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相交线与平行线最全知识点

一、本章共分4大节共14个课时；（2.16～3.7第1、4周）

章节

内容

课时

第五章　　

相交线与平行线

5.1　　　

相交线

5.2　　

平行线及其判定　

5.3　　

平行线的性质　

5.4　

平移

单元小结

二、本章有四个数学基本事实

1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

2.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；

3.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；

4.两直线平行，同位角相等.

三、本章共有19个概念

1.对顶角2.邻补角3.垂直4.垂线5.垂足6.垂线段7.点到直线的距离8.同位角9.内错角

10.同旁内角11.平行12.数学基本事实13.平行公理14.命题15.真命题16.假命题

17.定理18.证明19.平移

四、转化的数学思想

遇到新问题时，常常把它转化为已知（或已解决）的问题.P14

五、平移

1.找规律

2.转化求面积

3.作图

（2009年安徽中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长

cm，其一个内角为60°．

（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；

【解】

（2）当d＝20时，若保持

（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？

【解】

相交线与平行线知识点

5.1相交线

1、邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

图形

顶点

边的关系

大小关系

对顶角

∠1与∠2

有公共顶点

∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线

对顶角相等

即∠1=∠2

邻补角

∠3与∠4

有公共顶点

∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.

∠3+∠4=180°

注意点：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.

2、垂线

⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

符号语言记作：

如图所示：

AB⊥CD，垂足为O

⑵垂线性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）

⑶垂线性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：

垂线段最短.

3、垂线的画法：

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线.

注意：

①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；

②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上.

画法：

⑴一靠：

用三角尺一条直角边靠在已知直线上，

⑵二移：

移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，

⑶三画：

沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.

4、点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

记得时候应该结合图形进行记忆.

如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长.PO是垂线段.PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.

现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用.

5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念

分析它们的联系与区别

⑴垂线与垂线段区别：

垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度.联系：

具有垂直于已知直线的共同特征.（垂直的性质）

⑵两点间距离与点到直线的距离区别：

两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间.联系：

都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离.

⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同.

5.2平行线

1、平行线的概念：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线

与直线

互相平行，记作

∥

2、两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

⑴相交；⑵平行.

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

3、平行公理――平行线的存在性与惟一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

4、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

　　　　　　　　　　　　如左图所示，∵

∥

，

∥

　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴

∥

　　　　　　　　　　　　注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.

5、三线八角

　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.

　如图，直线

被直线

所截

　①∠1与∠5在截线

的同侧，同在被截直线

的上方，

叫做同位角（位置相同）

　②∠5与∠3在截线

的两旁（交错），在被截直线

之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）

　③∠5与∠4在截线

的同侧，在被截直线

之间（内），叫做同旁内角.

　④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型.

6、如何判别三线八角

　判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全.

　例如：

　如图，判断下列各对角的位置关系：

⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8.

　我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图.

　如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角.

注意：

图中∠2与∠9，它们是同位角吗？

不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.

7、两直线平行的判定方法

方法一　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：

同位角相等，两直线平行

方法二　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：

内错角相等，两直线平行

方法三　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

　　　　简称：

同旁内角互补，两直线平行

　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠3＝∠2

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180°

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行.平行线的判定是写角相等，然后写平行.

注意：

⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”.上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”.

⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：

1如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

2如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行.

典型例题：

判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：

　⑴不相交的两条直线必定平行线.

　⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交.

　⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行

解答：

⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏.　⑵正确

　　　⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.

典型例题：

如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？

解答：

⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行；

⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；

⑶由∠ACF＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行.

5.3平行线的性质

1、平行线的性质：

　性质1：

两直线平行，同位角相等；

　性质2：

两直线平行，内错角相等；

　性质3：

两直线平行，同旁内角互补.

　　　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

2、两条平行线的距离

　如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.

注意：

直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离.

3、命题：

⑴命题的概念：

判断一件事情的语句，叫做命题.

⑵命题的组成

每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……，那么……”的形式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.

　有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显.对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式.

注意：

命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.

4、平行线的性质与判定

①平行线的性质与判定是互逆的关系

　两直线平行　　　　　同位角相等；

　两直线平行　　　　　内错角相等；

　两直线平行　　　　　同旁内角互补.

其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质.

典型例题：

已知∠1＝∠B，求证：

∠2＝∠C

　　证明：

∵∠1＝∠B（已知）

　　　　　∴DE∥BC（同位角相等，

　　　　　　　　　　两直线平行）

　　　　　∴∠2＝∠C（两直线平行

　　　　　　　　　　同位角相等）

注意，在了DE∥BC，不需要再写一次了，得到了DE∥BC，这可以把它当作条件来用了.

典型例题：

如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°

　　　　　求∠2、∠3的度数

解答：

∵DE∥BC（已知）

　　　∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）

　　　∵AB∥DF（已知）

　　　∴AB∥DF（已知）

　　　∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

　　　∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°

5.4平移

1、平移变换

　①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.

　②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点

　③连接各组对应点的线段平行且相等

2、平移的特征：

　①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.

　②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.

典型例题：

如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么：

⑴点A的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B的对应点是点＿＿＿＿＿＿.

⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F；⑷线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；

⑸线段BC的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A的对应角是＿＿＿＿＿＿.

　　⑺＿＿＿＿的对应角是∠F.

解答：

　⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB.

思维方式：

利用平移特征：

平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答.

考点一：

对相关概念的理解

对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等

例1：

判断下列说法的正误。

（1）对顶角相等；

（2）相等的角是对顶角；

（3）邻补角互补；

（4）互补的角是邻补角；

（5）同位角相等；

（6）内错角相等；

（7）同旁内角互补；

（8）直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；

（9）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（10）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

（11）两直线不相交就平行；

（12）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。

练习：

下列说法正确的是（）

A、相等的角是对顶角B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离

C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。

D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行

考点二：