数学专题17算术平均数与几何平均数docx.docx

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高中数学高考总复习专题十七算术平均数与几何平均数

一、知识网络

二、高考考点

2、在给定条件下求有关式的取值范围；

3、在给定条件下求冇关函数的最大値或最小值；

4、解决实际应川问题，以最优化问题为主耍题型。

三、知识要点

（一）不等式的性质

不等式的性质是证明与求解不筹式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质"两个类别。

1、关于不等式的“基本性质"

（1）对称性：

a>b=b

（2）传递性:

a>b,b>c—a>c

（3）“数加"法则：

a>b~a+c>b+c

推论：

a+b>c=a>c-b（移项法则）

（4）“数乘”法则:

a>b,c>0弓ac>bc;a>b,c<0—ac

2、关丁•不等式“两边运算”的性质

（1）同向不等式两边"相加":

a>b,c>d—a+c>b+d;

（2）同向的正数不等式两边"相乘a>b>0,c>d>0=ac>bd；

（3）正数不等式两边“乘方”：

a>b>0=an>bn>O（nN）;

（4）正数不等式两边“开方*亠bA0=>扳A縞（nGbTflu>D

认知：

上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为1

（1）；1（3）；1（4）及其2（3）；2（4）

（二）基本定理及其推论

定理1:

如果a,bER,那么a2+b2>2ab（当且仅当a=b时等号成立）

推论（平方和不等式）：

2（当且仅当a=b时等号成立）

定理2：

如果a,bER\那么2（当H仅当沪b时等号成立）

推论1（和的平方不等式）:

若a,bER；则（a+b）2>4ab（当且仅当a=b时等号成立）

推论2（最值定理）：

设x,y均为止数，则

（1）当积xy为定值P时，和x+y有最小值羽虚（当且仅当x=y时取得）；

is2

（2）当和x+y为定值S时，积冇最大值4（当口仅当x=y时取得）；

四、经典例题

例1

s2+—=L

（1）若x,yE对且-的最大值.

（2）若x,yWR且xy>0,x2y=2,求u=xy+x2的最小值.

分析：

注意运用最值定理解题的要领：

一正二定三相等

（1）欲求积L』4■尸的最大值，首先致力于“凑I大I子"，为凑出已知条件下“和为定值''的正数之积而变形u,若u的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察u2：

（2）欲求和xy+x2的最小值，首先致力丁•“凑项”，为凑出已知条件下“积为定值叩勺止数之和而变形u,若有可能，将

U化为一元函数，问题分析会更明朗一些。

解：

（1）注意到这里x>0,u>0,

屮=“+卄2（X•与b

2

hl+?

2

M2C__伽致档站M（学尸）

2y=T

（2）山已知得■

=3（当口仅当*时成立）

Aumin=3（当且仅当x=l且尸2时収得）

点评：

遇“积”凑因了，在主体部分凑出“若干因了Z和为定值”的形式；

（1）若x,y,a,bER7,afb,且°尸

求u=x+y的最小彳直;

遇“和”则凑项，在主体部分凑出“若于项Z积为定值”的形成，完成此番设想后，进而再考察冇关各数“相等”的可能性。

（2）若00,求■的最小值.

分析:

对于

（1）如何利川.y，这一条件通常川法多是作“1的替换”或作“三角替换

对于

（2）,注意到这里0

x+（l・x）=l,在⑴的基础上易于寻岀解题思路。

解：

（1）

解法一（利用“1的替换”）：

Vx,y,a,bR

u=M+y=（H-yX-+^

■y

=（a+b）+（^+—）

王（a.*b）（当且仅当竺=—

■y

■y

—>0,->0fi.—+—=1,

解法二（运用“三角替换t:

注意到.y■f

则有x=ascc29,y=bcsc20

:

.u=ascc20+bcsc20

=（atan20+bcot2O）+（a+b）

⑵注意到这里0

o

•••令x=cos29,则1-x=sin20（玄）

=Jsec204-b2c®c^

=（a2tan2e+bacot2&）+b2）

tanfl=—

・•・ymin=（a+b）2（当H仅当»时取得）

M=t

点评:

对于⑴上y是明显的；对于

（2）,x+（i_x）=i是隐蔽的，今后解决函数或代数的其它问题，也要注意认知并利

用问题中隐蔽的等量关系或不等关系。

例3

（1）设a,b,c是RtAABC的三边，c为斜边之长，且a+b+c=4,试求C的取值范围；

（2）设三个数a,b,c成等比数列,且a+b+c=l,试求b的取值范围。

分析：

在一定条件下求某个变量的取值范围，基本解题思路有二：

（i）由已知条件与重要不等式导出关于E的不等式，而后由这一不等式解出E的取值范围；

（ii）立足于已知条件中的等式（内因），借助已知的重耍不等式（外因），内外结合推导F的取值范围。

解：

（1）由已知得c2=a?

