初中数学章节专项《相交线与平行线》教案.docx
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初中数学章节专项《相交线与平行线》教案
相交线与平行线
一、本章学习目标
1、在具体情境中了解邻补角、对顶角的概念,知道对顶角相等。
了解垂线、垂线段等概念,知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线。
会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
了解垂线段最短的性质,体会点到直线距离的定义,并会度量点到直线的距离。
2、了解平行线的概念,知道平行公理及其推论,会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线。
能识别同位角、内错角、同旁内角。
掌握两直线平行的性质和判定方法。
3、理解图形平移后的对应点连线平行且相等的性质。
能够按照要求作出简单平面图形平移之后的图形。
能利用平移进行简单的图案设计,认识平移在现实生活中的应用
4、了解命题的概念,能初步区分命题的题设和结论。
了解命题真假及定理的含义。
理解本章学习的关于描述图形形状和位置关系的语句,会用这些语句描述简单的图形,会根据描述的语句画出图形。
能结合一些具体内容进行说理和简单推理,初步树立言之有据的意识
二、本章知识结构
基本知识
1.相交线:
两条不同的直线有一个公共点,称这两条直线相交,这个公共点称为交点。
2.对顶角:
两条直线相交,有一个公共点,没有公共边的两个角,称为对顶角。
3.对顶角的性质:
对顶角相等。
4.邻补角:
两条直线相交,有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角,称为邻补角。
5.邻补角的性质:
邻补角互补。
6.垂线:
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角为直角,就说这两条直线垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
7.垂线的性质:
①在同一平面内,经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直。
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简述为垂线段最短。
8.点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9.平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
10.平行公理:
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
11.平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
12.同位角:
两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线的相同一侧,并且在第三条直线的同旁,那么这两个角叫做同位角。
13.内错角:
两条直线被第三条直线所截,如果两个角在两条直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,那么这两个角叫内错角。
14.同旁内角:
两条直线被第三条直线所截,如果两个在两条直线之间,并且分别在第三条直线的同旁,那么这两个角叫同旁内角
15.两条平行线间的距离:
同时垂直于两条平行线,并夹在这两条平行线间的线段长度。
16.平行线的判定:
①如果两条直线被第三条直线所截,同位角相等,两条直线平行。
②如果两条直线被第三条直线所截,内错角相等,两条直线平行。
③两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补,两直线平行。
17.平行线的性质:
①两条直线平行,同位角相等。
②两条直线平行,内错角相等。
③两条直线平行,同旁内角互补。
18.平移:
某一基本的平面图形沿某一方向移动了一定的距离,这种图形的平行移动简称为平移。
19.平移的性质:
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行且相等。
20.平移的画法:
①首先要作出平移方向。
②确定平移距离。
③画出和已知图形相对应的对应点,顺次连接方式补充为完整的图形。
21.命题:
判断一件事情的语句
三、本章重点难点
1.重点是对顶角的概念与性质;垂线及垂线段的概念和性质;识别内错角、同位角、同旁内角;平行线的定义、平行公理,平行线的判定和性质;找出一个命题的题设和结论。
2.难点是应用对顶角性质进行有关的推理或计算;点到直线的距离的概念的认识;识别内错角、同位角、同旁内角;平行公理及推论的应用,利用判定公理,性质进行计算或证明和对推理的步骤的了解;找出一个命题的题设和结论。
四、本章中考内容及中考要求
了解对顶角,知道对顶角相等;了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,理解点到直线的距离的意义;了解线段垂直平分线及其性质;知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线;知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线;理解两条平行之间距离的意义,会度量两条平行线之间的距离。
会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线;会三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线;会运用线段垂直平分线的性质;掌握平行线的性质,会判断两条直线是否平行。
五、本章教学过程
(一)相交线
1、邻补角和对顶角
