初中数学因式分解专题训练及答案解析.docx
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初中数学因式分解专题训练及答案解析
七年级下数学因式分解专题训练
．选择题（共13小题）
1．下列因式分解错误的是（）
22
2．把x2+3x+c分解因式得：
x2+3x+c=（x+1）（x+2），则c的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣3
3．一次课堂练习，王莉同学做了如下4道分解因式题，你认为王莉做得不够完整的一题是
）
A．
x3﹣x=x（x2﹣1）
B．
22
x﹣2xy+y=（x﹣
2
y）2
C．
22
xy﹣xy=xy（x﹣y）
D．
22
x﹣y=（x﹣y）（x+y）
4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）
2
A．a（x+y）=ax+ay
B．
2
x﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
D．
2
x﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x
6．下列分解因式正确的是（）
2
A．3x﹣6x=x（3x﹣6）
B．
22
﹣a+b=（b+a）（b﹣a）
C．4x2﹣y2=（4x+y）
（4x﹣y）
D．
2224x﹣2xy+y=（2x﹣y）
7．
下列多项式中，
能用公式法分解因式的是（
）
A
2．x﹣xy
B．x2+xy
C．
x2﹣y2
22D．x+y
8．
2
把代数式ax2﹣
4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（
）
A
．a（x﹣2）2
2
B．a（x+2）
C．
2
a（x﹣4）
D．a（x+2）（x﹣2）
9．下列因式分解错误的是（）
22
A．x﹣y=（x+y）（x﹣y）
B．
22
x+y=（x+y）（x+y）
2
C．x﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z）
D．
2
x2﹣3x﹣10=（x+2）（x﹣5）
322322
10．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（）
A．等腰三角形
B．
直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．
等腰直角三角形
11．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：
n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：
F（n）=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）==．给出下列关于F（n）的说法：
（1）F
（2）=；
（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
12．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列数整除的是（）
A．3B．5C．7D．9
232
13．如果x2+x﹣1=0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为（）
A．6B．8C．﹣6D．﹣8
二．填空题（共12小题）
2
14．若x+4x+4=（x+2）（x+n），则n=．
15．多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是．
22
16．因式分解：
axy+axy=．
24．
已知P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，当x≠0时，3P﹣2Q=7恒成立，则y的值为三．解答题（共5小题）
2222
26．化简：
（a﹣b）（a+b）﹣（a+b）（a﹣b）+2b（a+b）
2222
27．因式分解：
x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）．
28．在实数范围内分解因式：
．
29．计算：
1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣⋯﹣a（1﹣a）2000﹣[（1﹣a）2001﹣3]
30．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民
办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：
首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到
n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．
（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；
（2）设第k所民办学校所得到的奖金为ak元（1≤k≤n），试用k、n和b表示ak（不必证明）；
（3）比较ak和ak+1的大小（k=1，2，⋯，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．
七年级下数学因式分解专题训练
参考答案与试题解析
．选择题（共13小题）
1．下列因式分解错误的是（）
A．
22
x﹣y=（x+y）（x﹣y）
B．
x2+6x+9=（x+3）2
C．
x2+xy=x（x+y）
D．
x2+y2=（x+y）2
考点：
因式分解的意义．分析：
根据公式特点判断，然后利用排除法求解．解答：
解：
A、是平方差公式，正确；
B、是完全平方公式，正确；
C、是提公因式法，正确；
D、两平方项同号，因而不能分解，错误；故选D．
点评：
本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．
22
2．把x+3x+c分解因式得：
x+3x+c=（x+1）（x+2），则c的值为（）
A．2B．3C．﹣2D．﹣3
考点：
因式分解的意义．
分析：
根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x+1）（x+2）利用乘法公式展开即可求
解．
22
解答：
解：
∵（x+1）（x+2）=x+2x+x+2=x+3x+2，∴c=2．
故选A．点评：
本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
3．一次课堂练习，王莉同学做了如下4道分解因式题，你认为王莉做得不够完整的一题是
）
A．
x3﹣x=x（x2﹣1）
B．
22
x﹣2xy+y=（x﹣
2
y）2
C．
x2y﹣xy2=xy（x﹣
y）
D．
22
x﹣y=（x﹣y）（x+y）
考点：
因式分解的意义．
分析：
要找出“做得不够完整的一题”，实质是选出分解因式不正确的一题，只有选项A：
x3
2
﹣x=x（x2﹣1）没有分解完．解答：
解：
A、分解不彻底还可以继续分解：
x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），
B、C、D正确．故选A．点评：
因式分解要彻底，直至分解到不能再分解为止．
4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（
A．a（x+y）=ax+ay
B．
x﹣4x+4=x（x﹣4）+4
2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
D．
2
x﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x
考点：
因式分解的意义．
分析：
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
解答：
解：
A、是多项式乘法，错误；
22
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，错误；C、提公因式法，正确；D、右边不是积的形式，错误；故选C．
点评：
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
5．下列多项式能分解因式的是（）
22222
A．x﹣yB．x+1C．x+xy+yD．x﹣4x+4
考点：
因式分解的意义．分析：
根据多项式特点结合公式特征判断．解答：
解：
A、不能提公因式也不能运用公式，故本选项错误；
B、同号不能运用平方差公式，故本选项错误；
22
C、不符合完全平方公式，应该是x2+2xy+y2，故本选项错误；D、符合完全平方公式，正确；故选D．
点评：
本题主要考查了公式法分解因式的公式结构特点的记忆，熟记公式是解题的关键．
6．下列分解因式正确的是（）
2
A．3x﹣6x=x（3x﹣6）
B．
22
﹣a+b=（b+a）（b﹣a）
22
C．4x﹣y=（4x+y）（4x﹣y）
D．
2224x﹣2xy+y=（2x﹣y）
考点：
因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：
