古典概率讲义.docx

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古典概率讲义

古典概型

课前小测

1．在200件产品中，有192件一级产品，8件二级产品，则事件

①“在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品”

②“在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品

”③“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”

④“在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100”中，

   　　　　  A是必然事件；  　　　   B是不可能事件；   　　　C 是随机事件．

2．袋内有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任意摸出3个球，其中只有一个黑球的概率是       ．

3．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测，数据如下：

抽取台数

50

100

200

300

500

1000

优等品数

47

92

192

285

478

952

  则该厂生产的电视机优等品的概率为 ___________________    

4．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：

投篮次数

8

10

15

20

30

40

50

进球次数

6

8

12

17

25

32

38

进球频率

（1）计算表中进球的频率；

（2）这位运动员投篮一次，进球概率约是多少？

新授课

古典概型及随机数的产生

思考：

（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。

（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，…，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3…，10。

根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？

基本概念：

1.基本事件：

一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件

）称为一个基本事件

特别提醒：

基本事件有如下两个特点：

①任何两个基本事件都是互斥的；

②任何事件都可以表示成基本事件的和.

2．所有基本事件的全体，叫做样本空间，用Ω表示，例如“抛一枚硬币”为一次实验，则Ω={正面，反面}.

3.等可能性事件（古典概型）：

如果一次试验中可能出现的结果有

个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是

，这种事件叫等可能性事件

特别提醒：

古典概型的两个共同特点：

①有限性，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间Ω中的元素个数是有限的；

②等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等.

4．古典概型的概率公式：

如果一次试验中可能出现的结果有

个，而且所有结果都是等可能的，如果事件

包含

个结果，那么事件

的概率p（A）=

古典概型的概率计算公式：

P（A）=

．

例题精析：

例1掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。

分析：

掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。

解：

这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）

所以基本事件数n=6，

事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），

其包含的基本事件数m=3

所以，P（A）=

=

=

=0.5

小结：

利用古典概型的计算公式时应注意两点：

（1）所有的基本事件必须是互斥的；

（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。

例2从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

解：

每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。

其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则

A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]

事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）=

=

例3现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；

（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．

分析：

（1）为返回抽样；

（2）为不返回抽样．

例4一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率。

例5.某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：

⑴恰好第三次打开房门所的概率是多少？

⑵三次内打开的概率是多少？

⑶如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？

例6.有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次.求下列事件的概率.

⑴两次抽到的都是正品；

⑵抽到的恰有一件为次品；

⑶第1次抽到正品，第2次抽到次品.

[解题思路]请注意题（3）的两种解法，一种是将试验（抽取2件产品）看作是组合（无序的），一种是将试验看作为排列（有序的），值得注意的是两种解法的样本空间不同，事件C不属于样本空间Ω，（C

Ω）因此不能用card（Ω）进行计算.

变式1：

一个口袋里装有2只白球，3只黑球，从中摸出2个球

⑴共有多少种结果？

⑵摸出2个黑球有多少种结果？

⑶求摸出2个黑球的概率？

⑷求摸出一只黑球一只白球的概率？

⑸求摸出至少一只黑球的概率？

变式2：

某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.

⑴某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？

⑵某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的

密码的概率是多少？

同步练习：

1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（）

A．

B．

C．

D．以上都不对

2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是

A．

B．

C．

D．

3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是。

4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率。

。

高考题型

例1.（2009天津卷文）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂

（Ⅰ）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；

（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，

用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。

同步练习1.（2008广东文）某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19.

（1）求x的值；

（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名？

（3）已知

，求初三年级中女生比男生多的概率。

同步练习2、（2008海南、宁夏文）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：

5，6，7，8，9，10。

把这6名学生的得分看成一个总体。

（1）求该总体的平均数；

（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。

求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

例2.（2008福建文）三人独立破译同一份密码，已知三人各自译出密码的概率分别为

，

且他们是否破译出密码互不影响。

（1）求恰有二人破译出密码的概率；

（2）“密码被破译”

与“密码未被破译”的概率那个大？

说明理由

练习4．（2008湖南文）甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。

甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：

两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。

设每人面试合格的概率都是

，

且面试是否合格互不影响。

求：

（I）至少一人面试合格的概率；（II）没有人签约的概率。

例3．（2008江西文）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树

的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的

1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5

倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．

（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；

（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.

例4．（2008全国Ⅰ卷文）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．

血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：

逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：

先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，

然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．

巩固练习.

1、（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内

随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2.（2009福建卷文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆

周上随机取一点B，则劣弧

AB的长度小于1的概率为。

3.（2008山东文）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者

通晓日语，

通晓俄语，

通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，

组成一个小组．（Ⅰ）求

被选中的概率；（Ⅱ）求

和

不全被选中的概率．

课堂小结：

本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：

（1）古典概型的使用条件：

试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

（2）古典概型的解题步骤；

求古典概型的概率步骤：

（1）求出总的基本事件数；

（2）求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=

（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。

课后作业

1.（2008上海理）在平面直角坐标系中，从六个点：

A（0,0）、B（2,0）、C（1,1）、D（0,2）、E（2,2）、

F（3,3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是.（结果用分数表示）

2．（2008江西文、理）电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，

则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为（）

A．

B．

C．

D．

3.在平面直角坐标系

中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是

到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率______________．

4.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟

准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是__________.

5．（2008上海文）在平面直角坐标系中，从六个点：

中任

取三个，这三点能构成三角形的概率是　　　　（结果用分数表示）．

6、（2008全国Ⅱ卷文）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．

根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，

10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙的射击相互独立．

（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；

（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．