激光原理第二章答案.docx

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激光原理第二章答案

第二章开放式光腔与xx光束

1.证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为。

证明：

设入射光线坐标参数为，出射光线坐标参数为，根据几何关系可知

傍轴光线则，写成矩阵形式

得证

2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为。

证明：

设入射光线坐标参数为，出射光线坐标参数为，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2xx自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。

根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得

化简后得证。

3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

证：

设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：

其往返矩阵为：

由于是共焦腔，则有

将上式代入计算得往返矩阵

可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。

于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。

4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。

解：

共轴球面腔稳定性条件其中

对平凹共轴球面镜腔有则，再根据稳定性条件

可得。

对双凹共轴球面腔有，则根据稳定性条件可得。

对凹凸共轴球面镜腔有，则根据稳定性条件可得。

5.激光器的谐振腔由一面曲率半径为的凸面镜和曲率半径为的凹面镜组成，工作物质长，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。

解：

设两腔镜和的曲率半径分别为和，

工作物质长，折射率

当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为,工作物质左右两边剩余的腔长分别为和，则。

设此时的等效腔长为，则光在腔先经历自由传播横向距离，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离，则

所以等效腔长等于

再利用稳定性条件

由

（1）解出

则

所以得到：

6.图2.3所示三镜环形腔，已知，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。

图示环形腔为非共轴球面镜腔。

在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式（）中的，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，，为光轴与球面镜法线的夹角。

图2.1

解：

稳定条件

左边有所以有

对xx：

对弧矢线：

对xx和弧矢光线分别代入上述不等式得

子午光线

弧矢光线

任意光线需同时满足xx与弧矢线的条件得

7.有一方形xx的共焦腔氦氖激光器，L=，方形xx边长，，镜的反射率为，其他的损耗以每程0.003估计。

此激光器能否作单模运转？

如果想在共焦镜面附近加一个方形小xx阑来选择模，小xx的边长应为多大？

试根据图作一个大略的估计。

氦氖增益由公式

估算（为放电管xx，假设）

解：

模为第一xx横模，并且假定和模的小信号增益系数相同，用表示。

要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式

根据已知条件求出腔的菲涅耳数

由图可查得和模的单程衍射损耗为

氦氖增益由公式

计算。

代入已知条件有。

将、、、和的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。

为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。

若满足II式的条件，则要求

根据图可以查出对应于的腔菲涅耳数

xx耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长

同理利满足I式的条件可得

因此，只要选择小孔阑的边长满足即可实现模单模振荡。

8．试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？

解：

在xx-xx近似下，共焦腔面上的模的场分布可以写成

令，则I式可以写成

式中为xx多项式，其值为

由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令，得

考虑到，于是可以得到镜面上的节点位置

所以，模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为；而沿y方向没有节线分布。

9.求圆形镜共焦腔和模在镜面上光斑的节线位置。

解：

在xx盖尔—xx近似下，可以写成如下的形式

对于，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选xx，否则无意义

对于：

并且，代入上式，得到

，

取xx项，根据题中所要求的结果，我们取，就能求出镜面上节线的位置。

即

同理，对于，

，代入上式并使光波场为零，得到

显然，只要即满足上式

镜面上节线圆的半径分别为：

10.今有一球面腔，，，。

试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。

解：

该球面腔的g参数为

由此，，满足谐振腔的稳定性条件，因此，该腔为稳定腔。

由稳定腔与共焦腔等价条件

和

可得两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为

根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。

16．某xx光束腰斑大小为=，。

求与束腰相距、、远处的光斑半径及波前曲率半径R。

解：

入射xx光束的共焦参数

根据

z

30cm

10m

1000m

1.45mm

2.97cm

2.96m

0.79m

10.0m

1000m

求得：

17．若已知某xx光束之=，。

求束腰处的参数值，与束腰相距处的参数值，以及在与束腰相距无限远处的值。

解：

入射xx光束的共焦参数

根据，可得

束腰处的q参数为：

与束腰相距处的q参数为：

与束腰相距无穷远处的q参数为：

21．某xx光束=，。

今用F=的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为、、、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。

解：

入射xx光束的共焦参数

设入射xx光束的参数为，像xx光束的参数为，根据ABCD法则可知

其中；　。

利用以上关系可得

10m

1m

10cm

0

2.00cm

2.08cm

2.01cm

2.00cm

2.40

22.5

55.3

56.2

从上面的结果可以看出，由于fxxF，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。

22．激光器输出光，=，用一F=的凸透镜距角，求欲得到及时透镜应放在什么位置。

解：

入射xx光束的共焦参数

设入射xx光束的参数为，像xx光束的参数为，根据ABCD法则可知

其中；　。

利用以上关系可得

时，，即将透镜放在距束腰处；

时，，即将透镜放在距束腰处。

23．如图2.6光学系统，如射光，求及。

图2.2

解：

先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置

由于，所以

=

所以对第二个透镜，有

已知，根据

其中；　。

得

，

24．某xx光束=，。

今用一xx将其准直。

主镜用镀金反射镜R=，口径为；副镜为一锗透镜，=，口径为；xx束腰与透镜相距=，如图2.7所示。

求该xx系统对xx光束的准直倍率。

图2.3

解：

入射xx光束的共焦参数为

由于远远的小于，所以xx光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为

这样可以得到在主镜上面的光斑半径为

即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜xx的衍射效应。

这个时候该xx系统对xx光束的准直倍率为

25．激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为的基模xx光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该xx光束公焦参数f的实验原理及步骤。

解：

一、实验原理

通过放在离光腰的距离为z的小孔（半径为a）的基模光功率为

（I）

式中，为总的光功率，为通过小孔的光功率。

记，则有

（II）

注意到对基模xx光束有

在（II）式的两端同时乘以，则有

令

（III）

则

解此关于f的二次方程，得

因为、、、都可以通过实验测得，所以由（III）及（IV）式就可以求得基模xx光束的共焦参数f。

二、实验步骤

1．如上图所示，在xx光束的轴线上某一点B处放入xx垂直的光阑（其xx半径为a），用卷尺测量出B到光腰O（此题中即为谐振腔的中心）的距离z；

2．用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率；

3．移走光阑，量出xx光束的总功率；

4．将所得到的数据代入（III）及（IV）式即可求出f（根据实际情况决定（IV）式根号前正负号的取舍）。

28.试用自变换公式的定义式（），利用q参数来推导出自变换条件式

证明：

设xx光束腰斑的q参数为，腰斑到透镜的距离为，透镜前表面和后表面的q参数分别为、，经过透镜后的焦斑处q参数用表示，焦斑到透镜的距离是=，透镜的焦距为F。

根据q参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的q参数，分别是：

透镜前表面：

透镜后表面：

焦斑的位置：

把经过变换的代入到焦斑位置的q参数公式，并根据自再现的条件，得到：

可得

31.试计算，，，的虚共焦腔的和.xx保持不变并从凹面镜端单端输出，应如何选择？

反之，xx保持不变并从凸面镜输出，如何选择？

在这两种单端输出条件下，和各为多大？

题中为镜的横截面半径，为其曲率半径。

解：

（1）镜的单程放大率为

镜的单程放大率为

所以

（2）要从镜单端输出，则要求镜反射的光全部被镜反射，由于镜反射的光为平行光，所以要求

（3）要从镜单端输出，则要求镜反射的光全部被镜反射，所以要求

（4）和不变