高考数学立体几何中的建系设点问题.docx
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高考数学立体几何中的建系设点问题
第八章第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题立体几何
第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题
在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，
不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：
建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标
系的原则有哪些？
如何正确快速写出点的坐标？
这是本文要介绍的内容。
一、基础知识：
（一）建立直角坐标系的原则：
如何选取坐标轴
z
1、 z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z
轴要与坐标平面 xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直
底面高高向上的即是，而坐标原点即为 z 轴与底面的交点
2、 x, y 轴的选取：
此为坐标是否易于写出的关键，有这么
几个原则值得参考：
x
（1）尽可能的让底面上更多的点位于 x, y 轴上
（2）找角：
x, y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件
（3）找对称关系：
寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足 x, y, z 轴成右手系，所以在标
x, y 轴时要注意。
z
D'
O y
E C'
F
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应
A'
B'
J
不同。
但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致
的。
G
O
C
y
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用
x A H B
I
坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），
这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论：
（1）线面垂直：
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直
② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直
③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱：
侧棱与底面垂直
（2）线线垂直（相交垂直）：
第八章第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题立体几何
① 正方形，矩形，直角梯形
② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）
③ 菱形的对角线相互垂直
④ 勾股定理逆定理：
若 AB 2 + AC 2 = BC 2 ，则 AB ⊥ AC
（二）坐标的书写：
建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为 3 类
1、能够直接写出坐标的点
（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为 1）中的 A, C, D ' 点，坐标特点如下：
x 轴：
（x,0,0 ）y 轴：
（0, y,0 ）z 轴：
（0,0,z ）
规律：
在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为 0
（2）底面上的点：
坐标均为 （x, y,0 ） ，即竖坐标 z = 0 ，由于底面在作立体图时往往失真，
所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：
以上图为例：
则可快速写出 H , I 点的坐标，位置关系清晰明了
⎛ 1⎫⎛ 1⎫
⎝ 2⎭⎝ 2⎭
2、空间中在底面投影为特殊位置的点：
O C
I
如果 A' （x , y , z ） 在底面的投影为 A （x , y ,0 ） ，那么
1122
A
H B
x = x , y = y （即点与投影点的横纵坐标相同）
1212
由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
如果可
以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。
例如：
正方体中的 B ' 点，其投
影为 B ，而 B （1,1,0） 所以 B' （1,1,z ），而其到底面的距离为1 ，故坐标为 B' （1,1,1）
以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三
个方法：
3、需要计算的点
① 中点坐标公式：
A （x , y , z ）, B （x , y , z
11122
2
⎝ 2 2 2 ⎭
图中的 H , I , E , F 等中点坐标均可计算
② 利用向量关系进行计算（先设再求）：
向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，
第八章第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题立体几何
进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利
用向量关系解出变量的值，例如：
求 A' 点的坐标，如果使用向量计算，则设 A' （x, y, z ） ，
