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北师大版九年级数学上册学案
1.1菱形的性质与判定（第一课时）
一、问题引入
1、叫做菱形.
2、菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质之外，还具有哪些特殊性质？
二、基础训练
1、菱形边长为5,则它的周长为.
2、已知菱形ABCD中，∠ABD=250,则菱形的相邻两角分别是、.
3、菱形的两条对角线长分别是4和5,则面积是.
4、如果菱形ABCt周长为40Cm它的一条对角线AC=12cm,那么对角线BD长是—.
三、例题展示
例1:
四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，AB=5cm,AO=4Cm,求两条对角线AC和
BD的长.
例2:
如图所示,菱形花坛ABCD勺边长为20cm,∠ABC=60.沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长.
A
B
D
C
A.4cm
B.3Cm
C.2cm
D.23Cm
四、课堂检测
1菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A.对角相等B•对边相等C•对角线相等D•对角线互相垂直
2、在菱形ABC冲,对角线AC=4∠BAD=120,则菱形ABCD勺周长为（）
A.20B.18C.16D.15
3、在菱形ABC冲,两条对角线AC=10,BD=24则此菱形的边长为（）
A.14B.25C.26D.13
4、如图所示,在菱形ABCD中,AB=5,ZBCD=120.则厶ABC的周长等于（
A.20B.15C.10D.5
5、菱形的边长是2cm,—条对角线的长是2.3cm,则另一条对角线的长是（）
第6题
6、如图所示，在菱形ABCD中,点E,F分别在CD,BC上，且CE=CF,求证：
AE=AF
7、（2012.重庆）已知，在菱形ABCD中,F为边BC的中点QF与对角线AC交于点M,过M作ME丄CD于点ZBACZCDF,
（1）若CE=1求BC的长
第7题
⑵求证:
AM=DF+ME
1.1菱形的性质与判定（第二课时）
一、问题引入
1、叫做菱形.
2、
3、除了菱形的定义可以判断一个平行四边形是菱形外，还有什么条件可以判断？
二、基础训练
1、要使□ABCD⅛菱形，下列添加条件中正确的是（）
∠ABC∠CDA
A.AB⊥BCB.AC丄BDC.AC=BDD.
2、如图所示,在□ABCC中,AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，若添加一个条件，仍无法
）
丄AC
是∠EAF的平分线
判断四边形AECF⅛菱形的是（
A.AE=AFB.EF
C.∠B=60°D.AC
二、例题展示
例1:
如图所示，二ABCD勺对角线AC的垂直平分线与边ADBC分别交于E、F.求证：
四边形AFCE是菱形.
例2:
如图所示，AD是厶ABC的角平分线，DE//AC交AB于点EQF//AB交AC于F,四边形AEDF
是什么特殊的平行四边形吗？
并证明
D
四、课堂检测
1在四边形ABCDKAB//CD,AB=CD要使四边形ABCD是菱形，还需要添加一个条件，这个条件不可以是（）
A.AB=BCB.AD//BCC.AC丄BDD.AB=AD
2、下列条件中能判定四边形ABCD为菱形的个数有（）
①AB=BC=CD=DA②AC,BD互相垂直平分③四边形ABCDi平行四边形，且ACLBD④四边
形ABCDi平行四边形，且AC=BD
A.1个B.2个C.3个D.4个
3、画一个菱形,使它的两条对角线的长分别为4Cm和6Cm.
4、如图所示,在□ABCe中,EF经过对角线的交点0,且EFLAC分别交CD,AB于E,F,求证：
四边形AECF是菱形•
F
第4题
B
第5题
5、如图所示，在厶ABC中,∠ACB=90,A［是∠BAC的平分线，交BC于D,CH是AB边上的高，交AD
于F,DE⊥AB于E,求证：
四边形CDEF是菱形.
1.1菱形的性质与判定（第三课时）
一、问题引入
1、菱形的定义：
叫菱形.
