高考数学理二轮专题复习检测第二篇专题五 立体几何十三.docx

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高考数学理二轮专题复习检测第二篇专题五立体几何十三

课时巩固过关练（十三）　点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题

1．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若l⊥m，m＝α∩β，则l⊥α

B．若l∥m，m＝α∩β，则l∥α

C．若α∥β，l与α所成的角和m与β所成的角相等，则l∥m

D．若l∥m，α∥β，l⊥α，则m⊥β

解析：

对于A，l可能在平面α内也可能在平面α外，错误；对于B，l可能在平面α内，错误；对于C，l，m可能平行、相交、异面，错误；对于D，因为l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又α∥β，所以m⊥β，正确．

答案：

D

2．（2016·北京海淀期中）设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：

l，m，n均为直线，m，n在平面α内，l⊥α⇒l⊥m且l⊥n.反之，由l⊥m且l⊥n不一定能推出l⊥α，当m∥n时，l也可能平行于α.故“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件．故选A.

答案：

A

3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）

A．①③B．②③

C．①④D．②④

解析：

对于图形①：

平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：

AB∥PN，AB⊄平面MNP，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不可以，故选C.

答案：

C

4．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（　　）

A.

B．1

C.

D．2

解析：

设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝

，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝

h.又2×

＝h

，所以h＝

，DE＝

.在Rt△DB1E中，B1E＝

＝

.由面积相等得DB1·B1F＝DF·B1E，即

×

＝

x，得x＝

.

答案：

A

5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（　　）

A．直线AB上B．直线BC上

C．直线AC上D．△ABC内部

解析：

由BC1⊥AC，BA⊥AC，得AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．

答案：

A

二、填空题

6．三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，给出以下结论：

①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是

a.

其中正确结论的序号是__________．

解析：

由题意知AC⊥平面SBC，又SB⊂平面SBC，故AC⊥SB，又SB⊥AB，∴SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE（如图），可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离，为

a，④正确。

答案：

①②③④

7．给出下列四个命题：

①平行于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任何直线都平行；④如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直．

其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号）

解析：

①中平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能异面，①不正确；根据直线与平面垂直的性质定理知，②正确；③若直线l与平面α平行，则l必平行于α内某一方向上的无数条直线，故③不正确；④显然正确．故填②④.

答案：

②④

8．如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是__________．

解析：

∵PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，∴CB⊥PA，CB⊥AC，∴CB⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC，∴CB⊥AF.又F是点A在PC上的射影，∴AF⊥PC，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AF⊥平面PBC，故①③正确．又E为A在PB上的射影，∴AE⊥PB，∴PB⊥平面AEF，故②正确．而AF⊥平面PCB，∴AE不可能垂直于平面PBC.故④错．答案为①②③.

答案：

①②③

三、解答题

9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P，Q分别是DD1，CC1的中点．求证：

（1）PO∥平面D1BQ；

（2）平面D1BQ∥平面PAO.

解：

（1）连接DB，则D，O，B三点共线，∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴OP∥D1B.又D1B⊂平面D1BQ，OP⊄平面D1BQ，∴PO∥平面D1BQ.

（2）∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵QB⊂平面D1BQ，PA⊄平面D1BQ，∴PA∥平面D1BQ.

又PO∥平面D1BQ，PA∩PO＝P，PA⊂平面PAO，PO⊂平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO.

10．（2015·四川高考）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需要说明理由）；

（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并说明你的结论；

（3）证明：

直线DF⊥平面BEG.

解：

（1）点F，G，H的位置如图所示．

（2）平面BEG∥平面ACH.证明如下：

因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH.于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.

（3）连接FH，BD，因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面EFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.

11．（2016·浙江瑞安联考）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．

（1）求证：

BC⊥A1B；

（2）若AD＝

，AB＝BC＝2，P为AC的中点，求二面角P－A1B－C的平面角的余弦值．

解：

（1）∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC.∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC.又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AB.又A1B⊂平面A1AB，∴BC⊥A1B.

（2）由

（1）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，如图，以B为原点建立空间直角坐标系B－xyz.∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B.在Rt△ABD中，AD＝

，AB＝2，

sin∠ABD＝

＝

，∠ABD＝60°.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥AB.在Rt△ABA1中，AA1＝AB·tan60°＝2

，则B（0,0,0），A（0,2,0），C（2,0,0），P（1,1,0），A1（0,2，2

），＝（1,1,0），＝（0,2，2

），＝（2,0,0）．

设平面PA1B的一个法向量n1＝（x1，y1，z1），则即

可取n1＝（3，－3，

）．设平面CA1B的一个法向量n2＝（x2，y2，z2），则即

可取n2＝（0，－3，

）．

∴cos〈n1，n2〉＝

＝

.∴二面角P－A1B－C的平面角的余弦值是

.