计算题．
分析：
根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：
解：
A、3x2﹣6x=3x（x﹣2），故本选项错误；
22
B、﹣a+b=（b+a）（b﹣a），故本选项正确；
22
C、4x﹣y=（2x+y）（2x﹣y），故本选项错误；
D、4x2﹣2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．故选B．
点评：
本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．
7．下列多项式中，
能用公式法分解因式的是（
）
2A．x﹣xy
2B．x+xy
22C．x﹣y
22D．x+y
考点：
因式分解-运用公式法．
分析：
能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：
两个平方项，符号相反；能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：
两个平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍．
解答：
解：
A、x2﹣xy只能提公因式分解因式，故选项错误；
2
B、x2+xy只能提公因式分解因式，故选项错误；
C、x2﹣y2能用平方差公式进行因式分解，故选项正确；
22
D、x2+y2不能继续分解因式，故选项错误．故选C．
点评：
本题考查用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的特点需识记．
2
8．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）
A．
a（x﹣2）2
B．
a（x+2）2
C．
a（x﹣4）2
D．
a（x+2）（x﹣2）
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
分析：
先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
解答：
解：
ax2﹣4ax+4a，
2
=a（x﹣4x+4），
2=a（x﹣2）．故选A．
点评：
本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．
9．下列因式分解错误的是（）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
B．
x2+y2=（x+y）（x+y）
2
C．x﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z）
D．
2
x2﹣3x﹣10=（x+2）（x﹣5）
考点：
因式分解-十字相乘法等；因式分解的意义；因式分解-分组分解法．
分析：
根据公式法分解因式特点判断，然后利用排除法求解．
22解答：
解：
A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），是平方差公式，正确；
B、x2+y2，两平方项同号，不能运用平方差公式，错误；
C、x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z），是分组分解法，正确；
D、x2﹣3x﹣10=（x+2）（x﹣5），是十字相乘法，正确．故选B．
点评：
本题考查了公式法、分组分解法、十字相乘法分解因式，熟练掌握分解因式各种方法的特点对分解因式十分重要．
32232210．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（）
A．等腰三角形
B．
直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．
等腰直角三角形
考点：
因式分解的应用．
专题：
因式分解．
分析：
把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
322322解答：
解：
∵a+ab+bc=b+ab+ac，
332222
∴a﹣b﹣ab+ab﹣ac+bc=0，
322322
（a﹣ab）+（ab﹣b）﹣（ac﹣bc）=0，
222a2（a﹣b）+b2（a﹣b）﹣c2（a﹣b）=0，
222（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．
故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．故选C．
点评：
本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形
式是解题的关键．
11．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：
n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：
F（n）=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）==．给出下
列关于F（n）的说法：
（1）F
（2）=；
（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
考点：
因式分解的应用．
专题：
新定义．
分析：
把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．
解答：
解：
∵2=1×2，
∴F
（2）=是正确的；
∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，
∴F（24）==，故
（2）是错误的；
∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3<9，
∴F（27）=，故（3）是错误的；
∵n是一个完全平方数，
∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的．∴正确的有
（1），（4）．
故选B．
考点：
因式分解的应用．
分析：
根据乘方的性质，提取公因式（﹣8）2005，整理即可得到是7的倍数，所以能被7整除．
解答：
解：
（﹣8）2006+（﹣8）2005，
20052005
=（﹣8）（﹣8）+（﹣8），
2005
=（﹣8+1）（﹣8），
2005
=﹣7×（﹣8）
2005
=7×8．
所以能被7整除．
故选C．
点评：
本题考查提公因式法分解因式，关键在于提取公因式，然后再对所剩的因数进行计算．
考点：
因式分解的应用．
专题：
整体思想．
22分析：
由x2+x﹣1=0得x2+x=1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可．
22解答：
解：
由x2+x﹣1=0得x2+x=1，
32322∴x+2x﹣7=x+x+x﹣7，22=x（x+x）+x﹣7，
2
=x+x﹣7，
=1﹣7，
=﹣6．故选C．
点评：
本题考查提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在2
题设中，首先应从题设中获取代数式x2+x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的
值．
二．填空题（共12小题）
2
14．若x+4x+4=（x+2）（x+n），则n=2．
考点：
因式分解的意义．
专题：
计算题．
分析：
根据因式分解与整式的乘法是互逆运算，把等式右边展开后根据对应项系数相等列式求解即可．
2
解答：
解：
∵（x+2）（x+n）=x+（n+2）x+2n，
∴n+2=4，2n=4，
解得n=2．点评：
本题主要利用因式分解与整式的乘法是互逆运算．
22
15．多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是x﹣2．
考点：
公因式．
分析：
分别将多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4进行因式分解，再寻找他们的公因式．
解答：
解：
∵ax2﹣4a=a（x2﹣4）=a（x+2）（x﹣2），
22
2﹣4x+4=（x﹣2）2，
∴多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是x﹣2．
点评：
本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
22
16．因式分解：
axy+axy=axy（x+y）考点：
因式分解-提公因式法．
分析：
确定公因式为axy，然后提取公因式即可．
解答：
解：
ax2y+axy2=axy（x+y）．
点评：
本题考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
2x﹣3y）
：
因式分解-提公因式法；单项式乘多项式．
：
因式分解．
（1）根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，计算即可．
（2）直接提取
公因式（a﹣2）即可．
解答：
解：
9xy?