2、菱形的性质：
（1）具有平行四边形的所有性质（边、角、对角线、对称性）
（2）特殊性质：
①边：
菱形:
②对角线：
菱形,③对称性：
菱形是
图形（对称轴是：
—）;④面积：
菱形的面积等于。
3、菱形的判别：
（1）边：
①一组相等的是菱形（定义）：
②相
等的是菱形；
（2）对角线：
①对角线的平行四边形是菱形；②对角
线的四边形是菱形。
二、基础训练
1、菱形的两条对角线分别是12Cm16Cm则菱形的周长是（
）
A.4和2B.1和23
C.2和23D.2和.3
A.24cmB.32cmC.40CmD.60cm2、如图，菱形ABCD勺周长为8,两邻角的比为2：
1,则对角线的长分别为（
3、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等
4、菱形的周长为100Cm一条对角线长为14cm它的面积是（）
2222
A.168cmB.336cmC.672cmD.84cm
三、例题展示
例1：
如图所示，已知菱形ABCD中,AC与BD相交O点，若∠BDC=30,菱形的周长为20厘米,求菱形的面积.
D
例2:
如图，已知：
两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证重叠部分为菱形
四、课堂检测
1下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（）
A.对角线互相平分的四边形B.对角线互相垂直且平分的四边形
C.对角线相等的四边形D.对角线相等且互相垂直的四边形
2、菱形的边长是2cm,—条对角线的长是2,3cm,则另一条对角线的长是（）
A.4cmB.,3CmC.2cmD.2,3cm
3、菱形的周长为16,两邻角度数的比为1:
2,此菱形的面积为（）
A.4,3B.83C.10.3D.12..3
4、如图，菱形ABCDI勺对角线ACBD交于点Q且AC=16cmBD=12Cm求菱形ABCDI勺高DH.
第4题
5、已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,求证：
四边形EGFh是菱形.
B
第5题
1.2矩形的性质与判定（第一课时）
一、问题引入
1、叫平行四边形.
2、叫矩形.
3、矩形是轴对称图形吗？
如果是，它有几条对称轴？
4、矩形除具有平行四边形的所有性质外，还具有哪些特殊性质？
二、基础训练
1、矩形ABCD勺两条对角线相交于点O,∠AOD=120,AB=1,则AC=.
2、已知矩形ABCD中,S矩形ABCD=24Cm,若BC=6cm,则对角线AC的长是cm.
3、矩形的一条边长为3cm对角线为5cm则矩形的周长为,其面积为.
4、如图所示，在矩形ABCD中已知AE⊥BD于E,∠DBC=30°,BE=ICm,则AE的长为（）
A.3CmB.2CmC.23CmD.3Cm
5、在直角三角形，已知两边长分别是12和5,则任斜边上的中
线长为（）
A.26B.13C.6.5D.6.5或6
三、例题展示
例1：
如图所示,在矩形ABCC中,对角线AC.BD相交于点O,且∠AOD=120,AC=12Cm,求AB的
C
例2:
如图所示,四边形ABCDi矩形,△PBC^n△QCDrE是等边三角形,且点P在矩形上方，点Q
在矩形内.
（1）求证:
∠PBA=/PCQ=30
⑵求证:
PA=PQ
四•课堂检测
1矩形ABC啲边AD=3cm对角线AC和BD的夹角∠AOB=120,贝UAC。
2、Rt△ABC的两直角边长分别为3和4,则斜边上的中线是,斜边的高是
3、矩形的面积为12c∏2,—条边长为3cm,则矩形的对角线长为
4、已知
A.
5、矩形
E是矩形ABCDI勺边BC的中点，那么SAAE=
B.1
4
C.
ABCD&AC折叠，使点B落在点E处，求证:
第5题
6、已知在矩形ABC冲，E为DC边上一点BF⊥AE于点F,且BF=BC.求证：
AE=AB.
第6题
7、如图，在矩形ABC冲，对角线AC和BD相交于点0,过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E,求证：
AACE是等腰三角形
1.2矩形的性质与判定（第二课时）
一、问题引入
1、矩形的性质：
（1）
（2）.