(1)邻补角的定义:
有一条公共边,另一边互为反向延长线,这种关系的两个角称为邻补角
(2)邻补角的性质:
邻补角互补
(3)对顶角:
两条直线相交,有一个公共点,没有公共边的两个角,称为对顶角
(4)对顶角的性质:
对顶角相等
例:
如图,直线a、b相交,∠1=40°,求∠2、∠3、∠4的度数。
解:
∵∠3=∠1(对顶角相等)
∠1=40°(已知)
∴∠3=40°(等量代换)
∴∠2=180°—∠1=140°(邻补角的定义)
∴∠4=∠2=140°(对顶角相等)
练习题一:
1、一个角的对顶角有个,邻补角最多有个,而补角则可以有个。
2、在下图中,∠1,∠2是对顶角的图形是()
3、如图,直线AB交直线CD于O,OE是顶点为O的一条射线,图中的对顶角和邻补角各有()组。
(A)1组,3组(B)2组,4组(C)2组,6组(D)3组,8组
4、如图,直线AB,CD相交于点O,且∠AOD+∠BOC=1000.则∠AOC是()度
(A)1000
(B)900
(C)1500
(D)1300
5、如图,直线AB与直线CD相交于O,OE平分∠AOD,∠BOC=∠BOD—300,则∠COE的度数是()
(A)1100
(B)142.50
(C)1500
(D)750
6、如图,已知三条直线两两相交,∠1=2∠3,∠2=85º,求∠4的度数。
7、如图,AB⊥CD于点O,EF经过点O,若∠1=25º,求∠2的度数。
8、如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∠2:
∠1=4:
1,求∠AOF的度数。
2、垂线
(1)垂线:
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角为直角,就说这两条直线垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,用符号“⊥”表示,如AB⊥CD读作“AB垂直于CD”,它们的交点叫做垂足。
(2)垂线的性质:
①在同一平面内,经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直。
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简述为垂线段最短。
(3)点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
垂线的画法:
①已知直线l,有多少条直线与已知直线l垂直?
——无数条
②过点A画直线BD的垂线
B·AD
A.
D图1B
在学生画出垂线的基础上,教师总结出用直角三角板画垂线的基本方法,强调用两条直角边“一贴”:
贴住已知直线,“一靠”:
靠住已知点再画线,并引导学生思考:
这样画出的为何是已知直线的垂线?
例1:
如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,∠1=55°,求∠EOD的度数.
解:
∵AB⊥OE(已知)
∴∠EOB=90°(垂直的定义)
∵∠BOD=∠1=55°(对顶角相等)
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90°+55°=145
例2:
如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,OB平分∠DOF,∠DOE=50°,求∠AOC、∠EOF、∠COF的度数.
解:
∵AB⊥OE(已知)
∴∠EOB=90°(垂直的定义)
∵∠DOE=50°(已知)
∴∠DOB=40°(互余的定义)
∴∠AOC=∠DOB=40°(对顶角相等)
又∵OB平分∠DOF
∴∠BOF=∠DOB=40°(角平分线定义)
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=90°+40°=130°
∴∠COF=∠COD-∠DOF=180°-80°=100°(邻补角定义)
例3:
如图,∠ACB=90°,CD⊥AB能表示点到直线(或线段)距离的线段有()
A、2条B、3条C、4条D、5条
练习题二:
1、在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种_________
2、如图,若AB⊥CD,则∠ADC=____________
3、已知,在同一平面内,过点O作ON⊥AB,又过点O作OM⊥AB,所以OM与ON重合,其理由是()
(A)过两点只有一条直线
(B)经过一点只有一条直线垂直于已知直线
(C)过一点只能作一条垂线
(D)垂线段最短
4、直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于O,且∠DOE=4∠COE,
则∠AOD的度数是()
(A)1200(B)1500(C)980(D)1260
5、如图,AO⊥CO,BO⊥DO,若∠AOD=160º,求∠BOC的度数。
6、如图,∠ABD和∠CBD互为邻补角,∠CBD=
直角,BE平分∠ABD,BF⊥AC,求∠EBF的度数。
7、已知如图,O是直线CD上任意一点过点O引射线OA、OB、OE,使OE⊥OB,∠EOC与∠COA互为余角,∠EOC=53º,求∠BOD的度数。
8、如图,要从小河a引水到村庄A,请设计并作出一最佳路线,理由是:
__________
3、同位角、内错角、同旁内角
(1)同位角:
两条直线被第三条直线所截,如果两个角分别在两条直线的相同一侧,并且在第三条直线的同旁,那么这两个角叫做同位角。
(2)内错角:
两条直线被第三条直线所截,如果两个角在两条直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,那么这两个角叫内错角。
(3)同旁内角:
两条直线被第三条直线所截,如果两个在两条直线之间,并且分别在第三条直线的同旁,那么这两个角叫同旁内角
例:
如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中,哪些是同位角?
