y2=2上

C.必在圆x2+y2=2外

D.以上三种情形都有

2.已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是（　　）

A.（0,1）B.（5,+∞）C.[1,5）∪（5,+∞）D.[1,5）

3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是（　　）

A.B.C.-1D.

4.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（　　）

A.=1B.+y2=1

C.=1D.x2+=1

5.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为（　　）

A.2B.3C.6D.8

6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F（-2,0）,且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是　　　　　. 

7.已知椭圆=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c,0）,F2（c,0）,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　. 

8.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为　　　　. 

9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

（1）长轴长是短轴长的2倍,且过点（2,-6）;

（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6.

10.已知椭圆=1（a>b>0）的左焦点F1（-c,0）,A（-a,0）,B（0,b）是椭圆的两个顶点.若焦点F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率.

B组

1.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是（　　）

A.[6,10]B.[6,8]C.[8,10]D.[16,20]

2.已知c是椭圆=1（a>b>0）的半焦距,则的取值范围是（　　）

A.（1,+∞）B.（,+∞）

C.（1,）D.（1,]

3.如图,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=　　　　　. 

4.已知定点C（-1,0）及椭圆x2+3y2=5,过点C的直线与椭圆相交于A,B两点.若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程.

5.已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=4,过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M,N两点,设∠MF1F2=α（0≤α≤180°）,问α取何值时,|MN|等于椭圆短轴长?

6.有一椭圆形溜冰场,长轴长100m,短轴长60m,现要在这个溜冰场上规定一个各顶点都在溜冰边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?

这时矩形的周长是多少?

参考答案

A组

1A2C3C4A5C

6答案:

=1

7.答案:

（-1,1）

8.答案:

=1

9.解:

（1）设椭圆的标准方程为=1或=1（a>b>0）.由已知a=2b,①

且椭圆过点（2,-6）,

从而有=1或=1.②

由①②,得a2=148,b2=37,或a2=52,b2=13.

故所求椭圆的方程为=1或=1.

（2）如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线（高）,且OF=c,A1A2=2b,

∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.

故所求椭圆的方程为=1.

10.解:

由题意,直线AB的方程为=1,

即bx-ay+ab=0.

∵焦点F1到直线AB的距离d=,

∴.

两边平方、整理,得8c2-14ac+5a2=0,

两边同时除以a2,得8e2-14e+5=0,

解得e=或e=（舍去）.

B组

1C2D

3答案:

35

解析:

设F1是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a.

又|P4F|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35.

4.解依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0）,将y=k（x+1）代入x2+3y2=5,消去y整理,得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则

由线段AB中点的横坐标是-,得=-=-,解得k=±,适合①.

所以直线AB的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.

5.解（方法一）如图,

建立平面直角坐标系,则a=3,c=2,b=1,

∴椭圆方程为+y2=1.

当直线MN斜率不存在时,得|MN|=,不合题意.

故可设过F1的直线方程为y=k（x+2）.

∴

①代入②,整理可得

（1+9k2）x2+36k2x+72k2-9=0,

∴x1+x2=,x1·x2=.

代入|MN|=,可得

|MN|=.

∵=2,∴k=±,

即tanα=±,∴α=或α=π.

（方法二）如图所示建立平面直角坐标系,由已知可得a=3,c=2,b=1.

令|F1M|=x,则|F2M|=6-x,|F1F2|=4,

在△MF1F2中利用余弦定理得x=,

若令|F1N|=y,则|F2N|=6-y,|F1F2|=4,

在△NF1F2中利用余弦定理得y=,

∴|MN|=x+y=,∴=2,cosα=±,

∴α=或α=π.

6.解分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和y轴,以长轴的中点为坐标原点O,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上,易知矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴都是对称的.已知椭圆的长轴长2a=100m,短轴长2b=60m,则椭圆的方程为=1.

设顶点A的坐标为（x0,y0）,x0>0,y0>0,

则=1,得（502-）=（502-）.

根据矩形ABCD的对称性,可知它的面积S=4x0y0.

由于（502-）

=.

∴当时,取得最大值,此时S也取得最大值.此时x0=25,y0=15,

矩形ABCD的周长为4（x0+y0）=4（25+15）=160（m）.

因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25m的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点