考研数学强化班高等数学讲义汤家凤.docx
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考研数学强化班高等数学讲义汤家凤
第一讲极限与连续
主要内容归纳(略)
要点题型解说
一、极限问题
种类一:
连加或连乘的求极限问题
1.求以下极限:
(1)lim
1
1
1
;
n
1
3
3
5
(2n
1)(2n
1)
(2)lim
n
k3
1
;
1
nk2k3
n
(3)lim[
n
k1
1]n;
k(k1)
2.求以下极限:
(1)lim
1
1
1
;
2
2
2
n
4n
1
4n
2
4n
n
3.求以下极限:
(1)lim
1
1
1
;
2
2
2
2
2
n
n
2
n
n
2
1
n
(2)limnn!
;
nn
n
1
(3)lim
。
n
i
2
i1
1
n
n
种类二:
利用重要极限求极限的问题
1.求以下极限:
(1)limcos
x
cos
x
cos
x
(x
0);
(n
1)n1
1
2
n
(2)lim
n
sin
;
n
2
2
2
n
n
n
2.求以下极限:
1
(1)lim1sinx21cosx;
x0
1
1
(3)lim
1
tanx
x3ln(12x)
(4)limcos
1
sinx
;
x
x0
x
种类三:
利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题
1.求以下极限:
x2
;
(1)lim
1
tanx
1
sinx;
(2)lim
etanx
ex
;
x0
x(1
cosx)
x0
x(1
cosx)
(3)lim
1
2cosx
x
1];
(4)lim(
1
1
);
x
3[(
3
)
x
2
tan
2
x0
x
0
x
(5)lim(3x)
x
3
x
2
;
x0
x
ln(1
f(x))
f(x)
(6)设lim
sinx
A,求lim
。
x
2
x0
a
1
x0
x
x2
2.求以下极限:
lim
cosx
e2
3
x
0
xsinx
种类四:
极限存在性问题:
1.设x11,xn1
1
xn
0,证明数列{xn}收敛,并求limxn。
n
n
n
2.设f(x)在[0,
)上单一减少、非负、连续,an
f(k)f(x)dx(n1,2,),证明:
k
1
1
liman存在。
n
种类五:
夹逼定理求极限问题:
1.求lim
1sinnx
;
01
dx
n
x
1
2.lim(an
bn
cn)n(a,b,c非负);
n
x2
n
3.limn1
xn
(x
0)。
n
2
种类六:
含参数的极限问题:
1.设lim(x3sin3x
ax2
b)0,求a,b;
x0
2.设lim
x2
1
b)
3,求a,b;
ax
xx1
种类七:
中值定理法求极限:
1、limn2(arctan
arctan
);
n
n
n
1
1
1
2、limx2(e2x1
e2x1)。
x
种类八:
变积分限函数求极限:
x
x
2
x
etcostdt
0
2
1、lim
x1
。
x0(xtanx)(
1)
1
xf(xt)dt
2、设f(x)连续,且f
(1)
1,则lim1
3
。
x1
x
1
二、连续与中断的判断
ln(1
x),x
0
x
1.设f(x)
0,x
0
,议论函数f(x)在x
0处的连续性。
1x1
x
1x
0
x
1
1
2.议论f(x)
(2x
1)
(2x
1),x
0在x
0处的连续性。
1,x
0
三、连续性命题的证明
1.设f(x)
C[a,
)且lim
f(x)存在,证明
f(x)在[a,
)上有界。
x
2.设f(x)在[a,b]上连续,任取
p
0,q0,证明:
存在
(a,b),使得
pf(a)
qf(b)
(p
q))f()。
第二讲
微分学
第一部分
一元函数微分学
内容复习(略)
要点题型解说
(一)与导数定义有关的问题
1.设f
f(x0
h)
f(x0
h)
0)。
(x0)存在,求lim
h
(
h0
2f(x)
在x
1处连续,且
lim
f(x)
2
,求f
(1)。
.设
x1
x2
1
3.设f(x)在(
)上有定义,对随意的
x,y有f(x
y)
f(x)f(y),且f(0)
1,求
f(x)。
4.设f(x)二阶连续可导,且
lim
f(x)
1,f
(0)e,则limef(x)2
ex
______。
x0
x
x
0
x
5.设f(x)在(
)上有定义,且对随意的
x有f(x
1)
2f(x),又当x[0,1]
时,有
f(x)
x(1
x2),议论f(x)在x
0
处的可导性。
(二)各种求导数的问题
1.设ye
sin
x
1xex,求y;
1
1
x
1
x
2.设y
arctan
x,求y;
e
1
3.y
x(x
1)(x
2)(x
100)
,求y(0),y(101)
;
x
t
ln(1
t)
2
y;
4.设y
f(x)由
t3
t2
确立,求d
y
dx2
5.设xy
yx,求dy;
dx
6.设exy
tan(xy)
y,求dy
;
dxx0
7.设y
x
tet