哪些是内错角?
哪些是同旁内角?
分析:
①CE是截线,由CE与其它线相交得到的角有哪几个?
②将这几个角抽出来,观察分析它们的位置关系
③再取其它的线为截线,再抽取与该截线相关的角来分析
解:
练习题三:
1、如图,∠ADE和∠CED是()
A、同位角B、内错角C、同旁内角D、互为补角
2、如图,∠B与∠_____是直线______和直线_______被直线_________所截的同位角。
3、如图⑷,在∠1、∠2、∠3、∠4四个角中,
同位角有对,它们是,
内错角有对,它们是,
同旁内角有对,它们是;
4、图中,有几对同位角?
几对内错角?
几对同旁内角?
5、如图,∠1和∠2,∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的是什么角?
∠4与∠5呢?
∠2与∠6呢?
(二)平行线
1、平行线定义
(1)在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
用符号“∥”表示,如AB∥CD读作“AB平行于CD”
(2)平行公理:
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
(3)平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
两条平行线的距离
如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。
注意:
直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。
例:
判断下列说法是否正确
①直线AB与CD平行,记作AB∥CD
②线段a与直线AB垂直,记作a∥AB
③直线a与直线b互相垂直,记作a⊥b
④直线AB与直线CD互相垂直,记作AB⊥CD
答:
由定义知,①③④是正确的,而②是错误的
练习题四:
1、在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种_________
2、若a⊥b,c⊥d则a与c的关系是()
A、平行B、垂直C、相交D、以上都不对
3、公路两旁的两棵电线杆位置关系是__________________
4、下列说法正确的是()
A、同一平面内不相交的两线段必平行
B、同一平面内不相交的两射线必平行
C、同一平面内不相交的一条线段与一条直线必平行
D、同一平面内不相交的两条直线必平行
5、已知直线l1和l2都经过点P,并且l1∥l3,l2∥l3,那么l1和l2必须重合,这是为什么?
2、平行线的判定
(1)如果两条直线被第三条直线所截,同位角相等,两条直线平行。
(2)如果两条直线被第三条直线所截,内错角相等,两条直线平行。
(3)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补,两直线平行。
例1:
看图填空,如图2—46
(1)因为∠1=∠E,(已知)
所以__________∥________()
(2)因为∠2=∠D,(已知)
所以_________∥__________()
(3)因为∠3=∠B(已知)
所以AB∥____________()
例2:
如图,直线AB、CD被直线EF所截.量得∠1=60,∠2=120,就可以判定AB∥CD.它的根据是什么?