（﹣x2y）=﹣×9?
x2?
x?
y?
y=﹣3x3y2，
2x（a﹣2）+3y（2﹣a）=（a﹣2）（2x﹣3y），
32
故答案分别为：
﹣3x3y2，（a﹣2）（2x﹣3y）．
点评：
（1）本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（2）本题
考查了提公因式法分解因式，解答此题的关键把（a﹣y）看作一个整体，利用整体思
想进行因式分解．
222
18．若|m﹣4|+（﹣5）2=0，将mx2﹣ny2分解因式为（2x+5y）（2x﹣5y）考点：
因式分解-运用公式法；非负数的性质：
绝对值；非负数的性质：
偶次方．
分析：
先根据绝对值非负数，平方数非负数的性质列式求出m、n的值分别是4和25，然后
代入多项式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
解答：
解：
|m﹣4|+（﹣5）2=0
∴m﹣4=0，﹣5=0，
解得：
m=4，n=25，
22
∴mx﹣ny，
22
=4x﹣25y，
=（2x+5y）（2x﹣5y）．
点评：
本题主要考查利用平方差公式分解因式，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的
关键．
22
19．因式分解：
（2x+1）﹣x=（3x+1）（x+1）
考点：
因式分解-运用公式法．
分析：
直接运用平方差公式分解因式，两项平方的差等于这两项的和与这两项的差的积．
解答：
解：
（2x+1）2﹣x2，=（2x+1+x）（2x+1﹣x），=（3x+1）（x+1）．
点评：
本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，本题难点在于把（2x+1）看作一个整体．
32
20．分解因式：
a﹣ab=a（a+b）（a﹣b）考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
利用平方
分析：
观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，差公式继续分解可得．
3222解答：
解：
a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．点评：
本题是一道典型的中考题型的因式分解：
先提取公因式，然后再应用一次公式．
本题考点：
因式分解（提取公因式法、应用公式法）．
21．分解因式：
a3﹣10a2+25a=a（a﹣5）2
考点：
提公因式法与公式法的综合运用．
分析：
先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解．
解答：
解：
a3﹣10a2+25a，
=a（a2﹣10a+25），（提取公因式）2
=a（a﹣5）2．（完全平方公式）
点评：
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进行二次分解，分解因式一定要彻底．
22
22．因式分解：
9x﹣y﹣4y﹣4=（3x+y+2）（3x﹣y﹣2）考点：
因式分解-分组分解法．分析：
此题可用分组分解法进行分解，可以将后三项分为一组，即可写成平方差的形式，利用平方差公式分解因式．
22
解答：
解：
9x2﹣y2﹣4y﹣4，
22=9x﹣（y+4y+4），
22
=9x2﹣（y+2）2，=（3x+y+2）（3x﹣y﹣2）．
点评：
本题考查了分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可组成完全平方公式，可把后三项分为一组．
：
本题考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解
的结果一般要分到出现无理数为止，而且对于不能直接看出采用什么方法进行因式分
解的多项式，则需进行变形整理，一般可以在保证式子不变的前提下添加一些项，如
2
本题，因为有x2+x，所以可考虑配成完全平方式，再继续分解．
解答：
解：
x2+x+﹣1
点评：
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：
一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．同时还要结合式子特点进行适当的变形，以便能够分解．
24．已知P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，当x≠0时，3P﹣2Q=7恒成立，则y的值为2考点：
因式分解的应用．
分析：
先根据题意把P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2分别代入3P﹣2Q=7中，再合并同类项，然后提取公因式，即可求出y的值．
解答：
解：
∵P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，
∴3P﹣2Q=3（3xy﹣8x+1）﹣2（x﹣2xy﹣2）=7恒成立，
∴9xy﹣24x+3﹣2x+4xy+4=7，13xy﹣26x=0，13x（y﹣2）=0，
∵x≠0，
∴y﹣2=0，
∴y=2；故答案为：
2．
点评：
此题考查了因式分解的应用，解题的关键是把要求的式子进行整理，然后提取公因式，是一道基础题．
25．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记
忆．原理是：
如对于多项式
y=9时，则各个因式的值是：
4422
x4﹣y4，因式分解的
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