2、矩形的判定方法.
矩形判定方法1:
.
矩形判定方法2:
.
二、基础训练
1、已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60,AB=4Cm,则矩形的对角线长为
2、下列条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是（）
A.AB//CD,AB=CD,AC=BDB.∠A=∠B=∠D=90°
C.AB=BC,AD=CD∠C=90°D.AB=CD,AD=BC,∠A=90°
三、例题展示
例1:
已知：
如图，在□ABCD中,M是AD的中点，且MB=MC.求证：
四边形ABCD是矩形.
例2:
如图，在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点0厶ABC是等边三角形，AB=4,求□ABCD的面积.
A
D
四、课堂检测
1下列说法正确的是（）
A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形
C.对角线互相平分的四边形是矩形D.
2、满足下列条件（）的四边形是矩形
A.有三个角相等B.
C.对角线相等且互相垂直D.
3、如图,
分线于点
M
第3题图
D
C
B.
有一组邻角是直角的四边形一定是矩形对角互补的平行四边形是矩形
有一个角是直角
对角线相等且互相平分
点B在MNk,过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平CQ,试判断四边形ACBD勺形状，并证明你的结论.
4、如图，矩形ABCD勺对角线ACBD相交于点O,E、F、GH分别是OAOBOCOD的中点，顺次连结E、F、GH所得的四边形EFGH是矩形吗？
说明理由•
5、如图所示，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN/BC,设MN交∠BCA的平分线CE于点E,交厶ABC的外角∠ACD勺平分线CF于点F.
（1）求证：
OE=OF
（2）当O点动动到何处时，四边形AECF为矩形？
并证明你的结论.
A
FN
第5题图
C
1.2矩形的性质与判定（第三课时）
一、问题引入
1、矩形的性质定理：
除了具有与平行四边形一样的性质之外，矩形所具有的特殊性质是：
①矩形的E是直角；②矩形的对角线.
2、矩形的判定定理：
①有一个角是直角的矩形（定义）;②有
是直角的四边形是矩形；③对角线的平行四边形是矩形.
二、基础训练
1、在矩形ABC冲，对角线AGBD交于点0,若∠AOB=60,AB=4cm,贝UAC=Cm.
2、如图所示，已知QABCD下列条件：
①AC=BD②AB=AD③∠仁∠2,④AB丄BC中，能说
明=ABCDi矩形的有（填写序号）•
3、如图，矩形的对角线交于点0,过点0的直线交ADBC于点BF,AB=2BC=3则图中
阴影部分的面积为
C
三、例题展示
例1：
在矩形ABC呼，对角线AC与BD相交于点O,AE!
BD足为E,ED=3BE求AE的长.
例2：
已知，如图，在△ABC中，AB=AC,AD≡^ABG勺一条角平线,平分线，CELAN足为E,求证：
四边形ADCEi矩形.
ANABC外角∠CANI勺
例3：
在例2中，连接DE,交AC下点F,
M
（1）试判断四边形ABDE勺形状，并证明你的结论
（2）线段DF与AB有怎样的关系？
请证明你的结论
四、课堂检测
1、如图，在矩形ABC冲,AB=3,AD=4,P是AD上于F,PE⊥BD于E,贝UPE+PF的值为（）
动点,PF丄AC
第1题图
12
^5
135
B-丁C2D-2
2、已知：
如图，在△ABC中，AB=ACD为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形,求证：
四边形ADCEi矩形.
第2题图
3、如图，以△ABC的三边为边，在BC?
勺同侧分别作3?
个等边三角形，？
即厶ABD△BCE
△ACF请回答问题并说明理由：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当厶ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
1.3正方形的性质与判定（第一课时）
、问题引入
1、正方形的定义：
叫做正方形.
2、正方形是矩形吗？
是菱形吗？
3、正方形的性质：
（1）正方形的四个角，四条边.
（2）正方形的对角线.
