勾股定理知识归纳.docx
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勾股定理知识归纳
第一章：
勾股定理知识归纳
、直角三角形的重要定理
1、30°所对直角边定理
2、斜边上的中线定理
3、勾股定理
4、30°所对直角边定理的逆定理
5、斜边上的中线定理的逆定理
6、勾股定理的逆定理
、勾股定理的几种主要证明方法
1、毕达哥拉期证法（无字证明）
2、欧几里德证法
赵爽弦图证法
总统证法
5、青朱出入图（无字证明）
6、类似弦图证法
三、勾股定理定理的逆定理的运用
1、算角度
天府数学P8页例2:
在△ABC中，已知AC=8，BC=6，在△ABE中,
DE丄AB于点D。
DE=12S△ABE=60。
求/C的度数。
2、算面积
天府数学P5页10题：
在四边形ABCD中，已知AB=3cm,
AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm。
且/A=90°。
求四边形ABCD的面积。
3、与完全平方公式的综合运用
天府数学P3页8题：
已知直角三角形的周长为9cm，斜边长为4cm。
求这个直角三角形的面积。
4、与配方法的综合运用
222
已知△ABC的三条边a、b、c满足关系式abc=10a•24b•26c-338求此△ABC的面积。
四、几个重要公式
1、斜边上的高公式
habh=
c
2、
长方体的对角线公式
正方形的面积公式
S正方形ABCD
4、射影定理（与相似有关）
2
AC
=ADAB
2
BC
=BDAB
2
CD
五、勾股定理的实际运用
1、最短路线问题
<蚂蚁怎样走最近>主要研究长方体展开图中求直角三角形的斜边长。
天府数学8年级上册P104页例3
一般有三种走法，
a（bc）、，b（acyc（ab）选其中最短距离即可
2、矩形对折问题
主要是研究矩形对折后一些边的长度。
涉及数学知识有：
对折（全等三角形）一般有以下四种对折法：
如图（粗线为折痕）
要点：
不管怎样对折，都要关注图中的最小的小直角三角形。
用勾股定理列出方程求解未知线段!
3、等腰三角形求面积
作高，利用三线合一和勾股定理求出高的长度
4、一般三角形知道三边求面积
作高，利用勾股定理和方程求出高的长度
利用左右两个直角三角形的高相等，用勾股定理列出方程求解
2222
13x=20-（21-x）
5、汽车过桥洞问题
注意图中的小直角三角形（斜边为洞顶半径，
另一边为汽车宽的一半）
6、池塘生红莲问题
红莲高出水面的长度
即为直角三角形中斜边比直角边多的长度。
另一边为池宽的一半
利用勾股定理列方程即可求得。
八、
提高训练
1、直角三角形斜边上的高与两直角边的关系
111
2~22
abh
2、直角三角形三边与斜边上的高的关系
222
（ab）h=（ch）
3、与旋转综合运用勾股定理求角度、面积
如图；三角形ABC中的一点PoZACB=90°
AC=BC,PA=3,PB=1,PC=2求ZAPB的度数。
思考：
把厶APC以C为中心，旋转90°到厶BQC
利用勾股定理的逆定理可判定厶BPQ为Rt△
Q
A
C
练习：
（1）如图，△ABC为正△，内有一点P,PA=3,PB=4,PC=5。
求ZAPB的度数。
（2）如图，正方形ABCD，内有一点P,PA=1,PB=2,
PC=3。
求ZAPB的度数。
4、勾股定理的变化
（1）勾股树
上面两个相邻正方形的面积之和等于相邻的下面正方形的面积
（4）勾股数的特征（①--④罗士琳法则）
勾股数的特征
（5）多重弦图
七、典型题例
1、矩形对折问题
（天府数学8年级上册P4页例3）
2、“将军饮马”问题（天府数学8年级上册P13页9题）
3、蚂蚁怎样走最近（天府数学8年级上册P104页例3）
4、声音污染（天府数学8年级上册P10页例2）
5、旋转求角度（天府数学8年级上册P12页例2）
6、勾股定理的计算（天府数学8年级上册P4页11题、P6页例2、P8页例3、P12页例3）
八、有关勾股定理的证明
〔、△ABC中，AB>AC,AD是中线，AE是高。
求证:
2
ABAC
4、△ABC中，，M为BC边上的中线。
求证:
22
ABAC=2（AM
2BM
2
5、如图：
在四边形ABCD中，/ABC=30°,/ADC=60°,AD=AC。
求证：
九、附录：
几个勾股定理的基本功
1、11-20的平方
1[=121
2
12=144
2
13二169
2
14=196
2
15二225
2
2
2
2
2
16=256
17=289
18=324
19=361
20二400
2、几组常见的勾股数
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