+b2（利用三角形的特殊性）①

4-c=a+b（以c为主元整理或变形）②

注意到a,b^对且满足2（a2+b2）>（a+b）2③

・・・将①，②代入③得2c2>（4-c）2

再注意到这里a+b>c（利用三角形的普通性质）=a+b+c>2c乂a+b+c=4

・•・c<2⑤

于是由④、⑤得4返-4空"盍

・・・所求C的取值范围为

（2）由已知得b2=ac①

1-b=a+c②

（以b为主元整理或变形）

为利用重要不等式而讨论：

山题设知a、c同号

（i）当a,c同为正数时，a+c&2^（当且仅当a=c时等号成立）・•・山①得a+c>2|b|

・••再由②得l-b>2|b|=2|b|+b

0

・••若b>0,贝IJ由③得3；

若b<0,则山③得-l

0

・••由③解得-l

（ii）当加同为负数时，（TXT工诟

由②、④得l-b<-2|b|'2|b|-b<-l无解

1

于是综合（i）（ii）得所求b的取值范围为[・1,0）U（0,?

]

点评：

（1）、

（2）解题的共同之处，是立足丁•已知的等式，借助算术平均数与儿何平均数人小的不等式导出冇关

变最卩的取值范伟I，这也展示了这一类问题的基木解法。

（2）已知x,yE

2且不等式版亠石茎灭石

恒成立，求a的最小值

例4.

分析：

此恒等式问题与最值冇着千丝万缕的联系,

而寻求有关式子的最值的基木于•段Z—是利用重要不等式。

解：

（1）a>b>c

・••原不等式恒成立g-bb-c恒成立①

a-c.a-cz.、

u=H（a>b

令a-bb-c

则①=kWu的最小值②

乂a-bb-i;（分子主动与分母沟通联系）

匕二口o卄*2b

>4（当.H•仅当a-bb-c时等号成立）

・・・Umin=4（当且仅当a+c=2b时取得）③

于是山②、③得k<4,即k的最大值为4

⑵不等式五4$兰皿4丁恒成立

Vx,yWlC

（当H仅当x=y时等号成立）

式妊（当H仅当x=y时等号成立）

V（当且仅当x=y时取得）

于是由⑤、

⑥得8工返，即a的最小值为返

例5・

已知a，b^

RS且a+b=4,求证:

（3）

（a+l）2+（b+iaa^

（4）abz

1125⑹（呛炉畑注

分析：

对于条件不等式的证明，条件的适当运用是证明的关键环节，对于题设条件屮的等式的应用，主要冇三个方

（i）直接代入：

以a+b=l或（a+b）2=1代入；

（ii）换元转化：

令a=cos2a,2

（iii）借助“外因”联合推理：

山己知等式联想有关的重要不等式，二者联合导出己知条件的延伸。

联想1：

由已知等式本身联想重耍不等式：

a,bERS且*+b=l

（1）山左边a+b联想重要不等式届

・・・鼻届'1（当且仅当a=b时等号成立）

4（当且仅当a=b时等号成立）

（当且仅当沪b时等号成立）

由盘卄昨含有卄潮平方利不等式■丄（卄硏

2（当且仅当a=b时等号成立）

⑵2

联想2：

由已知筹式的筹价变形联想重要不等式

a+b=l（aJ>cBL*）

QabM】

4（当且仅当a=b时等号成立）

*（当且仅当a=b时等号成立）

・l-（aJ4-b3>^aJ+bJ

••

OeUbS丄

2

这与联想1中推出的结果殊途同归.

对已知条件作以上挖掘延伸Z后，再证明所给例题便是水到渠成。

证明：

（1）证法一（分析转化、化生为熟）：

Q石|用$曲

原不等式*2»2<=>“+孰

a+b=lA

又•••不等式（*）成立,・・・原不等式成立。

注意到停阿

224

证法二：

（化整为零，化隐为明）；

a+—==—fiJb=—

当且仅当222时等号成立

a=丄且b=丄

同理

（当口仅当22时等号成立）

a+b3

2

a=丄且b=—

（当且仅当22时等号成立）

（2）利用前面的推论，左边

⑶略

⑷利用前而的结论，左边

亠卄』a=b=l

22（当且仅当2时等号成立）

at>^—34

（5）利用前而的推论得4ab

为了构造同向不等式,对左边配方:

=（^H-®]2+2

-yw

a=b=—

扌恥（当且仅当2时等号成立）

—a=b=—

2（当且仅当2时等号成立）

二之舟a=b=—

憎'（当H仅当2时等号成立）

=17

4（当且仅当

2时等号成立）

丄

（6）解法一:

