浙江高考一轮 第6章 第5节 直接证明与间接证明.docx

浙江高考一轮 第6章 第5节 直接证明与间接证明.docx

《浙江高考一轮 第6章 第5节 直接证明与间接证明.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江高考一轮 第6章 第5节 直接证明与间接证明.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

浙江高考一轮第6章第5节直接证明与间接证明

第五节　直接证明与间接证明

1．直接证明

内容

综合法

分析法

定义

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件

思维过程

由因导果

执果索因

框图表示

→

→…→

→→…→

书写格式

因为…，所以…或由…，得…

要证…，只需证…，即证…

2.间接证明

反证法：

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．（　　）

（2）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．（　　）

（3）用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．（　　）

（4）在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）√

2．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（　　）

A．综合法B．分析法

C．反证法D．归纳法

B　[要证明＋<2成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．]

3．用反证法证明命题：

“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）

A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根

A　[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.]

4．已知a，b，x均为正数，且a>b，则与的大小关系是__________．

>　[∵－＝>0，

∴>.]

5．（教材改编）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．

等边　[由题意2B＝A＋C，

又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，

∴a2＋c2－2ac＝0，即（a－c）2＝0，∴a＝c，

∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．]

综合法

　已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：

（1）D，B，F，E四点共面；

（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．

[证明]　

（1）如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，

所以EF∥B1D1.2分

在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，4分

所以EF，BD确定一个平面，

即D，B，F，E四点共面.6分

（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，

又设平面BDEF为β.

因为Q∈A1C1，所以Q∈α.

又Q∈EF，所以Q∈β，

则Q是α与β的公共点.10分

同理，P点也是α与β的公共点.13分

所以α∩β＝PQ.

又A1C∩β＝R，

所以R∈A1C，则R∈α且R∈β，

则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.15分

[规律方法]　综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用．

[变式训练1]　已知函数f（x）＝ln（1＋x），g（x）＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象在交点（0,0）处有公共切线．

（1）求a，b的值；

（2）证明：

f（x）≤g（x）.【导学号：

51062204】

[解]　

（1）f′（x）＝，g′（x）＝b－x＋x2，2分

由题意得

解得a＝0，b＝1.7分

（2）证明：

令h（x）＝f（x）－g（x）

＝ln（x＋1）－x3＋x2－x（x>－1）．

h′（x）＝－x2＋x－1＝.12分

所以h（x）在（－1,0）上为增函数，在（0，＋∞）上为减函数．

h（x）max＝h（0）＝0，h（x）≤h（0）＝0，即f（x）≤g（x）.15分

分析法

　已知a>0，求证：

－≥a＋－2.

[证明]　要证－≥a＋－2，

只需要证＋2≥a＋＋.4分

因为a>0，故只需要证2≥2，

即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，10分

从而只需要证2≥，

只需要证4≥2，

即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.15分

[规律方法]　1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．

2．分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．

[变式训练2]　已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.

求证：

＋＝.

[证明]　要证＋＝，

即证＋＝3，也就是＋＝1，3分

只需证c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），

需证c2＋a2＝ac＋b2，8分

又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，

由余弦定理，得

b2＝c2＋a2－2accos60°，13分

即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．

于是原等式成立.15分

反证法

　设{an}是公比为q的等比数列．

（1）推导{an}的前n项和公式；

（2）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．

[解]　

（1）设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②得，（1－q）Sn＝a1－a1qn，

∴Sn＝，∴Sn＝7分

（2）证明：

假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，

（ak＋1＋1）2＝（ak＋1）（ak＋2＋1），

a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.12分

∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，

∴q＝1，这与已知矛盾．

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.15分

[规律方法]　用反证法证明问题的步骤：

（1）反设：

假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；（否定结论）

（2）归谬：

将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）

（3）立论：

因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．（命题成立）

[变式训练3]　已知a≥－1，求证三个方程：

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根.【导学号：

51062205】

[证明]　假设三个方程都没有实数根，则

⇒8分

∴－

这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立.15分

[思想与方法]

1．综合法与分析法的关系：

分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．

2．反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法证明的关键：

①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．

[易错与防范]

1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．

2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．

课时分层训练（三十四）　

直接证明与间接证明

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．下列表述：

①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的个数有（　　）

A．2个　　B．3个

C．4个D．5个

D　[由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．]

2．用反证法证明命题：

若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是（　　）

A．假设a，b，c至多有一个是偶数

B．假设a，b，c至多有两个偶数

C．假设a，b，c都是偶数

D．假设a，b，c都不是偶数

D　[“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数．]

3．若a，b，c为实数，且a

A．ac2ab>b2

C.

B　[a2－ab＝a（a－b），

∵a

∴a2－ab>0，

∴a2>ab.①

又ab－b2＝b（a－b）>0，∴ab>b2，②

由①②得a2>ab>b2.]

4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：

“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证

A．a－b>0B．a－c>0

C．（a－b）（a－c）>0D．（a－b）（a－c）<0

C　[由题意知

⇐（a＋c）2－ac<3a2

⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0

⇐－2a2＋ac＋c2<0

⇐2a2－ac－c2>0

⇐（a－c）（2a＋c）>0⇐（a－c）（a－b）>0.]

5．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋（　　）

A．都大于2B．至少有一个大于2

C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2

C　[因为x>0，y>0，z>0，

所以＋＋＝＋＋≥6，

当且仅当x＝y＝z时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.]

二、填空题

6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________．

x≠－1且x≠1　[“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]

7．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是__________.

【导学号：

51062206】

m

取a＝2，b＝1，得m

法二（分析法）：

－<⇐＋>⇐a0，显然成立．]

8．下列条件：

①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__________．

3　[要使＋≥2，只要>0，且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．]

三、解答题

9．已知a≥b>0，求证：

2a3－b3≥2ab2－a2b.【导学号：

51062207】

[证明]　要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，

只需证：

2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，

即2a（a2－b2）＋b（a2－b2）≥0，

即（a＋b）（a－b）（2a＋b）≥0.10分

∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，

从而（a＋b）（a－b）（