那么就说函数兀0在区间3,仍是曾函数。
当X]加2）'那么就说函数段）在区间g,与是减函数。
单调区间
区间（〃，b）叫做函数./U）的曾区间。
区间（«,b）叫做函数兀V）的减区间。
函数奇偶性
十一、函数的奇偶性:
定义域具
备性质
函数奇偶性是函数在整个定义域内的性质，不可用区间分开。
定义域必须关于原点对称。
十二、函数图象的变换:
（1）平移变换:
①水平平移：
.V="±a）（a>0）的图像，可由y="）的图像向左（+）或向右
（一）平移，，个单位而得到.
②竖直平移：
y=/U）±"〃>。
）的图像，可由y=/U）的图像向上（+）或向下
（一）平移b个单位而得到.
（2）对称变换：
①y=A-X）与y=/U）的图像关于y轴对称•
@y=一"）与y=/（a）的图像关于x轴对称.
③3,=_4一X）与y=/（x）的图像关于原点对称.
④〉，=/T（x）与的图像关于直线y=x对称.
⑤要得到），=巩》乂的图像，可将y=/U）的图像在X轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变.
⑥要得到）=4对的图像，可将x'O的部分作出，再利用偶函数的图像关于y轴的对称性，作出xVO的图像.
⑶伸缩变换：
①,，=A"）（A>0）的图像，可将），=/5）图像上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到.
②产弧）（">0）的图像，可将产外）图像上所有点的横坐标变为原来的夕而纵坐标不变而得到.
十三、指数第的转化：
’
①正整数指数解:
a"=”•O•・・・•《（〃eN"）；
②零指数塞"=1（aWO）;
③负整数指数相:
」（"#O,〃wN*）；a。
④正分数指数辨：
a"="m（a>0,m.、〃wN",口〃>1）；
⑤负分数指数幕:
/登=」一=三（a>0,m、〃eN«,且n>l）；
a万3
⑥0的正分数指数转等于0,0的负分数指数岳没有意义.
十四、指数式和对数式的互化：
设”>0,且〃工1,N>0,log.N=boah=N
十五、对数的性质与运算法则：
（1）对数的基本性质：
设a>0,且在1则
①零和负数没有对数,即：
N>0②1的对数等于0,即零gal=O：
lgl=l,lnl=l
③底数的对数等于1,EP10^3=1,^10=1,Ine=l
④两个重要的恒等式：
H；1。
刎』.
（2）对数的运算法则：
设“>0,且q1则，对于任意正实数M、N以及任意实数尸，皿小月儿〃，都有
①10ga（MN）=10gaM+10gW②10ga包=10gjMT0gaN
］N
③loga"『PlogaA/④10法丽=兀IbgcN⑤log«M"=\logaA/@lg2+lg5=l
⑶换底公式：
TogbN（a>0且"W1：
/?
>0且b^l）；
①log疝=意（a,〃均大于零，且不等于1）；C
②推广lo•log/、•10gtd=log/（〃、。
、c均大于零,且不等于1：
d大于0）.
十六、Sn与句的关系：
已知S，贝Ua二［'（"1），
…n（S-5,（22）.
nn—1
十七、等差数列通项公式：
"〃=，］+（〃1），或%?
=%〃+（〃，〃）（/,（〃，，〃£N*）.
十八、等差中项：
如果A=二，那么A叫做”与〃的等差中项.
十九、等差数列的常用性质「
⑴若｛,%｝为等差数列，〃?
+〃=〃+夕，（小，〃，p,qCN*）则有.特殊情况，当〃?
+〃=2P
有dm+an=2ap,其中勺是如r与小的等差中项
（2）有穷数列中，与首末两端距离相等的两项和相等，并等于首末两项之和，若项数为奇数，则等于中间项的2倍，即"+"n-1=113+"n-2=……=〃p+"n-p+1="1+un=2"中
⑶若｛与｝是等差数列，公差为小贝弘〃2,J也是等差数列，公差为2d.
（4）若｛〃〃｝是等差数列，则佻，”+〃?
，然+2/〃，…〃PN*）是公差为/”4的等差数列.
⑸若％=kn+b（k,bwR），则｛町）是等差数列，其中k为公差
（6）若公差为d的等差数列｛%｝的前〃项和为S”，则%,S2rrS〃,S3〃一s2rt仍成等差数列。
二十、等差数列的前〃项和公式：
S〃="""或％=/必+笑」（
注意：
若sn=pn~+qn（p,qeR）,则｛%?
）是等差数列，其中2p为公差
nd
二十一、等差数列前n项和性质：
项数为偶数的等差数列中，S偶-S奇=亏；
项数为奇数项的等差数列中S奇-S偶=中间项.
二十二等比数列的通项公式：
%=勺1或町=/./一，%?