二、基础训练
1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）
A.四个角都是直角
B.对角线互相平分
C.对角相等D.对角线互相垂直
2、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A.对角线相等B.
3、如图，在正方形等腰三角形•
A.4B.6
三、例题展示
对角线互相垂直平分C.四条边相等D.一条对角线平分一组对角
ABC冲，对角线AC与BD相交于点O,图中有（）个
C.8D.10
例1:
如图，在正方形ABC冲，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF,
BE与DF之间有怎样的关系？
请说明理由.
例2:
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？
请用一个图直观表示它们之间的关
系•
四、课堂检测
1、若正方形的一条对角线长为2,则它的边长是.
2、若正方形的面积是9，则它的对角线长是.
3、如图，在正方形ABCD勺边BC的延长线上取一点E,使CE=CA连接AE交CD于F,
则∠AFD=°.
4、如图,E是正方形ABCD⅛—点，如果△ABE为等边三角形,那么∠DCE=
第3题图
第5题图
第6题
7、如图，在正方形ABCD中,G为CB延长线上一点,段DEBF、EF之间的数量关系.
DELAG于点E,BF⊥AG于点F,试探究线
5、如图，M,N分别是正方形ABCD勺边BC,CDLh的点，且BM=CN,A与BN交于点P,试探索AM
与BN的关系.
6、如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B,C不重合），AEIDG于F,CF
//AE交DG于F.
（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明;
（2）求证：
AE=FC+EF
1.3正方形的性质与判定（第二课时）
一、问题引入
1、正方形的定义：
叫做正方形.
2、满足什么条件的矩形是正方形？
满足什么条件的菱形是正方形?
3、的菱形是正方形.
4、的矩形是正方形.
5、的菱形是正方形.
二、基础训练
1、在四边形ABCDhO是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（）
A.AC=BD,AB//CDB.AD∕/BC,∠A=∠C,
C.AOBOCODO,ACBDD.AOCO,BODO,
2、如图，在Rt△ABCΦ,∠ACB=90,D,E,F分别是AB,AC,BC
的中点，连接DE,DF,EF,要使四边形DECF是正方形，只需要
添加一个条件为.
三、例题展示例1:
已知：
如图所示，在矩形ABC冲，BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BR∕CE,CF∕/BE,
求证：
四边形BECF是正方形•
例2:
求证：
顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形
四、课堂检测
1、下列命题中，真命题是（
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2顺次连接矩形各边中点所得的四边形是
第5题图
3、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是.
4、顺次连接正方形各边中点所得的四边形是•
5、已知：
如图，E,F是正方形ABCD勺对角线BD上的两点，且BE=DF,求证：
四边形AECF是菱形•
6、如图，在正方形ABCD中,E,F,G,H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=D四边形EFGH
第6题图
是什么特殊四边形？
请证明你的结论
7、如图，在矩形ABCD中,M是对角线AC上的一个动点（点M与点A,C不重合），作M⊥AB于点E,MF⊥BC于点F,
⑴试说明四边形EBFM⅛矩形
⑵连接BM当点M运动到使∠ABM为何值时，矩形EBFM⅞正方形？
请写出结论•
第7题图
A
第1题图
第一章特殊平行四边形单元检测
、选择题
3
第6
A.四个角都是直角
B.对角线互相平分
C.对角相等D.对角线互相垂直
&（2014?
孝感）如图，正方形OABC勺两边OAOC分别在X轴、y轴上,
点D（5,3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°,则旋转后
点D的对应点D的坐标是（）
A.（2,10）B.（-2,0）C.（2,10）
或（-2,0）D.（10,2）或（-2,0）
1如图,四边形ABCD勺对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）
A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD
2、在菱形ABC冲,对角线AC=4∠BAD=120,则菱形ABCDI勺周长为（）
A.20B.18C.16D.15
3、（2014?