解法一:
∵∠1=60o ∠2=120o(已知)
∴∠1+∠2=180o
∵∠2=∠5
∴∠1+∠5=180o(等量代换)
∴AB∥CD(同旁内角互补、两直线平行)
解法二:
∵∠2=120o(已知)
∴∠3=60o(邻补角的定义)
∵∠1=60o(已知)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
解法三:
∵∠2=120o(已知)
∴∠4=60o(邻补角的定义)
∵∠1=60o(已知)
∴∠1=∠4(等量代换)
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
练习题五:
1、如图AB∥CD∠1=∠2,∠3=∠4,试说明AD∥BE
解:
∵AB∥CD(已知)
∴∠4=∠_____()
∵∠3=∠4(已知)
∴∠3=∠_____()
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF()
即∠_____=∠_____()
∴∠3=∠_____
∴AD∥BE()
2、如图,若已知∠D+
C=180°,可以判定直线和平行;若
1=
2,则可以判定直线和平行。
3、如图2—47已知:
∠1=40°,∠2=140°,说明:
AB∥CD
4、如图2—48ΔABC中,∠B=90°,D在AC边上,DF⊥BC于F,DE⊥AB于E,说明:
AB∥DF
5、如图,已知∠A+∠B=180º,∠A=∠C,可得到那些直线互相平行?
3、平行线的性质
(1)两条直线平行,同位角相等。
(2)两条直线平行,内错角相等。
(3)两条直线平行,同旁内角互补。
例1:
已知∠1=∠B,求证:
∠2=∠C
证明:
∵∠1=∠B(已知)
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)
∴∠2=∠C(两直线平行,同位角相等)
例2:
用两块相同的三角板按如图所示的方式作平行线,
能解释其中道理的依据是。
答案:
内错角相等,两直线平行
例3:
已知:
如图,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,D∥AB,DF∥AC试说明∠FDE=∠A
解:
∵DE∥AB()
∴∠A+∠AED=1800()
∵DF∥AC()
∴∠AED+∠FED=1800()
∴∠A=∠FDE()
练习题六:
1、如图1,已知直线AB∥CD,如果AB⊥MN,那么CD与MN垂直吗?
为什么?
如果EF也垂直于MN,那么AB与EF平行吗?
为什么?
如果AB∥EF,那么CD∥EF吗?
为什么?
2、如图2,当∠1=∠2时,AB与CD平行吗?
为什么?
3、如图3,如果AB∥CD,那么图中哪些角相等?
哪些角互补?
图1图2图3
4、如图4:
AD⊥BC,垂足为D,DE//BA。
则CDE与BAD的关系是_____(填“相等”、“互余”或“互补”)
5、已知:
如图5,1=2=B,EF∥AB。
求证3=C。
证明:
∵1=B()
∴DE∥BC()
∴2=C()
∵EF∥AB()
∴B=3()
又∵2=B()
∴3=C()
4、平移
(1)平移的要素:
①平移的方向;
②平移的距离
(2)定义:
将一个图形沿某个方向移动叫做平移
(3)平移的性质:
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行且相等。
(4)平移的作图方法:
①找出已知图形上的关键点
②过这些点沿指定方向平移,平移距离等于已知距离
③依次作出各个对应点,连结所平移后的点得平移图形
例:
属于平移的有哪些?
答:
属于平移的有①,④
注意:
平移不改变图形的形状与大小,平移前与平移后的图形是全等形;因此平移是解决全等问题的一个重要方法
是添加辅助线的依据之一。
练习题七:
1、图形中的平行移动,简称平移,它由移动的()所决定
A.方向B.距离C.方向和距离D.以上答案均不对
2、如图,四边形
沿着
方向,平移到四边形
,则点A的对应点是点____,点B的对应点是点_______,线段AB的对应线段是线段_________。
对应角是_______________,四边形
平移到______________,四边形
沿着___________方向平移到_________________。
3、如图,
________。
4、
(1)将线段AB向北偏东方向平移5cm,则点A平移方向__________,平移距离为____________
(2)经过平移后的图形与__________全等
5、下列物体运动中平移的是_________(填序号)
①打乒乓球的运动;②手表上指针的运动;③汽车在笔直公路上运动;④车轮的滚动
6、如图,经过平移,三角形ABC的边AB移到了EF,作出平移后的三角形,你能给出几种作法?
7、如图,将半圆图形按箭头所指的方向平移,其中A点到了A`点,作出平移后的图形.
8、如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AB=CD,AD平移后的三角形中,与B,E的对应点F,G,还是在BC边上吗?
∠B和∠C相等吗?
说明理由