,〃£N*）.
二十三、等比中项：
若。
2=（,.仇则G叫做“与〃的等比中项.G=±J而.
二十四、等比数列的常用性质：
⑴若｛〃〃｝为等比数列，且/〃+〃=p+q（m,n,p,q£N"）,则有="〃'％•特殊情况，当，〃+〃=2P
时，有内〃•町=哈
（2）在有穷等比数列中，与首末两端距离相等的两项积相等，并等于首末两项之积，若该数列的项数为奇数,
则等于中间项的平方，即“2"，n-2=……="p"/.p+]="14=端
（3）在等不数列中，连续n项的积构成的新数列，仍是等比数列。
（4）等比数列的前〃项和公式：
_-一-♦/（j"）
当q=l时，S^n。
]：
当夕Hl时，."I_q\_c1一
二十五、等比数列前〃项和的性质：
若公比不为一1的等比数列｛，））的前〃项和为%,则％,52〃一%,
53〃一八仍成等比数列。
二、三角函数
一、终边相同角集合：
｛刈£=〃+6360。
仪£力｝或｛£1£=。
+24兀（A£Z）｝
①终边在x轴上的角的集合｛⑶£二4・180°（4£Z）｝或｛万"二An（A£Z）｝
②终边在y轴上角｛£；£=90°+A・180°（A£Z»或｛££=£+4五（FZ）｝
2
③第一象限上所有角组成的集合｛04・360”<«<90°+4-360°aCZ）｝
④第二象限上所有角的集合｛a90°+k-360c<«<180°+^•360°（代Z）｝
⑤第三象限上所有角的集合｛a180°+4・360°<«<270°+^•3600（届Z）｝
⑥第四象限上所有角的集合｛«1270°+4-360°<«<（A+1）-360°UeZ）｝
⑦“锐角”形成的集合：
表示为｛。
0°V"V90°）
⑧“小于90°的角”形成的集合：
表示｛““V90°｝
二、弧度制及相关公式：
①在半径为r的圆中，长度为/的圆弧对圆心角a的大小是:
弧度。
即②弧长公式：
/=lah扇形面积公式：
S崩形=暴=期/
③角度弧度互换：
7T=180°,f=—rad,\rad=（-）°«57.3°
1807V
三、任意角的三角函数定义：
设a是平面直角坐标系中一个任意角，角a的终边上任意一点P（x，y），它
与原点的距离为,=J7M（r>0）,那么角a的正弦、余弦、正切分别定义为sina=%,cosa=*tana=；,四、一些特殊角的三角函数值对照表：
0
7C
~6
71
~4
7C
~3
71
~2
2r3
344
5tt6
71
3兀
2
2tt
sina
0
£
2
V22
小2
1
G
2
V2
2
j_
2
0
-1
0
cosa
i
Vs
2
V2
2
1三
0
-2
_V2
2
V3r
-1
0
1
tana
0
G
3
1
不存在
一p
-1
_V3
3
0
不存在
0
五、同角三角函数的基本关系式及重要变形，
（1）平方关系：
sin2a+cos2a=l.aGR
（2）商数关系：
'吆=tana.aW，+攵乃（keZ）.
cosa2/\/\
⑶常用的变形公式：
sin?
等+cos2与=1，sin2-bcos2^+―|=1
（sina±cosa）2=1±2sina•cosa
（4）tana+cota=!
sin2cosa
六、诱导公式：
“奇变偶不变，符号看象限」a+k-2碌£Z）、一小汨小其可以归结为A奉班GZ）,其中k为奇数，函数名变为其余名函数；k为偶数，函数名不改变。
符号取原来函数值的符号，符号符合三角函数值的符号规律。
挛7T
sin（£-a）=cosa,cos（孑-a）=sina
sin（1+a）=cosa,cos（f+a）=sina第七组：
sin评-a）=cosa,cos（±L-a）=~sina
第八组：
sin恒+0）=—cosa,cos（亘+々）=sina七、两角和后差的正弦、余弦和正切公式：
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。
;
③a:
b:
c=sinA:
sinB:
sinC,④〃sin8=/«inA,bsinC=csinB,asinC=csinA.