可直接写出 A （1,0,0 ）, B （1,1,0）, B' （1,1,1） ，观察向量 AB = A' B ' ，而 AB = （0,1,0） ，
⎧ x - 1 = 0⎧ x = 1
⎪⎪
⎩⎩
二、典型例题：
例 1 ：
在 三 棱 锥 P - ABC 中 ， PA ⊥ 平 面 ABC ， ∠BAC = 90 ， D, E, F 分 别 是 棱
AB, BC , CD 的中点， AB = AC = 1, PA = 2 ，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐
标
P
解：
PA ⊥ 平面 ABC ∴ PA ⊥ AB, PA ⊥ AC
F
∠BAC = 90∴ PA, AB, AC 两两垂直
以 AP, AB, AC 为轴建立直角坐标系
A
C
D
坐标轴上的点：
A （0,0,0 ）, B （1,0,0 ）, C （0,1,0）, P （0,0,2 ）
B
E
⎛ 1⎫
⎝ 2⎭
⎫
⎝ 2 2⎭
⎛1
⎝2⎭
⎛ 1⎫⎛ 1 1⎫⎛1⎫
⎝ 2⎭⎝ 2 2⎭⎝2⎭
小炼有话说：
本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。
这些过程
在解答题中可以省略。
例 2：
在长方体 ABCD - A B C D 中，E, F 分别是棱 BC , CC 上的点，CF = AB = 2CE ，
11111
AB :
AD :
AA = 1:
2 :
4 ，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标
1
第八章第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题立体几何
思路：
建系方式显而易见，长方体 AA , AB, AD 两两垂直，
1
A1
D1
本 题 所 给 的 是 线 段 的 比 例 ， 如 果 设
AB = a, AD = 2a, AA = 4a 等，则点的坐标都含有 a ，不
1
便于计算。
对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐
标都为具体的数。
B1
C1
A F
解：
因为长方体 ABCD - A B C D
1111
D
∴ AB, AD, AA 两两垂直
1
B
E C
2
∴ 以 AB, AD, AA 为轴如图建系，设 AB 为单位长度
1
∴ AD = 2, AA = 4,CF = 1,CE = 1
1
B （1,0,0 ）, C （1,2,0 ）, D （0,2,0 ）, B （1,0,4 ）, A （0,0,4 ）, C （1,2,4 ）, D （0,2,4 ）
1111
⎛ 3⎫
⎝ 2⎭
例 3：
如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD ，AD = DC = CB = 1,∠ABC = 60 ，CF ⊥
平面 ABCD ，且 CF = 1，建立适当的直角坐标系并确定各点
坐标。
思路：
本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面 ABCD 找
过 C 的相互垂直的直线即可。
由题意，∠BCD 不是直角。
所
以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂
直的条件，进而可以建立坐标系
方案一：
（选择 BC 为轴），连结 AC
可知 ∠ADC = 120∴ 在 ADC 中
AC 2 = AD 2 + DC 2 - 2 AD DC cos ADC = 3
∴ AC = 3
D
F
C
A B
C B
由 AC =3, BC = 1,∠ABC = 60 可解得 AB = 2, ∠ACB = 90
D
∴ AC ⊥ BCCF ⊥ 平面 ABCD
∴CF ⊥ AC, CF ⊥ BCA
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以 AC, CF , BC 为坐标轴如图建系：
方案二（以 CD 为轴）
3 1 ⎫
⎭
D C
过 C 作 CD 的垂线 CMCF ⊥ 平面 ABCDA
B
∴CF ⊥ CD, CF ⊥ CM
∴ 以 CD, CF , CM 为坐标轴如图建系：
（同方案一）计算可得：
CM =3 , AB = 2
2
⎛ 33⎫⎛ 3 1⎫
2
小炼有话说：
建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即 z 轴），对于 x, y 轴的选取，如
果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一
条轴，本题中的两个方案就是选过垂足C 的直线为轴建立的坐标系。
例 4：
已知四边形 ABCD 满足 AD∥BC, BA = AD = DC = 1 BC = a ， E 是 BC 中点，将
2
BAE 翻 折 成B AE ， 使 得 平 面 B AE ⊥ 平 面
11
D
A E C ， F 为 B D 中点
1
AD
B'
F
A D
BECE
C
思路：
在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作
为已知条件使用的。
本题在翻折时， BAE 是等边三角形，四边形 AECD 为 60 的菱形是
不变的，寻找线面垂直时，根据平面B' AE ⊥ 平面 AECD ，结合 B' AE 是等边三角形，可
取 AE 中点 M ，则可证 B' M ⊥ 平面 AECD ，再在四边形 AECD 找一组过 M 的垂线即可
建系
解：
取 AE 中点 M ，连结 B' M
第八章第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题立体几何
B' AE 是等边三角形
B'
∴ B' M ⊥ AE
F
平面 B' AE ⊥ 平面 AECD
A
D
∴ B' M ⊥ 平面 AECD ，连结 DM∴ B' M ⊥ ME , B' M ⊥ MDM
四边形 AECD 为 60 的菱形 ∴ ADE 为等边三角形E
C
∴ DM ⊥ AE
∴ B' M , MD, ME 两两垂直
如图建系，设 AB 为单位长度
A
M D