确立,求dy;
y(x)由
tant2
3siny
ty2
5
dx
8.设f(x)
sinx
2aex,x0
在x0
处可导,求a,b;
9arctanx
2b(x
1)3,x
0
9.求以下函数的导数:
(1)设y
2xcost2dt,求dy;
0
x
dx
(2)设y
tf(t2
x2)dt,求dy;
x
0
dx
10.设f(x)连续,
(x)
f(x)
A,求
(x),并议论
(x)在x0处
f(xt)dt,且lim
1
0
x0
x
的连续性。
11.设f(x)
g(x)
cosx,x
0
x
,此中g(x)二阶可导且g(0)1。
a,x
0
(1)当a为什么值时,
f(x)在x
0处连续;
(2)求f(x);(3)研究f(x)在x
0处的连续
性。
解答:
(1)lim
f(x)lim
g(x)
cosx
lim[g(x)
g(0)g(0)
cosx]
x0
x0
x
x
0
x
x
lim[g(x)g(0)
1
cosx]
g(0),
x0
x
x
于是当a
g(0)时,f(x)在x
0处连续。
(2)当x0时,limf(x)
x0
x
g(x)
cosx
g(0)x
lim
x
2
x
0
即f
(0)
1[1g
(0)];
2
x[g(x)
g(x)
cosx
f(0)
g(0)
lim
x
x
0
x
limg(x)
g(0)
sinx1[1g(0)],
x0
2x
2
sinx]g(x)cosx
当x
0时,f(x)
x2
,于是
1[1g
(0),x
0
f
(x)
2
。
x[g(x)
sinx]
g(x)
cosx,x
0
x2
(3)由于limf(x)
lim
x[g(x)
sinx]
g(x)
cosx
x
2
x
0
x0
lim[g(x)
sinx
g(x)
2
cosx]
1[1
g(0)]
f(0),
x0
x
x
2
因此f
(x)在x0处连续。
12.设f(x)在[
1,1]上可导,f(x)在x
0处二阶可导,且f(0)0,f(0)
4,求
f(x)
f[ln(1
x)]
lim
x
3
。
x
0
13.设f(x)
lim
x2en(x
1)
ax
b
,求f(x),并议论f(x)的连续性和可导性。
1
e
n(x1)
n
(三)高阶导数问题
1.设yexsinx,求y(n);
2.设yln(x2
3x
2)
,求y(n)。
3.设f(x)xln(1
x2)
,求f(49)(0)。
第二部分一元函数微分学的应用
内容复习(略)
附:
中值定理部分的推行
1.设f(x)在xx0的邻域内n阶连续可导,则有
f(x)
f(x0)f(x0)(xx0)
f(n)(x0)(xx0)n
o((xx0)n)。
n!
2.(导数零点定理)设f(x)
C[a,b],在(a,b)内可导,且f(a)f(b)
0,则存在
(a,b),
使得f
()
0。
3.(导数介值定理)设设
f(x)
C[a,b],在(a,b)内可导,且f
(a)
f(b),不如设
f(a)
f
(b),则对随意的
[f
(a),f(b)],存在
(a,b),使得f(
)
。
4.设
f(x)
C[a,b],且f
(x)0(
0),则有
f(x)
()f(x0)f(x0)(x
x0),等号成立当且仅当x
x0。
要点题型解说
(一)中值定理等式的证明
种类一:
目标表达式中仅含
不含端点字母,且导数之间相差一阶
1.设f(x)在[0,1]
上连续,在
(0,1)内可导,且f(0)
1,f
(1)
0,证明:
存在
(0,1),使
得
2f(
)
f()
0
。
1
2.设f(x)在[0,1]
上可微,且
f
(1)
33ex
1f(x)dx,证明:
存在
(0,1),使得
0
f
()
f()
0
。
3.设f(x)在[0,1]
上连续,在
(0,1)内可导,f(0)
0,f
(1)
1,f
(1)
0。
证明:
(1,1),使得f(
2
(1)存在
)
;
2
(2)对随意的k
(
),存在
(0,
),使得
f()
k[f()]1。
种类二:
目标表达式中含两此中值
1.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(x)0,证明:
存在,(a,b),使得
f
(
)
eb
ea
e
。
f
(
)
b
a
2.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)
f(b)
1,证明:
存在,
(a,b),使
得
f(
)f(
)
e。
3.设f(x)
C[0,1],在(0,1)
内可导,且
f(0)
0,f
(1)1,证明:
对随意的正数
a,b,存在
(0,1),使得
a
b
ab。
f()
f
(
)
4.设f(x)
C[a,b],在(a,b)内可导(a0),证明:
存在
1,2,3
(a,b),使
f
(1)(ab)
f
(2)
(a2
abb2)
f(3)
。
22
332
种类三:
目标表达式中含有端点和中值
1.设f(x),g(x)
[a,b],在(a,b)内可导,且g(x)
0,证明:
存在
(a,b),使得
f(a)
f()
f
(
)