例2.如图所示,点O2是⊙O1上一点,⊙O2与⊙O1相交于A、D两点,BC⊥AD,垂足为D,分别交⊙O1、⊙O2于B、C两点,延长DO2交⊙O2于E,交BA的延长线于F,BO2交AD于G,连结AG.
(1)求证:
∠BGD=∠C;
(2)若∠DO2C=45°,求证:
AD=AF;
(3)若BF=6CD,且线段BD、BF的长是关于x的方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0的两个实数根,求BD、BF的长.
解析:
(1)∵BC⊥AD于D,
∴∠BDA=∠CDA=90°,
∴AB、AC分别为⊙O1、⊙O2的直径.
∵∠2=∠3,∠BGD+∠2=90°,∠C+∠3=90°,
∴∠BGD=∠C.
(2)∵∠DO2C=45°,∴∠ABD=45°,∵O2D=O2C,
∴∠C=∠O2DC=
(180°-∠DO2C)=67.5°,
∴∠4=22.5°,∵∠O2DC=∠ABD+∠F,
∴∠F=∠4=22.5°,∴AD=AF.
(3)∵BF=6CD,∴设CD=k,则BF=6k.
连结AE,则AE⊥AD,∴AE∥BC,
∴
∴AE·BF=BD·AF.
又∵在△AO2E和△DO2C中,AO2=DO2
∠AO2E=∠DO2C,O2E=O2C,
∴△AO2E≌△DO2C,∴AE=CD=k,
∴6k2=BD·AF=(BC-CD)(BF-AB).
∵∠BO2A=90°,O2A=O2C,∴BC=AB.
∴6k2=(BC-k)(6k-BC).∴BC2-7kBC+12k2=0,
解得:
BC=3k或BC=4k.
当BC=3k,BD=2k.
∵BD、BF的长是关于x的方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0的两个实数根.
∴由根与系数的关系知:
BD+BF=2k+6k=8k=4m+2.
整理,得:
4m2-12m+29=0.
∵△=(-12)2-4×4×29=-320<0,此方程无实数根.
∴BC=3k(舍).
当BC=4k时,BD=3k.
∴3k+6k=4m+2,18k2=4m2+8,整理,
得:
m2-8m+16=0,
解得:
m1=m2=4,
∴原方程可化为x2-18x+72=0,
解得:
x1=6,x2=12,∴BD=6,BF=12.
中考样题训练
1.已知抛物线y=-x2+(k+1)x+3,当x<1时,y随着x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小.
(1)求k的值及抛物线的解析式;
(2)设抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左边),抛物线的顶点为P,试求出A、B、P三点的坐标,并在直角坐标系中画出这条抛物线;
(3)求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标;
(4)设点G(0,m)是y轴上的动点.
①当点G运动到何处时,直线BG是⊙O′的切线?
并求出此时直线BG的解析式.
②若直线BG与⊙O相交,且另一个交点为D,当m满足什么条件时,点D在x轴的下方?
2.如图,已知圆心A(0,3),⊙A与x轴相切,⊙B的圆心在x轴的正半轴上,且⊙B与⊙A外切于点P,两圆的公切线MP交y轴于点M,交x轴于点N.
(1)若sin∠OAB=
,求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式;
(2)若⊙A的位置大小不变,⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动,并使⊙B与⊙A始终外切,过M作⊙B的切线MC,切点为C,在此变化过程中探究:
①四边形OMCB是什么四边形,对你的结论加以证明;
②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?
若存在,表示出来;若不存在,说明理由.
3.如图,已知直线L与⊙O相交于点A,直径AB=6,点P在L上移动,连结OP交⊙O于点C,连结BC并延长BC交直线L于点D.
(1)若AP=4,求线段PC的长;
(2)若△PAO与△BAD相似,求∠APO的度数和四边形OADC的面积.(答案要求保留根号)
考前热身训练
1.如图,已知A为∠POQ的边OQ上一点,以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点,且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角),当∠MAN为以点A为旋转中心,AM边从与AO重合的位置开始,按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时,M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动.设OM=x,ON=y(y>x≥0),△AOM的面积为S,若cosα、OA是方程2z2-5z+2=0的两个根.
(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时,求点N移动的距离;
(2)求证:
AN2=ON·MN;
(3)求y与x之间的函数关系式及自变量量x的取值范围;
(4)试写出S随x变化的函数关系式,并确定S的取值范围.
2.如图,已知P、A、B是x轴上的三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),且PA:
AB=1:
2,以AB为直径画⊙M交y轴的正半轴于点C.
(1)求证:
PC是⊙M的切线;
(2)在x轴上是否存在这样的点Q,使得直线QC与过A、C、B三点的抛物线只有一个交点?
若存在,求点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)画⊙N,使得圆心N在x轴的负半轴上,⊙N与⊙M外切,且与直线PC相切于D,问将过A、C、B三点的抛物线平移后,能否同时经过P、D、A三点?
为什么?
答案:
中考样题看台
1.
(1)k=1,抛物线解析式y=-x2+2x+3
(2)A(-1,0),B(3,0),C(1,4)
(3)∵⊙O′过A、B两点,
∴O′在AB的垂直平分线上,即在抛物线的对称轴上,
设抛物线的对称轴交x轴于M,交⊙O′于N,
则有MP×MN=MA×MB,4MN=2×2,
∴MN=1,PN=5,O′P=
∴O′点在x轴上方,∴O′M=
,∴O′(1,
).