⎛ 1⎫⎛ 1⎫⎛3⎫⎛3⎫⎛3 ⎫
⎝ 2⎭⎝ 2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2 ⎭
⎛33 ⎫
F 为 B' D 中点∴ F ç 0,,⎪
⎝44 ⎭
C
，
例 5 ：
如 图 ， 已 知 四 棱 锥 P - ABCD 的 底 面 是 菱 形 ， 对 角 线 AC, BD 交 于 点
O,OA = 4,OB = 3,OP = 4 ，且 OP ⊥ 平面 ABCD ，点 M 为 PC 的三等分点（靠近 P ）
建立适当的直角坐标系并求各点坐标
思路：
由 OP ⊥ 平面 ABCD ，可得 OP 作为 z 轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的
性质，选取 OB,OC 作为 x, y 轴。
在所有点中只有 M 的坐标相对麻烦，对于三等分点可得
1
PM =PC ，从而转化为向量关系即可求出 M 坐标
3
解：
OP ⊥ 平面 ABCD
∴OP ⊥ OB,OP ⊥ OC
菱形 ABCD∴OB ⊥ OC
∴OP,OB,OC 两两垂直
以 OP,OB,OC 为坐标轴如图建系
可得：
P （0,0,4 ）, B （3,0,0 ）, C （0,4,0 ）, A（0, -4,0 ）, D （-3,0,0 ）
1
PC 可得：
PM =PC
33
PM = （x, y, z - 4）, PC = （0,4, -4 ）
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⎧⎧
⎪ x = 0⎪ x = 0
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪8
z - 4 =-z =
33
小炼有话说：
（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质
（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来
例 6：
如图所示的多面体中，已知正方形 ABCD 与直角梯形 BDEF 所在的平面互相垂直，
EF∥BD，ED ⊥ BD, AD =2, EF = ED = 1 ，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点
坐标
思路：
题目已知面面垂直，从而可以找到 DE 与底面垂直，再由底面是正方形，可选 AD, DC
为 x, y 轴，图中 F 点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到
解：
平面 EFBD ⊥ 平面 ABCD
又因为直角梯形 BDEF∴ ED ⊥ DB
E
∴ ED ⊥ 平面 ABCD
正方形 ABCD∴ AD ⊥ BD
F
∴ ED, DA, DC 两两垂直
以 DE, DA, DC 为轴建立直角坐标系
D C
坐标轴上的点：
A
（ 2,0,0 ） C （0, 2,0 ） E （0,0,1）
A B
底面上的点：
B
（ 2, 2,0 ）
F 点两种确定方式：
⎛ 22⎫⎛ 22⎫
,1⎪
⎝ 22⎭⎝ 22⎭
② 设 F （x, y, z ）∴ EF = （x, y, z - 1）, DB = （ 2,
⎧2
⎪
⎪
12⎛ 22⎫
⎪⎝⎭
⎪ z - 1 = 0
⎪
⎩
2,0 ）
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综上所述：
A
（ 2,0,0 ） C （0, 2,0 ） E （0,0,1）, B （ 2,
2,0
2 2 ⎫
,1⎪
⎝ 2 2 ⎭
例 7：
如图，在三棱柱 ABC - A B C 中，H 是正方形 AA B B 的中心， AA = 2 2, C H ⊥
1111111
平面 AA B B ， C H =5 ，建立适当的坐标系并确
111
定各点坐标
C C1
思路：
C H ⊥ 平面 AA B B ，从而C H 可作 z 轴，只
1111
B
H
B1
需在平面 AA B B 找到过 H 的两条垂线即可建系（两A
11
A1
种方案），对于坐标只有 C 坐标相对麻烦，但由 C C = A A 可以利用向量进行计算。
11
解：
方案一：
（利用正方形相邻边垂直关系建系）
如图建系：
则
A （ 2, 2,0 ） A （ 2, - 2,0 ） B （- 2, 2,0 ）
11
C C1
B
B1
B （- 2, - 2,0 ） C （0,0, 5 ）
1
设 C （x, y, z ） ，则 C C = （x, y, z - 5 ）A A = （0, -2
11
H
A A1
2,0 ）
⎧ x = 0⎧ x = 0
11
z - 5 = 0
综上所述：
A （ 2, 2,0 ） A （ 2, - 2,0 ） B （-
11
2, 2,0 ） B （- 2, - 2,0 ）
C （0,0, 5 ） C （0, -2 2, 5 ）
1
方案二：
（利用正方形对角线相互垂直建系）
如图建系：
由 AA = 2 2 计算可得 A H = B H = 2
111
A （2,0,0 ）, A（0, -2,0 ）, B （0,2,0 ）
11
C C1
B
B1
B （-2,0,0 ）, C 0,0, 5
1
设 C （x, y, z ） ，则 C C = x, y, z - 5
1
A A = （-2, -2,0 ）
1
H
A A1
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⎧ x = -2⎧ x = -2
⎪⎪
11
⎩ z - 5 = 0⎩ z = 5
综上所述：
A （2,0,0 ）, A（0, -2,0 ）, B （0,2,0 ）, B （-2,0,0 ）, C 0,0, 5 , C -2, -2, 5
111
小炼有话说：
本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现，用方案二写出的坐标相
（
对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而且数比较整齐。
相信所给的 AA = 2 2 目的
1