（为了构造“同向不等式”网性提取必后再作变形）:

ab

=^{Cab>1-aC*）+2]ab

=^O-ab）1+l]

vO

.—5.4a=b=-

4*（当且仅当2时等号成立）

A1—aba=b=—

4（当H仅当2时等号成立）

&4[（^+l]=—a=b=l

・・・左边44（当且仅当2时等号成立）

解法二:

仿⑸之解法，留给同学们练习

点评

（1）的证明告诉我们，对丁•感觉牛:

疏的不等式的证明，要注意通过等价变形來认知它的木來面目;其它问题的证明则告诉我们,条件不等式的证明中，已知条件延伸的主更方向，品悟本例的证明思路,对证明其它的条件不等式具有重要的启示或迁移作用。

例6、

（1）已矢口x,yER+,且x+y=l,试求

U:

（i）

=«y+—

矽的最小值；

（ii）Z°的最小值。

（2）已知a,bER+,且a3+b3=2,求证:

（i）ab

（ii）a+b<2

分析：

对于

（1）本质上是例5（5）（6）的改作题；

对于

（2）,仍可仿照例5中已知条件的延伸手法來寻觅解题思路

解：

（1）从略

⑵证明：

注意到己知条件a3+b3=2

（i）山①式左边联想重要不等式越+»>乏2屆②

a2+b2>2ab③

由③得a2+b2-ab>ab>0

（当冃仅当a=b=l时等号成立）⑤

.・.山②④得（®+b）（a2+b2-ab）&ab（a4-b）^2al>5^

・・・由①、⑤得2^2ab^ab

（当口仅当a=b=l时等号成立）

（ii）山①式左边联想巫要不等式

4⑦

・•・由①、⑥、⑦得

屮）［笃近-呼宙

24（当且仅当a=b=l时等号成立）

=（a+b）3<8

=a十bW2（当且仅当a=b时等号成立）

命题得证

点评：

前事不忘，后事Z师，学习屮要注意知识、方法与策略的迁移，对于

（2）,也可以根据己知条件£+1=2“实酒等量替换"，只是效果不一定理想，事实上，

a=a.b=（0,^）

设2

=（sh2c0^£l

（i）得证；

ifUa+b<2则难以证明，同学们不妨一试.

五、高考真题

1、（2004辽宁卷）对-f0

kg

（2）a

=±f^=tT

1+丄

分析：

从Ova

1

:

・a<—

VO

二l+a<14-—

a

又当0

二bg-ci代）Akg.eU）«

8.

当0

血1亠

Aa1*>a

于是由（*）、（**）知本题应选D

2、（2004全国卷II）:

已知a2+b2=l,b2+c2=2,c2+a2=2,则ab+bc+ca的最小值为（）

■丄B■丄—书C———^3D.—4-^5

A.2222

分析：

为建立“已知”与“目标'啲联系，考察已知三式的和:

2

a2=b2=lc2=l

•••将①与已知各式联立，解得22

注意到欲求ab+bc+ca的最小值，

・・・只需a、b同号且c与它们反号

返X鱼+返x（主）*遁）X返

/•ab+bc+ac的最小值为222222

•••应选B

A=fr|^

3、（2005湖南卷）集合1+1B={x||x-b|

范围可以是（）

A.-2

分析：

从认知与化简集合A、B切入

A=（-1,1）,B=（b-a,b+a）

当a=l时,B=（b・l,b+l）

此时，令b=0则皆（-1,I）,显然AABH；，符合要求，由此否定A,B；

令b=-l,贝IJB=（-2,0）

此时，AAB=（-1,1）A（-2,0）=（・1,0）工@,符合要求，否定C.

于是可知应选D.

4、（2005,天津卷）给出下列三个命题

（1）若aNb>・l侧l+aIf

a/m（ii-m）5—

（2）若正整数m和n满足贝92

（3）设P（xbyi）为圆0i；x2+y2=9±任一点，圆0?

以Q（a,b）为圆心且半径为1,当（a-Xl）2+（b-y02=1时,圆0占

圆。

2相切。

英中假命题的个数为（）

A.0B」C.2D.3

分析：

逐一考察每个命题：

对于

（1）作辅助函数l+K在（・1，00）上为增函数.

Va>b>-1,Af（a）>f（b）,U|Jl+b,

・；

（1）为真命题；

何云*竺g丄

对于

（2）,由已知得m>0,n-m>0,由平均值不等式得22

（2）也是真命题;

对于（3）,注意到圆。

2的方程为（x-a）2+（y-b）2=1,故市题设知点P亦在圆02±,即点P为圆6与圆O?

的公共点=圆0］与闘02相切，从而（3）为假命题于是由上述分析可知，本题应为B.