(4)①过B点作⊙O′的切线交y轴于点G,直线BO′交y轴于点E,
可求出直线BO′的解析式为,y=-
x+
,
∴E(0,
),∵BG是⊙O′的切线,BO⊥EG,
∴BO=OE×OG,∴OG=4,∴G(0,-4),
求出直线BG的解析式为y=
x-4.
②-42.
(1)在Rt△AOB中,∵OA=3,sin∠OAB=
,cos∠OAB=
,
∴AB=5,OB=4,BP=5-3=2.
在Rt△APM中,
=cos∠OAB=
,
∴AM=5,OM=2,∴点M(0,-2),
又△NPB∽△AOB,∴
,
∴BN=
,∴ON=
,∴点B(
,0),
设MP的解析式为y=kx+b,∵MP经过M、N两点,
∴MP的解析式为y=
x-2,
设过M、N、B的抛物线解析式为y=a(x-
)(x-4)
且点M(0,-2)在其上,可得a=-
,即y=-
x2+
x-2.
(2)①四边形OMCB是矩形.
证明:
在⊙A不动,⊙B运动变化过程中,
恒有∠BAO=∠MAP,OA=AP,∠AOB=∠APM=90°,
∴△AOB≌△APM,
∴OB=PM,AB=AM,
∴PB=OM,
而PB=BC,∴OM=BC,
由切线长定理知MC=MP,∴MC=OB,
∴四边形MOBC是平行四边形,
又∵∠MOB=90°,
∴四边形MOBC是矩形.
②存在,由上证明可知,Rt△MON≌Rt△BPN,
∴BN=MN.
因此在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在,
由抛物线的轴对称性可知,在抛物线上必有一点M′与M关于其对称轴对称,
∴BN=BM′,这样得到满足条件的三角形有两个,△MNB和△M′NB.
3.
(1)∵L与⊙O相切于点A,
∴∠4=90°,∴OP2=OA2+AP2,
∵OB=OC=
AB=3,AP=4,
∴OP2=32+42,∴OP=5,
∴PC=5-3=2.
(2)∵△PAO∽△BAD,且∠1>∠2,∠4=90°,
∴∠2=∠APO,∴OB=OC,∴∠2=∠3
∵∠1=∠2+∠3,∴∠2=2∠2=2∠APO
∴∠4=90°,∴∠1+∠APO=90°
∴3∠APO=90°,∴∠APO=30°.
在Rt△BAD中,∠2=∠APO=30°.
∴AD=6sin30°=6×
=2
.
过点O作OE⊥BC于点E
∵∠2=30°,BO=3,
∴OE=
,BE=3×cos30°=
,
∴BC=2BE=3
,
∴S四边形OADC=S△BAD-S△BOC=
AB·AD
=
BC·OE=
×6×2
-
×3
×
=6
-
=
.
考前热身训练
1.
(1)易知OA=2,cosα=
,∠POQ=∠MAN=60°,
∴初始状态时,△AON为等边三角形,
∴ON=OA=2,当AM旋转到AM′时,点N移动到N′,
∵∠OAM′=30°,∠POQ=∠M′AN′=60°,
∴∠M′N′A=30°,在Rt△OAN中,ON′=2AO=4,
∴NN′=ON′-ON=2,∴点N移动的距离为2.
(2)易知△OAN∽△AMN,∴AN2=ON·MN.
(3)∵MN=y-x,∴AN2=y2-xy,
过A点作AD⊥OP,垂足为D,可得OD=1,AD=
,
∴DN=ON-OD=y-1,
在Rt△AND中,AN2=AD2+DN2=y2-2y+4,
∴y2-xy=y2-2y+4,即y=
.
∴y>0,∴2-x>0,即x<2,
又∵x≥0,∴x的取值范围是:
0≤x<2.
(4)S=
·OM·AD=
x,
∵S是x的正比例函数,且比例系数
>0,
∴0≤S<
·2.即0≤S<
2.
(1)易知⊙M半径为2,设PA=x,则x:
4=1:
2
x=2,
由相交弦定理推论得OC=OA.OB=1×3,
∴OC=
,∴PC2=PO2+OC2=32+(
)2=12,
PM2=42=16,MC2=22=4,
∴PM2=PC2+MC2,∴∠PCM=90°.
(2)易知过A、C、B三点的抛物线的解析式为y=-
(x+1)(x-3),
假设满足条件的Q点存在,坐标为(m,0),直线QC的解析式为y=-
x+
,
∵直线QC与抛物线只有一个公共点,
∴方程-
(x+1)(x-3)=-
x+
有相等的实根,
∴(2+
)2=0,∴m=-
,即满足条件的Q点存在,坐标为(-
,0);
(3)连结DN,作DH⊥PN,垂足为H,设⊙N的半径为r,则∵ND⊥PC,
∴ND∥MC,∴
,∴
,
∴r=
,∵DN2=NH·NP,
∴(
)2=NH·(2-
),∴NH=
,
∴DH=
=
,∴D(-2,
).
∵抛物线y=-
(x+1)(x-3)平移,使其经过P、A两点的抛物线的解析式为
y=-
(x+1)(x+3)
又经验证D是该抛物线上的点,
∴将过A、C、B三点的抛物线平移后能同时经过P、D、A三点.