也倾向使用方案二建系）因为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐
会决定计算过程是否更为简便。
所以若题目中建系有多种选择时，不妨观察所给线段长度的
特点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基础
例 8：
如图，在四棱柱 ABCD - A B C D 中，侧棱 A A ⊥ 底面ABCD , AB ⊥ AC , AB =1 ,
11111
AC = AA = 2, AD = CD = 5 ,且点 M 和 N 分别为 B C和D D 的中点。
建立合适的空间
111
直角坐标系并写出各点坐标
思路：
由 A A ⊥ 底面ABCD ， AB ⊥ AC 可得 AA , AB, AC 两两垂直，进而以它们为轴建
11
立坐标系，本题中 A , B , C , D 均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中 D 点坐标相对麻烦，
1111
可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。
解：
侧棱 A A ⊥ 底面ABCD
1
∴A A ⊥ AB, A A ⊥ AC
11
AB ⊥ AC∴ AB, AC , AA 两两垂直
1
以 AB, AC , AA 为轴建立直角坐标系
1
底面上的点：
B （0,1,0 ）, C （2,0,0 ）
由 AD = CD = 5 可得ADC 为等腰三角形，若P 为AB
AC 中点，则 DP ⊥ AC
DP
DP =AD 2 - AP 2 = 2
∴ D （1,-2,0 ）C
第八章第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题立体几何
可投影到底面上的点：
A （0,0,2 ）, B （0,1,2 ）, C （2,0,2 ）, D （1, -2,2 ）
1111
因为 M 和 N 分别为 B C和D D 的中点
11
⎛ 1⎫
⎝ 2⎭
综上所述：
B （0,1,0 ）, C （2,0,0 ）, D （1, -2,0 ）, A （0,0,2 ）, B （0,1,2 ）, C （2,0,2 ）, D （1, -2,2 ）
1111
⎛ 1⎫
⎝ 2⎭
例 9：
如图：
已知 PO ⊥ 平面 ABCD ，点 O 在 AB 上，且 EA∥PO ，四边形 ABCD 为直
角梯形， AD∥BC, BC ⊥ AB, BC = CD = BO = PO = 2, EA = AO =
坐标系并求出各点坐标
D
思 路 ：
由 条 件 可 得 A B ⊥ A D， 而 PO ⊥ 平 面
A B C ，EA∥PO 可得到 EA ⊥ 平面 ABCD ，从而
以 EA, AB, AD 为轴建系。
难点在于求底面梯形中
AB,OD 的长度。
可作出平面图利用平面几何知识处
O
理。
PO ⊥ 平面 ABCD ， EA∥PO
解：
∴EA ⊥ 平面 ABCD
1
2
CD ，建立适当的
∴ EA ⊥ AB, EA ⊥ AD
AD∥BC, BC ⊥ AB∴ AD ⊥ AB
∴ AE, AD, AB 两两垂直，如图建系：
A O
D
1
Rt AOB 中：
AB = OB2 - OA2 = 3
1
=⇒ ∠AOB = 60
BO2
AD∥BC∴∠ BOC = ∠AOB = 60
BC = BO∴ BOC 为等边三角形
∴OC = BC = CD∠OCB = 60
C
第八章第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题立体几何
∴∠ DOC = 60∴ COD 为等边三角形
∴OD = CD = 2
∴ B
（ 3,0,0 ） O （0,1,0）, D （0,3,0 ）, C （ 3,2,0 ）
P 在底面 ABCD 投影为 O 且 PO = 2∴ P （0,1,2）
综上所述：
B
（ 3,0,0 ） O （0,1,0）, D （0,3,0 ）, C （ 3,2,0 ） P （0,1,2 ）, E （0,0,1）
例 10：
已知斜三棱柱 ABC - A B C , ∠BCA = 90 , AC = BC = 2, A 在底面 ABC 上的射影
1111
恰为 AC 的中点 D ，又知 BA ⊥ AC ，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标
11
思路：
本题建系方案比较简单， A D ⊥ 平面 ABC ，进而 A D 作 z 轴，再过 D 引 AC 垂线
11
即可。
难点有二：
一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是 B 的投影
1
不易在图中作出（需要扩展平面ABC ），第一个问题可先将高设为h ，再利用条件
BA ⊥ AC 求解；第二个问题可以考虑利用向量计算得到。
11
A1
C1
解：
过 D 作 AC 的垂线 DM ，
A D ⊥ 平面 ABC
1
B1
∴ A D ⊥ DC , A D ⊥ DM ，而 DM ⊥ DC
11
∴ 以 A D, DC , DM 为轴建立直角坐标系A
1
D
C
A（0, -1,0 ）, C （0,1,0 ）, B （2,1,0 ），设高为 h
则 A （0,0, h ），设 C （x, y, z ）
11
则 AC = （0,2,0 ）, AC = （x, y, z - h ）
1 1
⎧ x = 0⎧ x = 0
⎪⎪
11
⎩⎩
∴C （0,2, h ）
1
BA = （-2, -1,h ）, AC = （0,3, h ）
11
∴ BA ⊥ AC ⇒ BA ⋅ AC = 0 ⇒ -3 + h2 = 0 ，解得 h =3
1111
B
A D C
B
y = 2⎩
第八章第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题立体几何
∴ A 0,0, 3 , C 0,2, 3
11
设 B x, y, 3
111
而 AB = （2,2,0 ）且 A B = AB∴⎨ x = 2
11
∴ B 2,2, 3
1
综上所述
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