广西玉林市）下列命题是假命题的是（）
A.四个角相等的四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线垂直的平行四边形是菱形
4、如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（）
A.平行四边形B•菱形C•矩形D•正方形
5、下列条件中，不能判定四边形ABCE为矩形的是（）
A.AB//CD,AB=CD,AC=BDB.ZA=ZB=ZD=90
C.AB=BC,AD=CD∠C=90D.AB=CD,AD=BC,ZA=90
6、如图，菱形ABCD中,对角线ACBC相交于点O,H为AD边中点，
菱形ABCDI勺周长为28,则OH的长等于（）
A.3.5B.4C.7D.14
二、填空题
9、（2014?
江苏苏州）已知正方形ABCD勺对角线AC=:
则正方形ABCD勺周长为.
10、（2014?
山东淄博）已知□ABCD对角线ACBD相交于点O,请你添加一个适当的条件，
使□ABCD成为一个菱形，你添加的条件是.
11、已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,ZAOB=60,AB=4Cm,则矩形的对角线长为.
12、（2014?
畐建泉州）如图，Rt△ABC中，ZAC住90°,D为斜边AB的中点
AB=10cm贝UCD的长为cm.
13、
（2014?
四川宜宾）菱形的周长为20Cm两个相邻的内角的度数之比为1:
2,则较长的
对角线长度是
Cm
14、（2014年四川资阳）如图，在边长为4的正方形ABC冲，E是AB边上的
一点，且AE=3,点Q为对角线AC上的动点，则△BEC周长的最小值为
三.解答题
15、（2014?
福建泉州）已知：
如图，在矩形ABCc中,
第14
第15题图
7、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）
点E,F分别在AB,CD边上，BE=DF,连接CEAF.求证：
AF=CE
16、（2014?
四川巴中）如图，在四边形ABCD中,点H是BC的中点，作射线AH,在线段AH
及其延长线上分别取点E，F,连结BECF.
（1）请你添加一个条件，使得△BEH^△CFH你添加的条件是,并证明.
（2）在问题
（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.
、问题引入:
1、只含有,并且未知数的最高次数是2的,称为一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式是（a,b,c为常数，a0）,其中ax2称
为，bx称为，C称为；称为二次项系数，称
为一次项系数•
3、一元二次方程的解：
满足方程的的值叫做一元二次方程的解•一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
二、基础检测：
1、下列方程中，不是一元二次方程的是（）
A.2χ270B.2x22、3x10
C.5x2140D.3χ2（1x）.210
X
2、方程
x22（3x
2）
（X
1）0的一般形式是（
）
A
2
・X
5x5
0
B.
2
X5x50C.X
25x50
2
D.x50
3、
一元—
一次方程
7x2
2x
0的二次项、一次项、常数项依次是（
）
A.
7x2
2x,oB
•
7x2,
2x,无常数项C.
2
7x,0,2xD
.7χ2,2x,0
4、
当m
时,
关于X的方程（m2）x2
X10疋兀.
二次方程.
5、
一元—
一次方程
5x
21
6x化为一般形式为
，其中二次项系数
是
一次项系数是，常数项是
二、例题展示：
例1:
把方程（X2）21X2化成一元二次方程一般形式，并写出二次项系数、一次项系数、
常数项.
2
1
B
.X
-10
X
D
.6x2
3x2
AX
A.34x
2
CX216
2、若关于X的方程xm15x30是一元二次方程，则m等于（）
A.2
B.-3
C
.3
D
.-1
3、
若关于
X的方程a（x1）2
2x2
2疋兀—
「次方程,
则a的值是（
）
A.
2
B.-2
C
.0
D
2
4、
若X1是方程ax2bxC
0的解，则（
）
A.
ab
C1B.ab
C0
C.a
b
C（
DD.abc
0
5、
（2013来宾市）已知关于X
的一元
二次方程
2X
X
k0的一个根是
2,则k的值是（
）
A.
2
B.-2
C
.1
D
.-1
6、
（2013
牡丹江市）若关于
X的
兀二次方程
2ax
bx50（a0）
的一个解是X1,
则
2013a
升级会员 