十三、余弦定理：
尸=乂+02—2bccosA：
b2=a2+c2—2accosB：
c2=a2+b2—2abcosC.
br+c1-a2a2~^c2—b2cr+br-c1
求用公式：
cosA=诟—cosB=玄—cosC=讶
①己知三边，求各角：
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
十四、已知。
，力和4解三角形：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
季
A
4
C八,A心.…/从11
Ca/、」••B
&七
AAc”
关系
aa=bsinA
bs\nAa》b
a>b
aWb
解
无解
一解
两解
一解
一解
无解
三、解析几何
一、线段中点坐标公式：
x=^±^-y=h-h-/2
五、平行线、垂直线系方程
2力2G
（1）通径：
二y；
（2）g%F：
=2a+2c；（3）,5训行“=〃tan5特殊地J_M8时S=〃
[7J17
⑷特殊地埒，疗2时，⑸。
**
十、双曲线的标准方程
（D通径：
（2）g=二7；（3）,5加/=〃cot与特殊地时S=/『
[fZf2
（4）特殊地时，5羽什迷,=；2（3.一=一（5）C、M忧=4"+21MM
十一、抛物线的标准方程
抛物线参数:
力尸=p
抛物线方程：
y2=2Px
FM
离心率:
e=说=1
抛物线上的点到焦点的距离:
r=x+与
4
图形
标净方程
焦点坐标
海线力程
4
91
y2=2fxr
0>
（g・0）
'r一号
y2=-2/«（P>0）
（一夕，0）
工=爱
*
M=2Ay（/>>O）
（0.夕）
y=~2
4?
L-2/>y
<»
（0,一号）
>=4
（1）通径：
2p
（2）开口向右的焦点弦长公式：
玉+&+〃
（3）两个直角的结论（自己补上）重点：
圆锥曲线的弦长公式\AB\=V1+^27Ui+a-2）2-4a-iX2
四、立体几何
一、几个比较常用的结论：
1、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
2、过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直.
3、过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
4、过直线外一点有无数多个平而与已知直线平行.
5、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
6、过平而外一点有且只有一条直线与这个平面垂直.
7、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面.
8、垂直于同一条直线的两个平面平行.
9、垂直于同一个平面的两个平面的位置关系可以是：
平行或相交.
10、平行于同一个平面的两个平面平行，平行于同一条直线的两条直线平行.
11、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面.
12、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平而，它也垂直于另外一个.
13、夹在两个平行平面内的两条平行线段相等.
14、过平而外一点有且只有一个平而和已知平而平行.
15、两条直线被三个平行平而所截，截得的线段成比例.
五、概率
一、两个基本的计数原理：
（1）分类计数原理一一加法原理：
如果完成一件事，有n类方式，N二灯+也+……+%种不同的方法。
（2）分步计数原理一一乘法原理：
如果完成一件事，需要分成n个步骤，N=KrK2.……•七种不同的方法。
二、排列数公式：
火=九5一1）5—2）…5一m+1射中m、n£N*（mWn）
说明：
①排列数公式中，当m=n时，有方”=厅=〃（〃—1）（〃一2）...（〃—〃?
+l）...3x2xl
②由1到n的正整数的连乘积，叫做n的阶乘，记作n;即
n!
=n{n-1）（/?
-2）...（^-m+1）...3x2x1P"=n!
O!
=1
（〃+1）!
=（〃+1）・〃！
③排列数公式中，当mVn时，排列数公式还可以写成d「
（n—m）l
"H"n（n—1）（〃—2）…（〃一〃?
+1）
三、组合数公式：
£：
=/=其中mnEN*（mWn）.
Pm"?
!
说明：
①由于①[=/加、：
还可以写作P：
：
1=C'；；.P：
；C：
=
（n—fny.
②规定：
c；=1C?
=1
四、组合数的性质公式:
c；=C；；T〃5。
）Cl=C：
+C；r*（〃7五、二项式定理：
①Q+bY=+&尸加+C；a2b2+...+C^-mbm+...+C^bn
②二项式通项公式：
T,+1=C^a"-kbk（第m+1项）
③展开式共n+1项，各项的二项式系数为：
C\,C\、C：
...C；
④各项二项式系数和:
C：
+C：
+C：
+...+C；；=X
⑤奇数项与偶数项的二项式系数和相等都为2"1
⑥在二项式展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等
⑦有关系数：
例已知（l-2x）’=四+44+为/'+…
❶各项系数和：
%+用+药+…+由=
❷常数项：
4=
❸奇数项的系数和：
4+马+a4+%=
数项的系数和：
用+%+~+%=
六、事件及概率
事件间的关系
事件间的运算
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件3一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件3）
32A（或A"）
相等关系
若53A,且从28,那么称事件A与事件B相等
A=B
并事件（和事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件8发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）
AU8（或A+8）
交事件（积事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
互斥事件
若AC3为不可能事件，那么称事件A与事件3互斥
AAB=0
对立事件
若AC3为不可能事件，AUB为必然事件，那么称事件A与事件8互为对立事件
月与4
互斥事件满足概率加法原理：
P（AU功=P（A）+P（B）相互独立事件满足概率乘法原理：
P（AAB）=P（A）-P（B）古典概型：
P（A）=-
n
贝努利公式:
P.（k）=C：
p"T（其中,攵=0,1,2,..”〃）
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